《電力・管理》〈火力〉[R03:問6]同期発電機の速度調定率に関する計算問題

【問題】

【難易度】★☆☆☆☆（易しい）

定格出力\( \ 120 \ \mathrm {MW} \ \)，定格周波数\( \ 50 \ \mathrm {Hz} \ \)の同期発電機\( \ \mathrm {A} \ \)と定格出力\( \ 80 \ \mathrm {MW} \ \)，定格周波数\( \ 50 \ \mathrm {Hz} \ \)，速度調定率\( \ 4.0 \ \mathrm {％} \ \)の同期発電機\( \ \mathrm {B} \ \)とが並列運転可能な電力系統がある。次の問に答えよ。ただし，調速機（ガバナ）の特性は線形であるとし，負荷の周波数特性は無視する。

(1)　発電機\( \ \mathrm {A} \ \)のみの運転によって，系統周波数が\( \ 50.00 \ \mathrm {Hz} \ \)に保たれているとする。発電機が出力\( \ 80 \ \mathrm {MW} \ \)で運転しているときに系統負荷が\( \ 40 \ \mathrm {MW} \ \)減少した結果，周波数が\( \ 50.50 \ \mathrm {Hz} \ \)となった。発電機\( \ \mathrm {A} \ \)の速度調定率\( \ \mathrm {[％]} \ \)を求めよ。ただし，有効数字は，小数点以下\( \ 1 \ \)桁とする。

(2)　出力\( \ 100 \ \mathrm {MW} \ \)で運転中の発電機\( \ \mathrm {A} \ \)と出力\( \ 80 \ \mathrm {MW} \ \)で運転中の発電機\( \ \mathrm {B} \ \)とが並列運転を行っており，系統周波数が\( \ 50.00 \ \mathrm {Hz} \ \)に保たれているとする。系統負荷が\( \ 30 \ \mathrm {MW} \ \)減少したときの，系統周波数\( \ \mathrm {[Hz]} \ \)，発電機\( \ \mathrm {A} \ \)の出力\( \ \mathrm {[MW]} \ \)，及び発電機\( \ \mathrm {B} \ \)の出力\( \ \mathrm {[MW]} \ \)を求めよ。ただし，系統周波数の有効数字は，小数点以下\( \ 2 \ \)桁とする。

【ワンポイント解説】

速度調定率と周波数及び出力の関係を問う問題です。
令和\( \ 3 \ \)年の電力管理の計算問題の中では，計算量も少なく最も易しい問題でした。
合格に向けては，できれば完答しておきたい問題と言えると思います。

1.速度調定率\( \ R \ \)
発電機の定格回転数\( \ N_{\mathrm {n}} \ \)，回転速度の変化量\( \ \Delta N \ \)としたときの定格出力\( \ P_{\mathrm {n}} \ \)，出力変化量\( \ \Delta P \ \)の比を速度調定率\( \ R \ \)と言い，
\[
\begin{eqnarray}
R &=& \frac {\displaystyle \frac {\Delta N}{N_{\mathrm {n}}}}{\displaystyle \frac {\Delta P}{P_{\mathrm {n}}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。また，同期発電機の回転速度\( \ \displaystyle N=\frac {120 f}{p} \ \)すなわち\( \ \displaystyle N∝f \ \)の関係より，定格周波数\( \ f_{\mathrm {n}} \ \)，周波数変化量\( \ \Delta f \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
R &=& \frac {\displaystyle \frac {\Delta f}{f_{\mathrm {n}}}}{\displaystyle \frac {\Delta P}{P_{\mathrm {n}}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と変形できます。ただし，上式において周波数が下がったときに出力を上げ，周波数が上がったときに出力を下げ調整するという関係があることを覚えておくと良いと思います。

