《理論》〈電磁気〉[R08:問1]静電力を利用した振動子に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★★（難しい）

次の文章は，静電力を利用した振動子に関する記述である。文中の$ \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ $に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。

図1は体積電荷密度$ \ \rho \ $で一様に正に帯電した誘電率$ \ \varepsilon _{0} \ $（真空の誘電率）の球$ \ \mathrm {S} \ $（半径 $ \ R \ $）と，これを貫く通路$ \ \mathrm {AB} \ $を示している。$ \ \mathrm {S} \ $は真空中に置かれている。通路$ \ \mathrm {AB} \ $は十分細く滑らかな直線状であり，周囲からは絶縁されて点電荷がここを自由に摩擦なく動くことができる。図2はこの通路と球の中心$ \ \mathrm {C} \ $を含む断面を示している。

通路は図1の$ \ \mathrm {A} \ $と$ \ \mathrm {B} \ $に表面開口部を持ち，時刻$ \ t=0 \ $において，$ \ \mathrm {A} \ $に質量が$ \ m \ $で電荷$ \ -q \ $を持つ負の点電荷をそっと置く。通路は非常に細く$ \ q \ $は微小なので系に生じる電界には影響を与えない。最初，点電荷は球の中心に向けて引かれるので通路の中に引き込まれる。静電力が作用し位置が変わると受ける静電力も変化する。点電荷がどのような運動を行うか検討しよう。

点電荷が図2の点$ \ \mathrm {P} \ $（通路内の任意の点で，球の中心からの距離$ \ r \ $）に位置するときに働く静電力$ \ \boldsymbol {F} \ $を計算する。この静電力は図3の半径$ \ r \ $の球面より内側の領域$ \ \mathrm {S_{1}} \ $の電荷から受ける力$ \ \boldsymbol {F}_{1} \ $，外側の領域$ \ \mathrm {S_{2}} \ $の電荷から受ける力$ \ \boldsymbol {F}_{2} \ $のベクトル和として計算できる。ガウスの法則を用いると，$ \ \boldsymbol {F}_{1} \ $大きさ$ \ F_{1} \ $と$ \ \boldsymbol {F}_{2} \ $の大きさ$ \ F_{2} \ $を計算でき，$ \ F_{1}= \ \fbox {　（１）　} \ $及び$ \ F_{2}= \ \fbox {　（２）　} \ $である。ここで$ \ x \ $の正方向を図4の一点鎖線矢印のとおり右向きとし，$ \ \mathrm {C} \ $に最も近い点$ \ \mathrm {O} \ $を原点にとると，点電荷が球全体から受ける力$ \ \boldsymbol {F} \ $の$ \ x \ $方向成分は$ \ \fbox {　（３）　} \ $と書ける。点電荷の運動方程式は
\[
\begin{eqnarray}
\ \fbox {　（４）　} \ \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と書けるので，この点電荷は単振動することが分かる。

単振動の性質より，点電荷の振動周期$ \ T \ $は$ \ \fbox {　（５）　} \ $のように書け，通路の位置や向き及び最初に点電荷を置く位置によらないことが分かる。

〔問1の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　m\frac {\mathrm {d}^{2}x}{\mathrm {d}t^{2}}=-\frac {4\rho q}{3\varepsilon _{0}}x　　　　　&（ロ）&　2\pi \sqrt {\frac {3\varepsilon _{0}m}{\rho q}}　　　　　&（ハ）&　2\pi \sqrt {\frac {4\varepsilon _{0}m}{\rho q}} \\[ 5pt ] &（ニ）&　\frac {4\rho q}{3\varepsilon _{0}}r　　　　　&（ホ）&　-\frac {\rho q}{3\varepsilon _{0}}x　　　　　&（ヘ）&　m\frac {\mathrm {d}^{2}x}{\mathrm {d}t^{2}}=-\frac {3\rho q}{\varepsilon _{0}}x \\[ 5pt ] &（ト）&　4\pi r^{3}\rho q　　　　　&（チ）&　4\pi r^{2}\rho q　　　　　&（リ）&　0 \\[ 5pt ] &（ヌ）&　2\pi \sqrt {\frac {3\varepsilon _{0}m}{4\rho q}}　　　　　&（ル）&　-\frac {3\rho q}{\varepsilon _{0}}x　　　　　&（ヲ）&　m\frac {\mathrm {d}^{2}x}{\mathrm {d}t^{2}}=-\frac {\rho q}{3\varepsilon _{0}}x \\[ 5pt ] &（ワ）&　-\frac {4\rho q}{3\varepsilon _{0}}x　　　　　&（カ）&　\frac {\rho q}{3\varepsilon _{0}}r　　　　　&（ヨ）&　\frac {\rho q}{4\varepsilon _{0}}r \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

