《理論》〈電磁気〉[H25:問2]磁気回路における回路計算に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★☆（やや難しい）

次の文章は，磁気回路に関する記述である。文中の$\ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ $に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選びなさい。

図は鉄心$\ 1 \ $と鉄心$\ 2 \ $からなる磁気回路の模式図である。鉄心$\ 1 \ $に巻数$\ N \ $のコイルが巻かれており，ここに電流$\ I \ \mathrm {[A]} \ $が流れている状況を考える。鉄心$\ 2 \ $は鉄心$\ 1 \ $と対向する位置に配置されており，その間のギャップ長を$\ x \ \mathrm {[m]} \ $とする。鉄心の断面積は場所によらず$\ S \ \mathrm {[m^{2}]} \ $とし，ギャップ部分の磁路の断面積も$\ S \ \mathrm {[m^{2}]} \ $とするとき，鉄心間の吸引力$\ F \ $を求めたい。なお，鉄心の透磁率を$\ \mu _{1} \ \mathrm {[H／m]} \ $，ギャップ部分の透磁率を$\ \mu _{0} \ \mathrm {[H／m]} \ $とし，磁路において磁束は一様に分布し，漏れ磁束，磁気飽和，ヒステリシス，渦電流はないものとする。

鉄心及びギャップ部分の磁束密度を$\ B \ \mathrm {[T]} \ $とする。ここで，鉄心部分の磁路長の合計量を$\ D=D_{1}+D_{2} \ \mathrm {[m]} \ $とおいて，アンペールの周回積分の法則を用いることにより，磁束密度$\ B \ $と電流$\ I \ $の関係は，$\ B=\fbox {　 （１） 　} \ \mathrm {[T]} \ $と表される。

これを用いることで，コイルの自己インダクタンス$\ L \ $は，$\ L=\fbox {　 （２） 　} \ \mathrm {[H]} \ $と表される。さらに，この磁気回路に蓄えられている磁気エネルギー$\ W_{\mathrm {m}} \ $は$\ L \ $を用いると，$\ W_{\mathrm {m}}=\fbox {　 （３） 　} \ \mathrm {[J]} \ $と表される。よって，仮想変位の方法により，鉄心間の吸引力$\ F \ $を求めると，$\ F=\fbox {　 （４） 　} \ \mathrm {[N]} \ $と求めることができる。

通常$\ \mu _{1} \ $は$\ \mu _{0} \ $に比べて十分に大きいため，吸引力$\ F \ $は定性的には$\ \fbox {　 （５） 　} \ $すると言える。

〔問2の解答群〕
$$\begin{eqnarray} &（イ）&　\frac {LI^{2}}{2\mu _{0}}　　　&（ロ）&　\frac {NI}{\displaystyle \frac {D}{\mu _{1}}+\frac {2x}{\mu _{0}}}　　　&（ハ）&　\frac {LI^{2}}{2\mu _{1}} \\[ 5pt ] &（ニ）&　\frac {SN^{2}I^{2}}{\displaystyle 2x\left( \frac {D}{\mu _{1}}+\frac {2x}{\mu _{0}}\right) }　　　&（ホ）&　\frac {\mu _{0}SN^{2}}{\displaystyle \frac {D}{\mu _{1}}+2x}　　　&（ヘ）&　\frac {\mu _{0}SN^{2}I^{2}}{4} \\[ 5pt ] &（ト）&　\frac {SN^{2}I^{2}}{\displaystyle \mu _{0}\left( \frac {D}{\mu _{1}}+\frac {2x}{\mu _{0}}\right) ^{2}}　　&（チ）&　\frac {LI^{2}}{2}　　　　&（リ）&　\frac {SN^{2}}{\displaystyle \frac {D}{\mu _{1}}+\frac {2x}{\mu _{0}}} \\[ 5pt ] &（ヌ）&　\frac {NI}{\displaystyle \frac {\mu _{1}}{D}+\frac {\mu _{0}}{2x}}　　　&（ル）&　\frac {2SN^{2}}{\displaystyle \frac {D}{\mu _{1}}+\frac {2x}{\mu _{0}}}　　　&（ヲ）&　\frac {\mu _{0}NI}{\displaystyle \frac {D}{\mu _{1}}+2x} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ $$\begin{eqnarray} &（ワ）&　電流 \ I \ に依存せず，ギャップ長 \ x \ の \ 2 \ 乗に反比例 \\[ 5pt ] &（カ）&　電流 \ I \ の \ 2 \ 乗に比例し，ギャップ長 \ x \ に反比例 \\[ 5pt ] &（ヨ）&　電流 \ I \ の \ 2 \ 乗に比例し，ギャップ長 \ x \ の \ 2 \ 乗に反比例 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$

