【問題】
【難易度】★★★★☆（やや難しい）
次の文章は，回路の過渡現象に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。
図のように，容量\( \ C \ \)のコンデンサがスイッチを介して内部抵抗\( \ r \ \)，電圧\( \ E \ \)の直流電源に接続されている。時刻\( \ t=0 \ \)でスイッチを閉じた。
以下では，コンデンサの電圧\( \ v\left( t\right) \ \)の初期値が\( \ v\left( 0\right) =0 \ \)のとき，定常状態\( \ \left( t=\infty \right) \ \)の電圧\( \ v\left( \infty \right) \ \)は\( \ E \ \)，\( \ C \ \)及び\( \ r \ \)の値が不明であっても，定常状態を待たずに時刻\( \ t=T \ \)，\( \ t=2T \ \)\( \ \left( T＞0 \right) \ \)での電圧\( \ v\left( T\right) \ \)，\( \ v\left( 2T\right) \ \)から求められることを示す。
\( \ t≧0 \ \)におけるコンデンサの電圧\( \ v\left( t\right) \ \)の微分方程式は\( \ \fbox { （１） } \ \)で与えられる。回路の時定数\( \ \tau \ \)は\( \ \tau = \ \fbox { （２） } \ \)である。一般に，\( \ v\left( t\right) \ \)の初期値を\( \ v\left( 0\right) \ \)，定常状態の値を\( \ v\left( \infty \right) \ \)とすると\( \ \fbox { （１） } \ \)の解は，
\[
\begin{eqnarray}
v\left( t\right) &=& \ \fbox { （３） } \ +v\left( 0\right) \mathrm {e}^{-t／\tau } ・・・・・・・・・・・・・・・・ ① \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
で与えられる。
コンデンサの電圧\( \ v\left( t\right) \ \)の初期値が\( \ v\left( 0\right) =0 \ \)のとき，\( \ v\left( T\right) \ \)と\( \ v\left( 2T\right) \ \)の比は\( \ ① \ \)式より
\[
\begin{eqnarray}
\frac {v\left( 2T\right) }{v\left( T\right) }&=& \ \fbox { （４） } ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ② \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。\( \ ② \ \)式より\( \ \displaystyle \mathrm {e}^{-T／\tau } \ \)を求め，これを\( \ t=T \ \)とおいた\( \ ① \ \)式に代入すると，\( \ v\left( 0\right) =0 \ \)より，\( \ v\left( T\right) = \ v\left( \infty \right) \times \left( \fbox { （５） } \right) \ \)となる。この式より，\( \ v\left( \infty \right) \ \)が\( \ v\left( T\right) \ \)と\( \ v\left( 2T\right) \ \)の式で表すことが可能となる。
〔問4の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）& E=\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}v\left( t\right) +\frac {C}{r}v\left( t\right) &（ロ）& v\left( \infty \right) \left( 1-\mathrm {e}^{-t／\tau }\right) \\[ 5pt ]
&（ハ）& v\left( \infty \right) \left( 1+\mathrm {e}^{-t／\tau }\right) &（ニ）& E=rC\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}v\left( t\right) +v\left( t\right) \\[ 5pt ]
&（ホ）& 1-\frac {v\left( 2T\right) }{v\left( T\right) } &（ヘ）& E=C\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}v\left( t\right) +\frac {1}{r}v\left( t\right) \\[ 5pt ]
&（ト）& 1+\mathrm {e}^{-T／\tau } &（チ）& 1-2\frac {v\left( 2T\right) }{v\left( T\right) } \\[ 5pt ]
&（リ）& \frac {C}{r} &（ヌ）& rC \\[ 5pt ]
&（ル）& \mathrm {e}^{-T／\tau }-1 &（ヲ）& 1-\mathrm {e}^{-T／\tau } \\[ 5pt ]
&（ワ）& \frac {1}{rC} &（カ）& 2-\frac {v\left( 2T\right) }{v\left( T\right) } \\[ 5pt ]
&（ヨ）& v\left( \infty \right) \left( \mathrm {e}^{-t／\tau }-1\right) && \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
【ワンポイント解説】
過渡現象に関する問題です。
\( \ 2 \ \)種の理論では定番となっている微分方程式を使用した過渡現象に関する問題ですが，近年はストレートな問題は少なく，やや応用力が問われる問題が多いです。
本問も電流\( \ i \ \)ではなく電圧\( \ v \ \)での微分方程式を使用しています。しかしながら基本は同じなので，基本をしっかりと理解していることが重要となります。
