《電力・管理》〈送電〉[H29:問3]送電線の電圧変動率に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★☆(やや難しい)

図のような一次側が\( \ 154 \ \mathrm {kV} \ \),二次側が\( \ 77 \ \mathrm {kV} \ \)の変圧器3台で連系された変電所がある。この変電所の\( \ 77 \ \mathrm {kV} \ \)側母線に接続された\( \ 30 \ \mathrm {MV\cdot A} \ \)の電力用コンデンサを投入したとき,次の問に答えよ。なお,各変圧器のインピーダンスはリアクタンスのみとし,その値は自己容量基準で図に示すとおりである。

(1) \( \ 77 \ \mathrm {kV} \ \)母線の短絡容量\( \ P_{\mathrm {S}} \ \mathrm {[MV\cdot A]} \ \)を求めよ。なお,単位法における基準容量は\( \ 100 \ \mathrm {MV\cdot A} \ \)として計算せよ。

(2) 電力用コンデンサを投入したときの\( \ 77 \ \mathrm {kV} \ \)側母線の基準電圧に対する電圧変動率\( \ \Delta V_{77} \ [%] \ \)を求めよ。

(3) 電力用コンデンサを投入したときの\( \ 154 \ \mathrm {kV} \ \)側母線の基準電圧に対する電圧変動率\( \ \Delta V_{154} \ [%] \ \)を求めよ。

【ワンポイント解説】

単位法では基準容量を揃え,インピーダンスマップの等価回路を作成することが重要です。単位法は頻出問題なので,下記の単位法の定義式はよく理解しておきましょう。

1.百分率インピーダンスの定義
基準容量\( \ P_{\mathrm {n}} \ \),基準電圧\( \ V_{\mathrm {n}} \ \),基準電流\( \ I_{\mathrm {n}} \ \)とすると,インピーダンス\( \ Z \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の百分率インピーダンス\( \ %Z \ \mathrm {[%]} \ \)は
\[
\begin{eqnarray}
%Z&=&\frac {ZI_{\mathrm {n}}}{\displaystyle \frac {V_{\mathrm {n}}}{\sqrt {3}}}\times 100=\frac {\sqrt {3}ZI_{\mathrm {n}}}{V_{\mathrm {n}}}\times 100 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で定義されます。\( \ P_{\mathrm {n}}=\sqrt {3}V_{\mathrm {n}}I_{\mathrm {n}} \ \)の関係を用いて,定義式を整理すると,
\[
\begin{eqnarray}
%Z&=&\frac {\sqrt {3}ZV_{\mathrm {n}}I_{\mathrm {n}}}{V_{\mathrm {n}}^{2}}\times 100 \\[ 5pt ] &=&\frac {ZP_{\mathrm {n}}}{V_{\mathrm {n}}^{2}}\times 100 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.短絡容量\( \ P_{\mathrm {S}} \ \)
三相短絡事故が発生した際の短絡容量\( \ P_{\mathrm {S}} \ \)は,その時の公称電圧\( \ V_{\mathrm {B}} \ \),その時流れる三相短絡電流を\( \ I_{\mathrm {S}} \ \)とすると,
\[
P_{\mathrm {S}}=\sqrt {3}V_{\mathrm {B}}I_{\mathrm {S}}
\] となります。

