《電力・管理》〈送電〉[H29:問3]送電線の電圧変動率に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★☆（やや難しい）

図のような一次側が$\ 154 \ \mathrm {kV} \ $，二次側が$\ 77 \ \mathrm {kV} \ $の変圧器3台で連系された変電所がある。この変電所の$\ 77 \ \mathrm {kV} \ $側母線に接続された$\ 30 \ \mathrm {MV\cdot A} \ $の電力用コンデンサを投入したとき，次の問に答えよ。なお，各変圧器のインピーダンスはリアクタンスのみとし，その値は自己容量基準で図に示すとおりである。

(1)　$\ 77 \ \mathrm {kV} \ $母線の短絡容量$\ P_{\mathrm {S}} \ \mathrm {[MV\cdot A]} \ $を求めよ。なお，単位法における基準容量は$\ 100 \ \mathrm {MV\cdot A} \ $として計算せよ。

(2)　電力用コンデンサを投入したときの$\ 77 \ \mathrm {kV} \ $側母線の基準電圧に対する電圧変動率$\ \Delta V_{77} \ [％] \ $を求めよ。

(3)　電力用コンデンサを投入したときの$\ 154 \ \mathrm {kV} \ $側母線の基準電圧に対する電圧変動率$\ \Delta V_{154} \ [％] \ $を求めよ。

【ワンポイント解説】

単位法では基準容量を揃え，インピーダンスマップの等価回路を作成することが重要です。単位法は頻出問題なので，下記の単位法の定義式はよく理解しておきましょう。

1.百分率インピーダンスの定義
基準容量$\ P_{\mathrm {n}} \ $，基準電圧$\ V_{\mathrm {n}} \ $，基準電流$\ I_{\mathrm {n}} \ $とすると，インピーダンス$\ Z \ \mathrm {[\Omega ]} \ $の百分率インピーダンス$\ ％Z \ \mathrm {[％]} \ $は
$$\begin{eqnarray} ％Z&=&\frac {ZI_{\mathrm {n}}}{\displaystyle \frac {V_{\mathrm {n}}}{\sqrt {3}}}\times 100=\frac {\sqrt {3}ZI_{\mathrm {n}}}{V_{\mathrm {n}}}\times 100 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ で定義されます。$\ P_{\mathrm {n}}=\sqrt {3}V_{\mathrm {n}}I_{\mathrm {n}} \ $の関係を用いて，定義式を整理すると，
$$\begin{eqnarray} ％Z&=&\frac {\sqrt {3}ZV_{\mathrm {n}}I_{\mathrm {n}}}{V_{\mathrm {n}}^{2}}\times 100 \\[ 5pt ] &=&\frac {ZP_{\mathrm {n}}}{V_{\mathrm {n}}^{2}}\times 100 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となります。

2.短絡容量$\ P_{\mathrm {S}} \ $
三相短絡事故が発生した際の短絡容量$\ P_{\mathrm {S}} \ $は，その時の公称電圧$\ V_{\mathrm {B}} \ $，その時流れる三相短絡電流を$\ I_{\mathrm {S}} \ $とすると，
$$P_{\mathrm {S}}=\sqrt {3}V_{\mathrm {B}}I_{\mathrm {S}}$$ となります。

【解答】

(1)$\ 77 \ \mathrm {kV} \ $母線の短絡容量$\ P_{\mathrm {S}} \ \mathrm {[MV\cdot A]} \ $
図1のように各インピーダンスを$\ Z_{1}～Z_{5} \ $とおくと，それぞれの$\ 100 \ \mathrm {MV\cdot A} \ $ベースの百分率インピーダンスは，
$$\begin{eqnarray} Z_{1}&=&\frac {100\mathrm {MV\cdot A}}{10\mathrm {MV\cdot A}}\times 0.2 \\[ 5pt ] &=&2 \ [％] \\[ 5pt ] Z_{2}&=&Z_{4}=\frac {100\mathrm {MV\cdot A}}{200\mathrm {MV\cdot A}}\times 16 \\[ 5pt ] &=&8 \ [％] \\[ 5pt ] Z_{5}&=&\frac {100\mathrm {MV\cdot A}}{10\mathrm {MV\cdot A}}\times 2 \\[ 5pt ] &=&20 \ [％] \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となり，図1の等価回路は図2のように書くことができる。$\ Z_{2} \ $，$\ Z_{3} \ $，$\ Z_{4} \ $の並列合成インピーダンス$\ Z_{\mathrm {T}} \ $は，
$$\begin{eqnarray} Z_{\mathrm {T}} &=& \frac {1}{\displaystyle \frac {1}{Z_{2}}+\frac {1}{Z_{3}}+\frac {1}{Z_{4}}} \\[ 5pt ] &=& \frac {1}{\displaystyle \frac {1}{8％}+\frac {1}{14％}+\frac {1}{8％}} \\[ 5pt ] &≒& 3.1111 \ [％] \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となる。よって，$\ Z_{1} \ $，$\ Z_{\mathrm {T}} \ $，$\ Z_{5} \ $を合成した短絡インピーダンス$\ Z_{\mathrm {S}} \ $は，
$$\begin{eqnarray} Z_{\mathrm {S}} &=& \frac {1}{\displaystyle \frac {1}{Z_{5}}+\frac {1}{Z_{1}+Z_{\mathrm {T}}}} \\[ 5pt ] &=& \frac {1}{\displaystyle \frac {1}{20％}+\frac {1}{2％+3.1111％}} \\[ 5pt ] &≒& 4.0708 \ [％] \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となる。したがって，$\ 77 \ \mathrm {kV} \ $母線の短絡容量$\ P_{\mathrm {S}} \ $は，
$$\begin{eqnarray} P_{\mathrm {S}} &=& \frac {100}{Z_{\mathrm {S}}}\times P_{\mathrm {B}} \\[ 5pt ] &=& \frac {100}{4.0708}\times 100 \\[ 5pt ] &≒& 2456.5　→　2460 \ [\mathrm {MV\cdot A}] \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ と求められる。