1.過渡現象における\( \ RLC \ \)それぞれの電圧
線路に流れる電流を\( \ i \ \)とし，抵抗\( \ R \ \)の電圧\( \ v_{\mathrm{R}} \ \)，リアクトル\( \ L \ \)の電圧\( \ v_{\mathrm{L}} \ \)，リアクトル\( \ C \ \)の電圧\( \ v_{\mathrm{C}} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
v_{\mathrm{R}} &=& Ri \\[ 5pt ]
v_{\mathrm{L}} &=& L\frac {\mathrm {d}i}{\mathrm {d}t} \\[ 5pt ]
v_{\mathrm{C}} &=& \frac {1}{C}\int i \mathrm {d}t \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。微分と積分は逆の関係があるので，各電圧から電流\( \ i \ \)を求める式は，
\[
\begin{eqnarray}
i &=& \frac {v_{\mathrm{R}}}{R} \\[ 5pt ]
i &=& \frac {1}{L}\int v_{\mathrm{L}} \mathrm {d}t \\[ 5pt ]
i &=& C\frac {\mathrm {d}v_{\mathrm{C}}}{\mathrm {d}t} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
2.過渡現象における定常解と過渡解
ⅰ．定常解を\( \ i_{\mathrm {s}} \ \)，過渡解を\( \ i_{\mathrm {t}} \ \)とすると，一般解\( \ i \ \)は\( \ i=i_{\mathrm {s}}+i_{\mathrm {t}} \ \)となります。
ⅱ．定常解は電流の時間変化のない状態すなわち\( \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}i_{\mathrm {s}}}{\mathrm {d}t}=0 \ \)とした時の解です。
ⅲ．過渡解はスイッチを入れた直後の解すなわち\( \ L \ \)開放(\( \ E=0 \ \)と同義)の時の解です。
これは，電圧に関しても同様に扱うことができます。
3.自然対数の微分積分
①自然対数の微分
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}x} \left( \ln {x}\right) &=&\frac {1}{x} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
②自然対数の積分
\[
\begin{eqnarray}
\int \frac {1}{x} \mathrm {d}x &=&\ln {x} + C \left( Cは積分定数\right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，
\[
\begin{eqnarray}
\ln {x}&=&-\alpha t +C \left( Cは積分定数\right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となった場合，両辺とも対数を外すと，
\[
\begin{eqnarray}
x&=&A\mathrm {e}^{-\alpha t} \left( A=e^{C}\right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
【関連する「電気の神髄」記事】
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RC並列回路の過渡現象（直流回路）
【解答】
(1)解答：ニ
\( \ t≧0 \ \)における回路方程式は，
\[
\begin{eqnarray}
E &=&ri+v\left( t\right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，ワンポイント解説「1.過渡現象における\( \ RLC \ \)それぞれの電圧」より，\( \ \displaystyle i = C\frac {\mathrm {d}v\left( t\right) }{\mathrm {d}t} \ \)であるから，
\[
\begin{eqnarray}
E &=&rC\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}v\left( t\right) +v\left( t\right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(2)解答：ヌ
時定数の定義より，\( \ RC \ \)直列回路の時定数\( \ \tau \ \)は\( \ \tau =rC \ \)となる。
(3)解答：ロ
題意より，定常解は\( \ v\left( \infty \right) \ \)である。(1)の微分方程式より過渡解\( \ v_{\mathrm {t}} \ \)は微分方程式の\( \ E=0 \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
rC\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}v_{\mathrm {t}} +v_{\mathrm {t}} &=&0 \\[ 5pt ]
\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}v_{\mathrm {t}} &=&-\frac {1}{rC}v_{\mathrm {t}} \\[ 5pt ]
\frac {1}{v_{\mathrm {t}}}\mathrm {d}v_{\mathrm {t}} &=&-\frac {1}{rC}\mathrm {d}t \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。ワンポイント解説「3.自然対数の微分積分」に沿って両辺を積分すると，
\[
\begin{eqnarray}
\ln v_{\mathrm {t}} &=&-\frac {1}{rC}t+C \left( Cは積分定数\right) \\[ 5pt ]
