《理論》〈電磁気〉[H28:問1] 自己インダクタンスに関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆(やや易しい)

次の文章は,同軸線路の自己インダクタンスに関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選びなさい。

図のように,中心軸を同じくする半径\( \ a \ \)の無限に長い円筒状導体(内部導体)と半径\( \ b \ \)の無限に長い円筒状導体(外部導体)がある。なお,\( \ a < b \ \)であり,それぞれの円筒状導体の厚みは無限に小さいとしてよい。このような回路の単位長さ当たりの自己インダクタンスを,鎖交する磁束を用いる方法と,蓄積される磁気エネルギーを用いる方法の二通りの方法で求める。
同軸線路には,図に示す方向に同じ大きさの電流\( \ I \ \)が流れている。この電流が作り出す磁束密度の大きさ\( \ B \ \)は,内側導体の内部及び外側導体の外部では零,内側導体及び外側導体に挟まれた領域では\( \ B=\fbox {  (1)  } \ \)となるため,単位長さ当たりの鎖交磁束\( \ \Phi \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
\Phi &=&\int ^{b}_{a}Bdr=\fbox {  (2)  } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり,\( \ \Phi \ \)と単位長さ当たりの自己インダクタンス\( \ L \ \)との関係式\( \ \Phi =\fbox {  (3)  } \ \)を用いて,\( \ L \ \)が求まる。
一方,単位長さ当たりに蓄積される磁気エネルギー\( \ W \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
W &=&2\pi \int ^{b}_{a} \frac {B^{2}}{2\mu _{0}} rdr=\fbox {  (4)  } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり,蓄積エネルギーと自己インダクタンスの関係式\( \ W=\fbox {  (5)  } \ \)を用いると同様に単位長さ当たりの自己インダクタンスが求まり,両者が一致することが分かる。

〔問1の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&(イ)& \frac {I}{L}   &(ロ)& \frac {\mu _{0}I}{4\pi }\left( \frac {1}{a} – \frac {1}{b}\right)   &(ハ)& L\frac {dI}{dt} \\[ 5pt ] &(ニ)& \frac {\mu _{0}I^{2}}{8\pi }\left( \frac {1}{a} – \frac {1}{b}\right)   &(ホ)& \frac {\mu _{0}I^{2}}{4\pi }\ln {\frac {b}{a}}   &(ヘ)& \frac {\mu _{0}I}{2\pi r} \\[ 5pt ] &(ト)& \frac {\mu _{0}I}{4\pi r^{3}}   &(チ)& \frac {\mu _{0}I}{8\pi }\left( \frac {1}{a^{2}} – \frac {1}{b^{2}}\right)    &(リ)& \frac {L^{2}I}{2} \\[ 5pt ] &(ヌ)& \frac {\mu _{0}I}{2\pi }\ln {\frac {b}{a}}    &(ル)& \frac {LI^{2}}{2}   &(ヲ)& \frac {\mu _{0}I^{2}}{16\pi }\left( \frac {1}{a^{2}} – \frac {1}{b^{2}}\right)   \\[ 5pt ] &(ワ)& \frac {\mu _{0}I}{4\pi r^{2}}   &(カ)& \frac {I^{2}}{L}   &(ヨ)& LI
\end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

アンペールの周回積分の法則,インダクタンスの電磁気学と自然対数の積分の数学を使用します。電磁気は覚える公式が多いため大変ですが,問題に触れ少しずつ覚えていきましょう。本問では以下の公式を使用します。

1.アンペールの周回積分の法則
直線導体に電流\( \ I \ \)を流した時,導体の周りに発生する磁界の大きさ\( \ H \ \)との関係は,
\[
\begin{eqnarray}
I=\int_{c} \boldsymbol H \mathrm {d}\boldsymbol l \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり,本問において導体から\( \ r \ \)離れた箇所の磁界の大きさ\( \ H \ \)との関係は,
\[
\begin{eqnarray}
I&=&2\pi r H ⇔ H&=&\frac {I}{2\pi r} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.磁束密度\( \ B \ \)と磁界の強さ\( \ H \ \)の関係式
透磁率を\( \ \mu \ \)とすると,磁束密度\( \ B \ \)と磁界の強さ\( \ H \ \)の関係は,
\[
\begin{eqnarray}
B&=&\mu H \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