【解答】

(1)発電機\( \ \mathrm {A} \ \)の速度調定率\( \ \mathrm {[％]} \ \)
ワンポイント解説「1.速度調定率\( \ R \ \)」に各値を代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
R &=& \frac {\displaystyle \frac {\Delta f}{f_{\mathrm {n}}}}{\displaystyle \frac {\Delta P}{P_{\mathrm {n}}}} \\[ 5pt ] &=& \frac {\displaystyle \frac {50.50-50.00}{50}}{\displaystyle \frac {40}{120}} \\[ 5pt ] &=& \frac {\left( 50.50-50.00\right) \times 120}{50\times 40} \\[ 5pt ] &=& 0.03　→　3.0 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)系統負荷が\( \ 30 \ \mathrm {MW} \ \)減少したときの，系統周波数\( \ \mathrm {[Hz]} \ \)とそれぞれの発電機の出力\( \ \mathrm {[MW]} \ \)
系統負荷が\( \ 30 \ \mathrm {MW} \ \)減少したときの系統周波数を\( \ f \ \mathrm {[Hz]} \ \)，発電機\( \ \mathrm {A} \ \)の出力を\( \ P_{\mathrm {A}} \ \mathrm {[MW]} \ \)，発電機\( \ \mathrm {B} \ \)の出力を\( \ P_{\mathrm {B}} \ \mathrm {[MW]} \ \)とする。
ワンポイント解説「1.速度調定率\( \ R \ \)」に沿って，各関係式を立てると，
\[
\begin{eqnarray}
R_{\mathrm {A}} &=& \frac {\displaystyle \frac {\Delta f}{f_{\mathrm {n}}}}{\displaystyle \frac {\Delta P_{\mathrm {A}}}{P_{\mathrm {nA}}}} \\[ 5pt ] 0.03&=& \frac {\displaystyle \frac {\Delta f}{50}}{\displaystyle \frac {100-P_{\mathrm {A}}}{120}} \\[ 5pt ] 0.03&=& \frac {120\Delta f}{50\left( 100-P_{\mathrm {A}}\right) } \\[ 5pt ] 1.5\left( 100-P_{\mathrm {A}}\right) &=& 120\Delta f \\[ 5pt ] 100-P_{\mathrm {A}} &=& 80\Delta f \\[ 5pt ] P_{\mathrm {A}}+80\Delta f &=& 100 &　・・・・・・　①& \\[ 5pt ] R_{\mathrm {B}} &=& \frac {\displaystyle \frac {\Delta f}{f_{\mathrm {n}}}}{\displaystyle \frac {\Delta P_{\mathrm {B}}}{P_{\mathrm {nB}}}} \\[ 5pt ] 0.04&=& \frac {\displaystyle \frac {\Delta f}{50}}{\displaystyle \frac {80-P_{\mathrm {B}}}{80}} \\[ 5pt ] 0.04&=& \frac {80\Delta f}{50\left( 80-P_{\mathrm {B}}\right) } \\[ 5pt ] 2\left( 80-P_{\mathrm {B}}\right) &=& 80\Delta f \\[ 5pt ] 80-P_{\mathrm {B}} &=& 40\Delta f \\[ 5pt ] P_{\mathrm {B}}+40\Delta f &=& 80 &　・・・・・・　②& \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。また，合計出力は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {A}}+P_{\mathrm {B}} &=& 100+80-30 \\[ 5pt ] P_{\mathrm {A}}+P_{\mathrm {B}} &=& 150 &　・・・・・・　③& \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係が成立する。\( \ ①+②-③ \ \)より，
\[
\begin{eqnarray}
80\Delta f+40\Delta f &=& 100+80-150 \\[ 5pt ] 120\Delta f &=& 30 \\[ 5pt ] \Delta f &=& 0.25 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，系統負荷が減少したので周波数\( \ f \ \mathrm {[Hz]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
f &=& 50.00+0.25 \\[ 5pt ] &=& 50.25 \ \mathrm {[Hz]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。また，これを①及び②に代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {A}}+80\Delta f &=& 100 \\[ 5pt ] P_{\mathrm {A}} &=& 100-80\Delta f \\[ 5pt ] &=& 100-80\times 0.25 \\[ 5pt ] &=& 80 \ \mathrm {[MW]} \\[ 5pt ] P_{\mathrm {B}}+40\Delta f &=& 80 \\[ 5pt ] P_{\mathrm {B}} &=& 80-40\Delta f \\[ 5pt ] &=& 80-40\times 0.25 \\[ 5pt ] &=& 70 \ \mathrm {[MW]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。