(2)電力用コンデンサを投入したときの$\ 77 \ \mathrm {kV} \ $側母線の基準電圧に対する電圧変動率$\ \Delta V_{77} \ [％] \ $
基準電圧$\ V_{\mathrm {B}} \ $，電圧変化量を$\ v \ $とすると，電圧変動率$\ \Delta V_{77} \ $は，
$$\begin{eqnarray} \Delta V_{77} &=& \frac {v}{\displaystyle \frac {V_{\mathrm {B}}}{\sqrt {3}}}\times 100 \\[ 5pt ] &=& \frac {\sqrt {3}v}{V_{\mathrm {B}}}\times 100 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となる。ここで，コンデンサ投入時に流れる電流を$\ I_{\mathrm {C}} \ $，$\ 77 \ \mathrm {kV} \ $母線から電源側を見たインピーダンスを$\ Z \ $とすると，
$$\begin{eqnarray} v&=&ZI_{\mathrm {C}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となるから，
$$\begin{eqnarray} \Delta V_{77} &=& \frac {\sqrt {3}ZI_{\mathrm {C}}}{V_{\mathrm {B}}}\times 100 \\[ 5pt ] &=& \frac {\sqrt {3}ZV_{\mathrm {B}}I_{\mathrm {C}}}{V_{\mathrm {B}}^{2}}\times 100 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ と変形できる。ここで，コンデンサの容量$\ Q \ $とすると,$\ Q=\sqrt {3}V_{\mathrm {B}}I_{\mathrm {C}} \ $となり，短絡容量$\ P_{\mathrm {S}} \ $は，
$$\begin{eqnarray} P_{\mathrm {S}} &=& \sqrt {3}V_{\mathrm {B}}I_{\mathrm {S}} \\[ 5pt ] &=& \sqrt {3}V_{\mathrm {B}}\frac {\displaystyle \frac {V_{\mathrm {B}}}{\sqrt {3}}}{Z} \\[ 5pt ] &=& \frac {V_{\mathrm {B}}^{2}}{Z} \end{eqnarray}$$ となるから，
$$\begin{eqnarray} \Delta V_{77}&=&\frac {Q}{P_{\mathrm {S}}}\times 100 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となり，各値を代入すると，
$$\begin{eqnarray} \Delta V_{77} &=& \frac {30}{2456.5}\times 100 \\[ 5pt ] &=& 1.2212　→　1.22 \ [％] \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ と求められる。

(3)電力用コンデンサを投入したときの$\ 154 \ \mathrm {kV} \ $側母線の基準電圧に対する電圧変動率$\ \Delta V_{154} \ [％] \ $
$\ 154 \ \mathrm {kV} \ $母線の電圧変動率$\ \Delta V_{154} \ [％] \ $は図3のＡでの電圧変動率となる。したがって，電圧変動率は$\ Z_{1} \ $と$\ Z_{\mathrm {T}} \ $より，
$$\begin{eqnarray} \Delta V_{154} &=& \frac {Z_{1}}{Z_{1}+Z_{\mathrm {T}}}\Delta V_{77} \\[ 5pt ] &=& \frac {2}{2+3.1111}\times 1.2212 \\[ 5pt ] &≒& 0.47786　→　0.478 \ [％] \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ と求められる。

【本問に関する質疑応答】

　　４つの質問
　　電圧変動値と電圧変動率の話
　　電圧変動率と電圧降下率