【解答】

(1)\( \ 77 \ \mathrm {kV} \ \)母線の短絡容量\( \ P_{\mathrm {S}} \ \mathrm {[MV\cdot A]} \ \)
図1のように各インピーダンスを\( \ Z_{1}~Z_{5} \ \)とおくと,それぞれの\( \ 100 \ \mathrm {MV\cdot A} \ \)ベースの百分率インピーダンスは,
\[
\begin{eqnarray}
Z_{1}&=&\frac {100\mathrm {MV\cdot A}}{10\mathrm {MV\cdot A}}\times 0.2 \\[ 5pt ] &=&2 \ [%] \\[ 5pt ] Z_{2}&=&Z_{4}=\frac {100\mathrm {MV\cdot A}}{200\mathrm {MV\cdot A}}\times 16 \\[ 5pt ] &=&8 \ [%] \\[ 5pt ] Z_{5}&=&\frac {100\mathrm {MV\cdot A}}{10\mathrm {MV\cdot A}}\times 2 \\[ 5pt ] &=&20 \ [%] \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり,図1の等価回路は図2のように書くことができる。\( \ Z_{2} \ \),\( \ Z_{3} \ \),\( \ Z_{4} \ \)の並列合成インピーダンス\( \ Z_{\mathrm {T}} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
Z_{\mathrm {T}} &=& \frac {1}{\displaystyle \frac {1}{Z_{2}}+\frac {1}{Z_{3}}+\frac {1}{Z_{4}}} \\[ 5pt ] &=& \frac {1}{\displaystyle \frac {1}{8%}+\frac {1}{14%}+\frac {1}{8%}} \\[ 5pt ] &≒& 3.1111 \ [%] \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。よって,\( \ Z_{1} \ \),\( \ Z_{\mathrm {T}} \ \),\( \ Z_{5} \ \)を合成した短絡インピーダンス\( \ Z_{\mathrm {S}} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
Z_{\mathrm {S}} &=& \frac {1}{\displaystyle \frac {1}{Z_{5}}+\frac {1}{Z_{1}+Z_{\mathrm {T}}}} \\[ 5pt ] &=& \frac {1}{\displaystyle \frac {1}{20%}+\frac {1}{2%+3.1111%}} \\[ 5pt ] &≒& 4.0708 \ [%] \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。したがって,\( \ 77 \ \mathrm {kV} \ \)母線の短絡容量\( \ P_{\mathrm {S}} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {S}} &=& \frac {100}{Z_{\mathrm {S}}}\times P_{\mathrm {B}} \\[ 5pt ] &=& \frac {100}{4.0708}\times 100 \\[ 5pt ] &≒& 2456.5 → 2460 \ [\mathrm {MV\cdot A}] \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)電力用コンデンサを投入したときの\( \ 77 \ \mathrm {kV} \ \)側母線の基準電圧に対する電圧変動率\( \ \Delta V_{77} \ [%] \ \)
基準電圧\( \ V_{\mathrm {B}} \ \),電圧変化量を\( \ v \ \)とすると,電圧変動率\( \ \Delta V_{77} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
\Delta V_{77} &=& \frac {v}{\displaystyle \frac {V_{\mathrm {B}}}{\sqrt {3}}}\times 100 \\[ 5pt ] &=& \frac {\sqrt {3}v}{V_{\mathrm {B}}}\times 100 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。ここで,コンデンサ投入時に流れる電流を\( \ I_{\mathrm {C}} \ \),\( \ 77 \ \mathrm {kV} \ \)母線から電源側を見たインピーダンスを\( \ Z \ \)とすると,
\[
\begin{eqnarray}
v&=&ZI_{\mathrm {C}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるから,
\[
\begin{eqnarray}
\Delta V_{77} &=& \frac {\sqrt {3}ZI_{\mathrm {C}}}{V_{\mathrm {B}}}\times 100 \\[ 5pt ] &=& \frac {\sqrt {3}ZV_{\mathrm {B}}I_{\mathrm {C}}}{V_{\mathrm {B}}^{2}}\times 100 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と変形できる。ここで,コンデンサの容量\( \ Q \ \)とすると,\( \ Q=\sqrt {3}V_{\mathrm {B}}I_{\mathrm {C}} \ \)となり,短絡容量\( \ P_{\mathrm {S}} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {S}} &=& \sqrt {3}V_{\mathrm {B}}I_{\mathrm {S}} \\[ 5pt ] &=& \sqrt {3}V_{\mathrm {B}}\frac {\displaystyle \frac {V_{\mathrm {B}}}{\sqrt {3}}}{Z} \\[ 5pt ] &=& \frac {V_{\mathrm {B}}^{2}}{Z}
\end{eqnarray}
\] となるから,
\[
\begin{eqnarray}
\Delta V_{77}&=&\frac {Q}{P_{\mathrm {S}}}\times 100 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり,各値を代入すると,
\[
\begin{eqnarray}
\Delta V_{77} &=& \frac {30}{2456.5}\times 100 \\[ 5pt ] &=& 1.2212 → 1.22 \ [%] \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)電力用コンデンサを投入したときの\( \ 154 \ \mathrm {kV} \ \)側母線の基準電圧に対する電圧変動率\( \ \Delta V_{154} \ [%] \ \)
\( \ 154 \ \mathrm {kV} \ \)母線の電圧変動率\( \ \Delta V_{154} \ [%] \ \)は図3のAでの電圧変動率となる。したがって,電圧変動率は\( \ Z_{1} \ \)と\( \ Z_{\mathrm {T}} \ \)より,
\[
\begin{eqnarray}
\Delta V_{154} &=& \frac {Z_{1}}{Z_{1}+Z_{\mathrm {T}}}\Delta V_{77} \\[ 5pt ] &=& \frac {2}{2+3.1111}\times 1.2212 \\[ 5pt ] &≒& 0.47786 → 0.478 \ [%] \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。



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