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【問題】
【難易度】★★★★☆（やや難しい）
次の文章は，平行平板コンデンサ（キャパシタ）に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる語句，式又は数値を解答群の中から選び，その記号をマークシートに記入しなさい。
図1のように，電極間に空気の部分と絶縁体が挿入されている部分をもつ平行平板コンデンサがある（図では断面を示している）。このコンデンサに挿入されている絶縁体は直方体で，その底面は面積\( \ S \ \)の電極面と同じ寸法であり，その厚さは\( \ x \ \)である。また，真空の誘電率を\( \ \varepsilon _{0} \ \)，空気の比誘電率を\( \ 1 \ \)，この絶縁体の比誘電率を\( \ \varepsilon _{x} \ \)とする\( \ \left( \varepsilon _{x} \gt 1\right) \ \)。
いま，図1のコンデンサの電極に電荷\( \ Q \ \)を与える。電極や絶縁体の端における電界の乱れはないものとするとき，電極間において電束密度は\( \ \fbox { （１） } \ \)となり，絶縁体部分の電界の強さは\( \ \fbox { （２） } \ \)となる。
このコンデンサの静電容量\( \ C \ \)を絶縁物の厚さ\( \ x \ \)の関数として表せば，\( \ \fbox { （３） } \ \)となる。この関数をグラフに描くとその概略は図3の\( \ \fbox { （４） } \ \)のようになる。
さて，図1のコンデンサで，\( \ \varepsilon _{x}=12 \ \)及び\( \ \displaystyle x=\frac {d}{4} \ \)のときの静電容量を\( \ C_{1} \ \)とする。次に，電極の配置と面積が図1の電極と同じであり，比誘電率が\( \ \varepsilon _{r} \ \)，厚さが\( \ \displaystyle \frac {3d}{4} \ \)，底面が電極面と同じ大きさの絶縁体を挿入してできる図2のコンデンサについて，その静電容量を\( \ C_{1} \ \)と同じにするには，\( \ \varepsilon _{r}= \ \fbox { （５） } \ \ \)の絶縁体を選べばよい。
〔問1の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）& \frac {\varepsilon _{0}S}{\left( 1-\varepsilon _{x}\right) x+d\varepsilon _{x} } &（ロ）& \frac {Q}{\varepsilon _{0}S} &（ハ）& \frac {\varepsilon _{x}S}{\varepsilon _{0}Q} \\[ 5pt ]
&（ニ）& \frac {\varepsilon _{x}Q}{\varepsilon _{0}S} &（ホ）& \frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{x}S}{\left( 1-\varepsilon _{x}\right) x+d\varepsilon _{x} } &（ヘ）& 曲線① \\[ 5pt ]
&（ト）& 1.44 &（チ）& \frac {S}{Q} &（リ）& \frac {\left( 1-\varepsilon _{x}\right) x+d}{\varepsilon _{x}S} \\[ 5pt ]
&（ヌ）& 曲線③ &（ル）& \frac {Q}{\varepsilon _{0}\varepsilon _{x}S} &（ヲ）& 12 \\[ 5pt ]
&（ワ）& 1.2 &（カ）& 直線② &（ヨ）& \frac {Q}{S} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
【ワンポイント解説】
平行平板コンデンサの誘電体の特性が変化したときの静電容量等を検討する問題です。
(4)以降の内容が\( \ 3 \ \)種よりも高度な内容となっています。
合格のためには(3)までを確実に正答できるようにしましょう。
1.ガウスの法則
\( \ Q \ \mathrm {[C]} \ \)から出る電気力線は\( \ \displaystyle \frac {Q}{\varepsilon } \ \)本，電束は\( \ Q \ \)本であり，電界\( \ E \ \mathrm {[V / m]} \ \)及び電束密度\( \ D \ \mathrm {[C / m^{2}]} \ \)との関係は，任意の閉曲面において，
\[
\begin{eqnarray}
\int _{S} \boldsymbol E \cdot \mathrm {d}\boldsymbol S &=& \frac {Q}{\varepsilon } \\[ 5pt ]
\int _{S} \boldsymbol D \cdot \mathrm {d}\boldsymbol S &=& Q \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，これをガウスの法則といいます。例えば，図4に示すような，点電荷\( \ Q \ \mathrm {[C]} \ \)をおいた場合の距離\( \ r \ \mathrm {[m]} \ \)での電界\( \ E \ \mathrm {[V / m]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
4\pi r^{2}E &=& \frac {Q}{\varepsilon } \\[ 5pt ]
E &=& \frac {Q}{4\pi \varepsilon r^{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，\( \ 3 \ \)種で学習した公式と同じ公式が導出できます。
また，\( \ 2 \ \)種で出題されやすいのは電荷が蓄えられるのが同軸円筒導体のパターンで，単位長さ当たりに蓄えられている電荷が\( \ q \ \mathrm {[C]} \ \)である場合は，単位長さ当たりの電界\( \ E \ \mathrm {[V / m]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
2\pi r \times 1 \cdot E &=& \frac {q}{\varepsilon } \\[ 5pt ]
E &=& \frac {q}{2\pi \varepsilon r} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
2.平行平板コンデンサの静電容量\( \ C \ \)
平行平板コンデンサの静電容量\( \ C \ \mathrm {[F]} \ \)は，真空の誘電率を\( \ \varepsilon _{0} \ \mathrm {[F / m]} \ \)，極板の面積を\( \ S \ \mathrm {[m^{2}]} \ \)，極板間の距離を\( \ d \ \mathrm {[m]} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
C &=&\frac {\varepsilon _{0}S}{d} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。平行平板コンデンサの間に比誘電率\( \ \varepsilon _{\mathrm {r}} \ \)の誘電体を挿入すると，
\[
\begin{eqnarray}