静電力を利用した振動子に関する問題です。
前半の(1)(2)からガウスの法則をしっかりと理解しているかが問われ，後半には単振動の運動方程式の知識が必要となるので，そのまま$ \ 1 \ $種で出題されても良い問題かと思います。
朝一の難問で焦るかと思いますが，他の受験生も同じですので落ち着いて解いていくようにして下さい。

1.ガウスの法則
$ \ Q \ \mathrm {[C]} \ $から出る電気力線は$ \ \displaystyle \frac {Q}{\varepsilon } \ $本，電束は$ \ Q \ $本であり，電界$ \ E \ \mathrm {[V / m]} \ $及び電束密度$ \ D \ \mathrm {[C / m^{2}]} \ $との関係は，任意の閉曲面において，
\[
\begin{eqnarray}
\int _{S} \boldsymbol E \cdot \mathrm {d}\boldsymbol S &=& \frac {Q}{\varepsilon } \\[ 5pt ] \int _{S} \boldsymbol D \cdot \mathrm {d}\boldsymbol S &=& Q \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，これをガウスの法則といいます。例えば，図4に示すような，点電荷$ \ Q \ \mathrm {[C]} \ $をおいた場合の距離$ \ r \ \mathrm {[m]} \ $での電界$ \ E \ \mathrm {[V / m]} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
4\pi r^{2}E &=& \frac {Q}{\varepsilon } \\[ 5pt ] E &=& \frac {Q}{4\pi \varepsilon r^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，$ \ 3 \ $種で学習した公式と同じ公式が導出できます。

また，$ \ 2 \ $種で出題されやすいのは電荷が蓄えられるのが同軸円筒導体のパターンで，単位長さ当たりに蓄えられている電荷が$ \ q \ \mathrm {[C]} \ $である場合は，単位長さ当たりの電界$ \ E \ \mathrm {[V / m]} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
2\pi r \times 1 \cdot E &=& \frac {q}{\varepsilon } \\[ 5pt ] E &=& \frac {q}{2\pi \varepsilon r} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.電荷に働く力の大きさ
一様な電界$ \ E \ \mathrm {[V / m]} \ $が電荷$ \ q \ \mathrm {[C]} \ $に加わっているとき，この電荷$ \ q \ \mathrm {[C]} \ $に働く力の大きさ$ \ F \ \mathrm {[N]} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
F &=&qE \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

3.運動方程式（力学）
質量$ \ m \ \mathrm {[kg]} \ $の物体に力$ \ F \ \mathrm {[N]} \ $が加わっている時，この物体にかかる加速度$ \ a \ \mathrm {[m / s^{2}]} \ $との間には，
\[
\begin{eqnarray}
F &=&ma \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があります。

4.単振動の運動方程式（力学）
質量$ \ m \ \mathrm {[kg]} \ $の物体が，原点$ \ \mathrm {O} \ $を中心として，$ \ x \ $軸に沿って角振動数$ \ \omega \ \mathrm {[rad / s]} \ $で単振動するとき，位置$ \ x \ \mathrm {[m]} \ $と加速度$ \ a \ \mathrm {[m / s^{2}]} \ $の関係は，
\[
\begin{eqnarray}
a &=&-\omega ^{2}x \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり，このときの運動方程式は，一般に時刻$ \ t \ \mathrm {[s]} \ $における加速度が$ \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}^{2}x}{\mathrm {d}t^{2}} \ \mathrm {[m / s^{2}]} \ $であるから，
\[
\begin{eqnarray}
m\frac {\mathrm {d}^{2}x}{\mathrm {d}t^{2}} &=&-m\omega ^{2}x \\[ 5pt ] \frac {\mathrm {d}^{2}x}{\mathrm {d}t^{2}} &=&-\omega ^{2}x \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