v_{\mathrm {t}} &=&A\mathrm {e}^{-\frac {1}{rC}t} \left( Aは積分定数\right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。したがって，一般解\( \ v\left( t\right) \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
v\left( t\right) &=&v_{\mathrm {t}}+v\left( \infty \right) \\[ 5pt ]
&=&A\mathrm {e}^{-\frac {1}{rC}t}+v\left( \infty \right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，題意より，\( \ v\left( t\right) \ \)の初期値は\( \ v\left( 0\right) \ \)なので，
\[
\begin{eqnarray}
v\left( 0\right) &=&A\mathrm {e}^{-\frac {1}{rC}\times 0}+v\left( \infty \right) \\[ 5pt ]
A&=& v\left( 0\right) -v\left( \infty \right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，
\[
\begin{eqnarray}
v\left( t\right) &=&\left\{ v\left( 0\right) -v\left( \infty \right) \right\} \mathrm {e}^{-\frac {1}{rC}t}+v\left( \infty \right) \\[ 5pt ]
&=&v\left( \infty \right)\left( 1- \mathrm {e}^{-\frac {1}{rC}t}\right) + v\left( 0\right) \mathrm {e}^{-\frac {1}{rC}t} \\[ 5pt ]
&=&v\left( \infty \right) \left( 1- \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }}\right) + v\left( 0\right) \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(4)解答：ト
(3)解答式において，\( \ v\left( 0\right) =0 \ \)のとき，
\[
\begin{eqnarray}
v\left( t\right) &=&v\left( \infty \right) \left( 1- \mathrm {e}^{-\frac {t}{\tau }}\right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であるから，\( \ v\left( T\right) \ \)と\( \ v\left( 2T\right) \ \)の比は，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {v\left( 2T\right) }{v\left( T\right) }&=&\frac {\displaystyle v\left( \infty \right) \left( 1- \mathrm {e}^{-\frac {2T}{\tau }}\right) }{\displaystyle v\left( \infty \right) \left( 1- \mathrm {e}^{-\frac {T}{\tau }}\right) } \\[ 5pt ]
&=&\frac {\displaystyle 1- \mathrm {e}^{-\frac {2T}{\tau }}}{\displaystyle 1- \mathrm {e}^{-\frac {T}{\tau }}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\displaystyle \left( 1+ \mathrm {e}^{-\frac {T}{\tau }}\right) \left( 1- \mathrm {e}^{-\frac {T}{\tau }}\right) }{\displaystyle 1- \mathrm {e}^{-\frac {T}{\tau }}} \\[ 5pt ]
&=&1+ \mathrm {e}^{-\frac {T}{\tau }} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(5)解答：カ
(4)の解答式より，
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm {e}^{-\frac {T}{\tau }}&=&\frac {v\left( 2T\right) }{v\left( T\right) }-1 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であるから，これを\( \ t=T \ \)とおいた(3)の解答式に代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
v\left( T\right) &=&v\left( \infty \right) \left( 1- \mathrm {e}^{-\frac {T}{\tau }}\right) \\[ 5pt ]
&=&v\left( \infty \right) \left[ 1- \left\{ \frac {v\left( 2T\right) }{v\left( T\right) }-1\right\} \right] \\[ 5pt ]
&=&v\left( \infty \right) \left\{ 2-\frac {v\left( 2T\right) }{v\left( T\right) } \right\} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
愛知県出身 愛称たけちゃん
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