C &=&\frac {\varepsilon _{\mathrm {r}} \varepsilon _{0}S}{d} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
3.コンデンサの合成静電容量
静電容量\( \ C_{1} \ \mathrm {[F]} \ \)と\( \ C_{2} \ \mathrm {[F]} \ \)の合成静電容量\( \ C \ \mathrm {[F]} \ \)は，
並列接続時：\( \ C=C_{1}+C_{2} \ \)
直列接続時：\( \ \displaystyle C=\frac {1}{\displaystyle \frac {1}{C_{1}}+\frac {1}{C_{2}}}=\frac {C_{1}C_{2}}{C_{1}+C_{2}} \ \)
となります。
4.平行平板コンデンサの電束密度\( \ D \ \)と電界\( \ E \ \)の関係
極板間の誘電率を\( \ \varepsilon \ \mathrm {[F / m]} \ \)とすると，電束密度\( \ D \ \mathrm {[C / m^{2}]} \ \)と電界\( \ E \ \mathrm {[V / m]} \ \)には，
\[
\begin{eqnarray}
D&=&\varepsilon E \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
の関係があります。真空の誘電率を\( \ \varepsilon _{0} \ \mathrm {[F / m]} \ \)，誘電体の比誘電率を\( \ \varepsilon _{\mathrm {r}} \ \)とすると，\( \ \varepsilon = \varepsilon _{\mathrm {r}}\varepsilon _{0} \ \)の関係があるので，
\[
\begin{eqnarray}
D&=&\varepsilon _{\mathrm {r}}\varepsilon _{0}E \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
【解答】
(1)解答：ヨ
電極や絶縁体の端における電界の乱れがないので，電極内の電束密度は一様と考えれば良いから，コンデンサの電極に電荷\( \ Q \ \)を与えたときの電束密度\( \ D \ \)は，ワンポイント解説「1.ガウスの法則」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
\int _{S} \boldsymbol D \cdot \mathrm {d}\boldsymbol S &=& Q \\[ 5pt ]
DS &=& Q \\[ 5pt ]
D &=& \frac {Q}{S} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(2)解答：ル
絶縁体部の電界\( \ E_{i} \ \)は，ワンポイント解説「4.平行平板コンデンサの電束密度\( \ D \ \)と電界\( \ E \ \)の関係」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
E_{i} &=& \frac {D}{\varepsilon _{0}\varepsilon _{x}} \\[ 5pt ]
&=& \frac {Q}{\varepsilon _{0}\varepsilon _{x}S} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(3)解答：ホ
コンデンサ全体の静電容量は，空気部のコンデンサと絶縁体部のコンデンサの直列接続と考えれば良い。空気部及び絶縁体部の静電容量\( \ C_{A} \ \)及び\( \ C_{B} \ \)は，ワンポイント解説「2.平行平板コンデンサの静電容量\( \ C \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
C_{A} &=&\frac { \varepsilon _{0}S}{d-x} \\[ 5pt ]
C_{B} &=&\frac { \varepsilon _{0}\varepsilon _{x}S}{x} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるから，全体の合成静電容量\( \ C \ \)は，ワンポイント解説「3.コンデンサの合成静電容量」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
C &=&\frac {1}{\displaystyle \frac {1}{C_{A}}+\frac {1}{C_{B}}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {1}{\displaystyle \frac {d-x}{ \varepsilon _{0}S}+\frac {x}{\varepsilon _{0}\varepsilon _{x}S}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {1}{\displaystyle \frac {\varepsilon _{x}\left( d-x\right) +x}{ \varepsilon _{0}\varepsilon _{x}S}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{x}S}{\varepsilon _{x}\left( d-x\right) +x} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{x}S}{d\varepsilon _{x}-x\varepsilon _{x} +x} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{x}S}{\left( 1-\varepsilon _{x}\right) x+d\varepsilon _{x} } \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(4)解答：ヌ
(3)解答式において，\( \ x=0 \ \)，\( \ \displaystyle x=\frac {d}{2} \ \)，\( \ x=d \ \)の時の値\( \ C\left( 0 \right) \ \)，\( \ C\left( \displaystyle \frac {d}{2} \right) \ \)，\( \ C\left( d \right) \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
C \left( 0 \right) &=&\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{x}S}{\left( 1-\varepsilon _{x}\right) \times 0+d\varepsilon _{x} } \\[ 5pt ]
&=&\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{x}S}{d\varepsilon _{x} } \\[ 5pt ]
&=&\frac {\varepsilon _{0}S}{d } \\[ 5pt ]
C \left( \frac {d}{2} \right) &=&\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{x}S}{\displaystyle \left( 1-\varepsilon _{x}\right) \times \frac {d}{2}+d\varepsilon _{x} } \\[ 5pt ]
