《電力・管理》〈水力〉[H30:問1]水力発電所の出力に関する計算問題

【問題】

【難易度】★☆☆☆☆（易しい）

河川の流域面積が\( \ 200 \ \mathrm {km}^{2}\)，年間降水量が\( \ 1500 \ \mathrm {mm}\)，流出係数\( \ 0.7 \ \)の河川がある。この河川に最大使用水量が年間平均流量の\(2\)倍の自流式発電所を設置するとき，次の問に答えよ。

ただし，取水口標高\( \ 420 \ \mathrm {m}\)，水車中心標高\( \ 185 \ \mathrm {m}\)，放水口標高\( \ 200 \ \mathrm {m}\)，損失落差を総落差の\( \ 5 \ ％\)，水車効率\( \ 90 \ ％\)，発電機効率\( \ 98 \ ％\)，\( \ 1 \ \)年は\( \ 365 \ \)日とする。

(1)　この河川の年間平均流量\( \ \left[ \mathrm {m^{3}／s} \right] \ \)を求めよ。

(2)　発電所の最大出力\( \ \left[ \mathrm {kW} \right] \ \)を求めよ。

【ワンポイント解説】

平成１７年の過去問にもほぼ同じ問題が出題されており，計算量や難易度を考えると近年の電験二種の問題の中ではかなり易しい問題になると思います。ただし，計算に必要のない水車中心標高が問題文に入っており，この文言がかなりの受験生を戸惑わせたのではないかと思います。計算量からしても部分点の配慮が少なそうな問題なので，点数差の広がりやすい問題とも言えると思います。

1.河川の年間平均流量\( \ Q_{\mathrm {av}} \ \left[ \mathrm {m^{3}／s} \right] \ \)
流域面積\( \ S \ \left[ \mathrm {km}^{2}\right] \)，年間降水量\( \ h \ \left[ \mathrm {mm}\right] \)，流出係数（年間降った雨のうち河川に流れ込む割合）を\( \ K \ \)とすると，河川に流入する水の量\( \ V \ \left[ \mathrm {m^{3}} \right] \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
V&=&\left( S \times 10^{6} \right) \times \left( h\times 10^{-3} \right) \times K \\[ 5pt ] &=&ShK \times 10^{3} \ \left[ \mathrm {m^{3}} \right] \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。これより，年間平均流量\( \ Q_{\mathrm {av}} \ \left[ \mathrm {m^{3}／s} \right] \ \)は，\( \ 1 \ \)年は\( \ 365 \ \)日，\( \ 1 \ \)日は\( \ 24 \ \)時間，\( \ 1 \ \)時間は\( \ 60 \ \)分，\( \ 1 \ \)分は\( \ 60 \ \)秒であることを考慮すると，
\[
\begin{eqnarray}
Q_{\mathrm {av}}&=&\frac {V}{365\times 24 \times 60\times 60} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.水力発電所の出力\( \ P \ \mathrm {[kW]}\)
水力発電所の使用水量を\( \ Q \ \left[ \mathrm {m^{3}／s} \right] \)，有効落差を\( \ H \ \left[ \mathrm {m} \right] \ \)，水車効率を\( \ \eta _{\mathrm {w}}\)，発電機効率を\( \ \eta _{\mathrm {g}} \ \)とすると，水力発電所の出力\( \ P \ \mathrm {[kW]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P&=&9.8QH\eta _{\mathrm {w}} \eta _{\mathrm {g}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

【関連する「電気の神髄」記事】

　　水力発電の計算における基本式

【解答】

(1)河川の年間平均流量\( \ \left[ \mathrm {m^{3}／s} \right] \ \)
ワンポイント解説「1.河川の年間平均流量\( \ Q_{\mathrm {av}} \ \left[ \mathrm {m^{3}／s} \right] \ \)」より，河川に流入する水の量\( \ V \ \left[ \mathrm {m^{3}} \right] \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
V&=&\left( 200 \times 10^{6} \right) \times \left( 1500\times 10^{-3} \right) \times 0.7 \\[ 5pt ] &=&2.1\times 10^{8} \ \left[ \mathrm {m^{3}} \right] \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，年間平均流量\( \ Q_{\mathrm {av}} \ \left[ \mathrm {m^{3}／s} \right] \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
Q_{\mathrm {av}}&=&\frac {V}{365\times 24 \times 60\times 60} \\[ 5pt ] &=&\frac {2.1\times 10^{8}}{365\times 24 \times 60\times 60} \\[ 5pt ] &≒&6.6591　→　6.66 \ \left[ \mathrm {m^{3}／s} \right] \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)発電所の最大出力\( \ \left[ \mathrm {kW} \right] \ \)
最大使用水量\( \ Q_{\mathrm {m}} \ \left[ \mathrm {m^{3}／s} \right] \ \)は年間平均流量\( \ Q_{\mathrm {av}} \ \left[ \mathrm {m^{3}／s} \right] \ \)の\( \ 2 \ \)倍であるから，
\[
\begin{eqnarray}
Q_{\mathrm {m}}&=&2Q_{\mathrm {av}} \\[ 5pt ] &=&2\times 6.6591 \\[ 5pt ] &≒&13.318 \ \left[ \mathrm {m^{3}／s} \right] \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり，取水口標高\( \ 420 \ \mathrm {m}\)，放水口標高\( \ 200 \ \mathrm {m}\)，損失落差が総落差の\( \ 5 \ ％ \ \)であるから有効落差\( \ H \ \left[ \mathrm {m} \right] \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
H&=&\left( 420-200\right) \times \left( 1-0.05 \right) \\[ 5pt ] &=&209 \ \left[ \mathrm {m} \right] \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。よって，ワンポイント解説「2.水力発電所の出力\( \ P \ \mathrm {[kW]}\)」より，発電所の最大出力\( \ P_{\mathrm {m}} \ \mathrm {[kW]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {m}}&=&9.8Q_{\mathrm {m}}H\eta _{\mathrm {w}} \eta _{\mathrm {g}} \\[ 5pt ] &=&9.8\times 13.318\times 209\times 0.9\times 0.98 \\[ 5pt ] &≒&24059　→　24100 \ \left[ \mathrm {kW} \right] \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。