3.自己インダクタンス\( \ L \ \)と鎖交磁束数\( \ \mathit {\Phi} \ \)の関係式
自己インダクタンス\( \ L \ \)と鎖交磁束数\( \ \mathit {\Phi} \ \)には,
\[
\begin{eqnarray}
LI&=&N\mathit {\Phi} (本問では巻数N=1) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があります。

4.自己インダクタンス\( \ L \ \)と蓄積される電磁エネルギー\( \ W \ \)の関係式
自己インダクタンス\( \ L \ \)のコイルに電流\( \ I \ \)を流し,十分時間が経った時にコイルに蓄積されるエネルギー\( \ W \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
W&=&\frac {LI^{2}}{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

5.自然対数の微分・積分
分数の積分は以下の通りとなります。電磁気では良く出てくる積分となるので,覚えておいて下さい。
\[
\begin{eqnarray}
\int ^{b}_{a}\frac {1}{x}\mathrm {d}x&=&\ln {b} -\ln {a}=\ln {\frac {b}{a}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【関連する「電気の神髄」記事】

  円筒導体の鎖交磁束とインダクタンス

【解答】

(1)解答:ヘ
内側導体及び外側導体に挟まれた領域すなわち\( \ a < r < b \ \)では,貫く電流が内側導体を流れる電流\(I\)のみである。したがって,磁界の強さ\(H_{\mathrm {r}}\)はアンペールの周回積分の法則から,
\[
\begin{eqnarray}
H_{\mathrm {r}}&=&\frac {I}{2\pi r} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり,磁束密度の大きさ\( \ B=\mu _{0}H_{\mathrm {r}} \ \)の関係があるから,
\[
\begin{eqnarray}
B &=& \mu _{0}H_{\mathrm {r}} \\[ 5pt ] &=& \frac {\mu _{0}I}{2\pi r} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。

(2)解答:ヌ
題意より,鎖交磁束\( \ \mathit {\Phi} \ \)は(1)の解答を用いて,
\[
\begin{eqnarray}
\mathit {\Phi} &=& \int ^{b}_{a}B\mathrm {d}r \\[ 5pt ] &=& \int ^{b}_{a}\frac {\mu _{0}I}{2\pi r}\mathrm {d}r \\[ 5pt ] &=& \frac {\mu _{0}I}{2\pi }\int ^{b}_{a}\frac {1}{r}\mathrm {d}r \\[ 5pt ] &=& \frac {\mu _{0}I}{2\pi }\left[ \ln {r}\right] ^{b}_{a} \\[ 5pt ] &=& \frac {\mu _{0}I}{2\pi }\left( \ln {b}-\ln {a}\right) \\[ 5pt ] &=& \frac {\mu _{0}I}{2\pi }\ln \frac {b}{a}
\end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答:ヨ
ワンポイント解説の「3.自己インダクタンス\( \ L \ \)と鎖交磁束数\( \ \mathit {\Phi} \ \)の関係式」で述べた通り、解答は\( \ \displaystyle LI \ \)となります。

(4)解答:ホ
題意より,単位長さ当たりに蓄積される磁気エネルギー\( \ W \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
W &=& 2\pi \int ^{b}_{a} \frac {B^{2}}{2\mu _{0}} r\mathrm {d}r \\[ 5pt ] &=& 2\pi \int ^{b}_{a} \frac {\left[ \frac {\mu _{0}I}{2\pi r}\right] ^{2}}{2\mu _{0}} r\mathrm {d}r \\[ 5pt ] &=& \frac {\mu _{0}I^{2}}{4\pi }\int ^{b}_{a} \frac {1}{r}\mathrm {d}r \\[ 5pt ] &=& \frac {\mu _{0}I^{2}}{4\pi }\ln \frac {b}{a}
\end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答:ル
ワンポイント解説の「4.自己インダクタンス\( \ L \ \)と蓄積される電磁エネルギー\( \ W \ \)の関係式」で述べた通り、解答は\( \ \displaystyle \frac {LI^{2}}{2} \ \)となります。



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