&=&\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{x}S}{ \displaystyle \frac {d}{2}-\frac {d}{2}\varepsilon _{x}+d\varepsilon _{x} } \\[ 5pt ]
&=&\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{x}S}{ \displaystyle \frac {d}{2}+\frac {d}{2}\varepsilon _{x} } \\[ 5pt ]
&=&\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{x}S}{ \displaystyle \frac {d}{2}\left( 1+\varepsilon _{x}\right) } \\[ 5pt ]
&=&\frac {2\varepsilon _{0}\varepsilon _{x}S}{ d\left( 1+\varepsilon _{x}\right) } \\[ 5pt ]
&=&\frac {\varepsilon _{0}S}{d}\cdot \frac {2\varepsilon _{x}}{ 1+\varepsilon _{x}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {2\varepsilon _{x}}{ 1+\varepsilon _{x}}C \left( 0 \right) \\[ 5pt ]
C \left( d \right) &=&\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{x}S}{\left( 1-\varepsilon _{x}\right) \times d+d\varepsilon _{x} } \\[ 5pt ]
&=&\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{x}S}{d-d\varepsilon _{x} +d\varepsilon _{x} } \\[ 5pt ]
&=&\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{x}S}{d } \\[ 5pt ]
&=&\varepsilon _{x}C \left( 0 \right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であり，\( \ \displaystyle \varepsilon _{x}\gt 1 \ \)であるので，仮に\( \ \displaystyle \varepsilon _{x}= 10 \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
C \left( \frac {d}{2} \right) &=&\frac {2\times 10}{ 1+10}C \left( 0 \right) \\[ 5pt ]
&≒&1.82C \left( 0 \right) \\[ 5pt ]
C \left( d \right) &=&10C \left( 0 \right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，グラフとして適切なのは曲線③となる。
※ 正確に導出するためには(3)解答式を\( \ 2 \ \)階微分する必要がありますが，正答を導き出す上では上記方法で十分と考えられます。
(5)解答：ト
静電容量\( \ C_{1} \ \)は，(3)解答式に\( \ \varepsilon _{x}=12 \ \)，\( \ \displaystyle x=\frac {d}{4} \ \)を代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
C_{1}&=&\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{x}S}{\left( 1-\varepsilon _{x}\right) x+d\varepsilon _{x} } \\[ 5pt ]
&=&\frac {\varepsilon _{0}\times 12\times S}{\displaystyle \left( 1-12\right) \times \frac {d}{4}+d\times 12 } \\[ 5pt ]
&=&\frac {12\varepsilon _{0}S}{\displaystyle \frac {37d}{4} } \\[ 5pt ]
&=&\frac {48\varepsilon _{0}S}{37d} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，図2のコンデンサの静電容量\( \ C_{2} \ \)は，(3)解答式に比誘電率\( \ \varepsilon _{x}=\varepsilon _{r} \ \)，厚さ\( \ \displaystyle x=\frac {3d}{4} \ \)を代入すれば良いので，
\[
\begin{eqnarray}
C_{2}&=&\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}S}{\displaystyle \left( 1-\varepsilon _{r}\right) \frac {3d}{4}+d\varepsilon _{r} } \\[ 5pt ]
&=&\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}S}{\displaystyle \frac {3d}{4}+\frac {d}{4}\varepsilon _{r} } \\[ 5pt ]
&=&\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}S}{\displaystyle \frac {d}{4}\left( 3+\varepsilon _{r} \right) } \\[ 5pt ]
&=&\frac {4\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}S}{d\left( 3+\varepsilon _{r} \right) } \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。題意より，\( \ C_{1}=C_{2} \ \)なので，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {48\varepsilon _{0}S}{37d}&=&\frac {4\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}S}{d\left( 3+\varepsilon _{r} \right) } \\[ 5pt ]
\frac {12}{37}&=&\frac {\varepsilon _{r}}{ 3+\varepsilon _{r} } \\[ 5pt ]
12\left( 3+\varepsilon _{r} \right) &=&37\varepsilon _{r} \\[ 5pt ]
36+12\varepsilon _{r} &=&37\varepsilon _{r} \\[ 5pt ]
25\varepsilon _{r} &=&36 \\[ 5pt ]
\varepsilon _{r} &=&1.44 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
【令和８年度版２種一次試験】
愛知県出身 愛称たけちゃん
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