【ワンポイント解説】

磁気回路に関する問題です。磁気回路の場合は電気回路より回路は易しい場合が多いので，慣れてしまえば得点しやすい問題であると言えると思います。(4)の計算がやや面倒なので難しめとしています。

1.磁気回路のオームの法則
中心長さ$\ l \ $の環状鉄心に巻き数$\ N \ $のコイルが巻かれ，そこに電流$\ I \ $が流れている時，鉄心内の磁界の強さ$\ H \ $は，アンペールの周回積分の法則より，
$$\begin{eqnarray} NI&=&Hl \\[ 5pt ] H&=&\frac {NI}{l} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ であるから，鉄心内の磁束密度$\ B \ $は，鉄心内の透磁率$\ \mu \ $とすると，
$$\begin{eqnarray} B&=&\mu H \\[ 5pt ] &=&\frac {\mu NI}{l} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となる。鉄心内の磁束$\ \phi \ $は，鉄心の断面積$\ S \ $とすると，
$$\begin{eqnarray} \phi &=&BS \\[ 5pt ] &=&\frac {\mu NIS}{l} \\[ 5pt ] &=&\frac {NI}{\displaystyle \frac {l}{\mu S}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となり，起磁力$\ F=NI \ $，磁気抵抗$\ R_{\mathrm {m}}=\displaystyle \frac {l}{\mu S} \ $とすると，磁気回路のオームの法則が成立します。

2.自己インダクタンス$\ L \ $
図1のような環状ソレノイド回路において，巻数$\ N \ $のコイルに電流$\ I \ $を流した時の鉄心の磁束$\ \phi \ $と比例定数$\ L \ $の関係は，起電力$\ e \ $を求める関係より，
$$\begin{eqnarray} -N\frac {\Delta \phi }{\Delta t}&=&-L\frac {\Delta I}{\Delta t} \\[ 5pt ] N\phi &=&LI \\[ 5pt ] L &=&\frac {N\phi }{I} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となり，$\ L \ $を自己インダクタンスと言います。

【解答】

(1)解答：ロ
鉄心内及びギャップ部の磁界の大きさを$\ H_{1} \ $及び$\ H_{0} \ $とすると，アンペールの法則より，
$$\begin{eqnarray} NI&=&H_{1}D_{1}+H_{1}D_{2}+H_{0}\cdot 2x \\[ 5pt ] &=&H_{1}\left( D_{1}+D_{2}\right) +2H_{0}x \\[ 5pt ] &=&H_{1}D +2H_{0}x \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となり，$\ B=\mu _{1}H_{1}=\mu _{0}H_{0} \ $の関係があるため，
$$\begin{eqnarray} NI&=&\frac {B}{\mu _{1}}\cdot D+2\cdot \frac {B}{\mu _{0}}\cdot x \\[ 5pt ] &=&B\left( \frac {D}{\mu _{1}}+\frac {2x}{\mu _{0}}\right) \\[ 5pt ] B&=&\frac {NI}{\displaystyle \frac {D}{\mu _{1}}+\frac {2x}{\mu _{0}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ と求められる。

［別解］
問題図の磁気回路において，ワンポイント解説「1.磁気回路のオームの法則」より，起磁力$\ F^{\prime } \ $，磁気抵抗$\ R_{\mathrm {m}} \ $は，
$$\begin{eqnarray} F^{\prime }&=&NI \\[ 5pt ] R_{\mathrm {m}}&=&\frac {D}{\mu _{1}S}+\frac {2x}{\mu _{0}S} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ であるから，磁気回路のオームの法則より回路の磁束$\ \phi \ $は，
$$\begin{eqnarray} \phi &=&\frac {F^{\prime }}{R_{\mathrm {m}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {NI}{\displaystyle \frac {D}{\mu _{1}S}+\frac {2x}{\mu _{0}S}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となる。$\ \phi =BS \ $の関係より，磁束密度$\ B \ $の大きさは，
$$\begin{eqnarray} B &=&\frac {\phi }{S} \\[ 5pt ] &=&\frac {NI}{\displaystyle \frac {D}{\mu _{1}S}+\frac {2x}{\mu _{0}S}}\cdot \frac {1}{S} \\[ 5pt ] &=&\frac {NI}{\displaystyle \frac {D}{\mu _{1}}+\frac {2x}{\mu _{0}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ と求められる。