(1)解答：カ
図3より，半径$ \ r \ $の内側の領域の電荷量$ \ Q_{\mathrm {r}} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
Q_{\mathrm {r}} &=&\frac {4}{3}\pi r^{3} \rho \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから，ガウスの法則より点$ \ \mathrm {P} \ $での電界$ \ E_{\mathrm {r}} \ $は，ワンポイント解説「1.ガウスの法則」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
4\pi r^{2}E_{\mathrm {r}} &=&\frac {Q_{\mathrm {r}}}{\varepsilon _{0}} \\[ 5pt ] &=&\frac {\displaystyle \frac {4}{3}\pi r^{3} \rho}{\varepsilon _{0}} \\[ 5pt ] E_{\mathrm {r}}&=&\frac {r \rho}{3\varepsilon _{0}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。よって，内側の領域$ \ \mathrm {S_{1}} \ $の電荷から受ける力の大きさ$ \ F_{1} \ $は，ワンポイント解説「2.電荷に働く力の大きさ」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
F_{1} &=&qE_{\mathrm {r}} \\[ 5pt ] &=&q\cdot \frac {r \rho}{3\varepsilon _{0}} \\[ 5pt ] &=&\frac {\rho q}{3\varepsilon _{0}}r \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)解答：リ
ワンポイント解説「1.ガウスの法則」の通り，外側の領域の電荷は内側の電界に影響を与えない。したがって，外側の領域による電界は$ \ 0 \ $となり，力の大きさ$ \ F_{2} \ $も$ \ 0 \ $となる。

(3)解答：ホ
図4より，点電荷が球全体から受ける力$ \ \boldsymbol {F} \ $の$ \ x \ $方向成分$ \ F_{\mathrm {x}} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
F_{\mathrm {x}} &=&-\frac {x}{r}F_{1} \\[ 5pt ] &=&-\frac {x}{r}\cdot \frac {\rho q}{3\varepsilon _{0}}r \\[ 5pt ] &=&-\frac {\rho q}{3\varepsilon _{0}}x \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答：ヲ
(3)より運動方程式は，ワンポイント解説「3.運動方程式（力学）」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
ma &=&F_{\mathrm {x}} \\[ 5pt ] m\frac {\mathrm {d}^{2}x}{\mathrm {d}t^{2}}&=&-\frac {\rho q}{3\varepsilon _{0}}x \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答：ロ
ワンポイント解説「4.単振動の運動方程式（力学）」の通り，$ \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}^{2}x}{\mathrm {d}t^{2}} =-\omega ^{2}x \ $であるから，
\[
\begin{eqnarray}
m\frac {\mathrm {d}^{2}x}{\mathrm {d}t^{2}}&=&-\frac {\rho q}{3\varepsilon _{0}}x \\[ 5pt ] m\left( -\omega ^{2}x\right) &=&-\frac {\rho q}{3\varepsilon _{0}}x \\[ 5pt ] m\omega ^{2} &=&\frac {\rho q}{3\varepsilon _{0}} \\[ 5pt ] \omega ^{2} &=&\frac {\rho q}{3\varepsilon _{0}m} \\[ 5pt ] \omega &=&\sqrt {\frac {\rho q}{3\varepsilon _{0}m}} \\[ 5pt ] 2\pi f &=&\sqrt {\frac {\rho q}{3\varepsilon _{0}m}} \\[ 5pt ] f &=&\frac {1}{2\pi }\sqrt {\frac {\rho q}{3\varepsilon _{0}m}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，周期$ \ T \ $は周波数$ \ f \ $の逆数であるから，
\[
\begin{eqnarray}
T&=&\frac {1}{f} \\[ 5pt ] &=&2\pi \sqrt {\frac {3\varepsilon _{0}m}{\rho q}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。