(2)解答：リ
ワンポイント解説「2.自己インダクタンス$\ L \ $」より，
$$\begin{eqnarray} L &=&\frac {N\phi }{I} \\[ 5pt ] &=&\frac {NBS}{I} \\[ 5pt ] &=&\frac {NS}{I}\cdot \frac {NI}{\displaystyle \frac {D}{\mu _{1}}+\frac {2x}{\mu _{0}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {SN^{2}}{\displaystyle \frac {D}{\mu _{1}}+\frac {2x}{\mu _{0}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ と求められる。

(3)解答：チ
磁気回路に蓄えられるエネルギー$\ W_{\mathrm {m}} \ $は$\ L \ $を用いると，$\ W_{\mathrm {m}}=\displaystyle \frac {1}{2}LI^{2} \ $で求められる。

(4)解答：ト
磁気回路に蓄えられるエネルギー$\ W_{\mathrm {m}} \ $は，各値を代入すると，
$$\begin{eqnarray} W_{\mathrm {m}}&=&\frac {1}{2}LI^{2} \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{2}\frac {SN^{2}}{\displaystyle \frac {D}{\mu _{1}}+\frac {2x}{\mu _{0}}}I^{2} \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{2}\frac {SN^{2}I^{2}}{\displaystyle \frac {D}{\mu _{1}}+\frac {2x}{\mu _{0}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ であり，仮想変位において，鉄心$\ 1 \ $と鉄心$\ 2 \ $の間の吸引力は，$\ \displaystyle F=-\frac {\mathrm {d}W_{\mathrm {m}}}{\mathrm {d}x} \ $の関係があるから，$\ A=\displaystyle \frac {D}{\mu _{1}}+\frac {2x}{\mu _{0}} \ $とおくと，
$$\begin{eqnarray} F&=&-\frac {\mathrm {d}W_{\mathrm {m}}}{\mathrm {d}x} \\[ 5pt ] &=&-\frac {\mathrm {d}W_{\mathrm {m}}}{\mathrm {d}A}\cdot \frac {\mathrm {d}A}{\mathrm {d}x} \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{2}\frac {SN^{2}I^{2}}{A^{2}}\cdot \frac {2}{\mu _{0}} \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{2}\frac {SN^{2}I^{2}}{\left( \displaystyle \frac {D}{\mu _{1}}+\frac {2x}{\mu _{0}}\right) ^{2}}\cdot \frac {2}{\mu _{0}} \\[ 5pt ] &=&\frac {SN^{2}I^{2}}{\displaystyle \mu _{0}\left( \frac {D}{\mu _{1}}+\frac {2x}{\mu _{0}}\right) ^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ と求められる。

(5)解答：ヨ
$\ \mu _{1} ≫ \mu _{0} \ $すなわち$\displaystyle \ \frac {1}{\mu _{1}} ≪ \frac {1}{\mu _{0}} \ $であるから，(4)の解答式は，
$$\begin{eqnarray} F&=&\frac {SN^{2}I^{2}}{\displaystyle \mu _{0}\left( \frac {D}{\mu _{1}}+\frac {2x}{\mu _{0}}\right) ^{2}} \\[ 5pt ] &≃&\frac {SN^{2}I^{2}}{\displaystyle \mu _{0}\left( \frac {2x}{\mu _{0}}\right) ^{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {SN^{2}I^{2}}{\displaystyle \frac {4x^{2}}{\mu _{0}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {\mu _{0}SN^{2}I^{2}}{4x^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となり，電流$\ I \ $の$\ 2 \ $乗に比例し，ギャップ長$\ x \ $の$\ 2 \ $乗に反比例する。