《電力》〈送電〉[R07上:問12]架空電線路の電線の実長に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★☆（やや難しい）

ある架空電線路の支持点間は\( \ 200 \ \mathrm {m} \ \)，たるみは\( \ 3.0 \ \mathrm {m} \ \)である。この架空電線路の電線と単位長さあたりの重量が同じ電線を用い，この架空電線路と同じ水平方向の引張強さで支持点間\( \ 240 \ \mathrm {m} \ \)を架線する。このときの電線の実長\( \ L \ \mathrm {[m]} \ \)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。ただし，いずれの架空電線路においても二つの支持点の高さは同一とする。

　(1)　\( \ 240.04 \ \)　　(2)　\( \ 240.05 \ \)　　(3)　\( \ 240.14 \ \)　　(4)　\( \ 240.21 \ \)　
　(5)　\( \ 240.25 \ \)

【ワンポイント解説】

架空電線路の支持点間の距離を変化させたときの電線の実長を問う問題です。
たるみの公式及び電線の実長の公式を二つとも覚えていないと解くことができません。いずれも数学的導出は難解なので，覚えておくようにして下さい。

1.電線のたるみの公式
図1の通り，径間を\( \ S \ [ \mathrm {m} ] \ \)，水平張力\( \ T \ [ \mathrm {N} ] \ \)，電線\( \ 1 \ \mathrm {m} \ \)あたりの質量荷重\( \ w \ [ \mathrm {N/m} ] \ \)とすると，電線のたるみ\( \ D \ [\mathrm {m} ] \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
D&=&\frac {wS^{2}}{8T} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.電線の長さ\( \ L \ \)とたるみ\( \ D \ \)の関係
送電線の支持点間の距離\( \ S \ \mathrm {[m]} \ \)とたるみ\( \ D \ \mathrm {[m]} \ \)が与えられている時，電線の長さ\( \ L \ \mathrm {[m]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
L&=&S+\frac {8D^{2}}{3S} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められます。

【解答】

解答：(4)
ワンポイント解説「1.電線のたるみの公式」の通り，単位長さあたりの重量が同じ電線で，水平方向の引張強さが同じ場合，たるみは径間の\( \ 2 \ \)乗に比例するから，支持点間が\( \ S=240 \ \mathrm {[m]} \ \)のときのたるみ\( \ D \ [\mathrm {m} ] \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
D&=&\left( \frac {240}{200}\right) ^{2}\times 3.0 \\[ 5pt ] &=&4.32 \ \mathrm {[m]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，このときの電線の実長\( \ L \ \mathrm {[m]} \ \)は，ワンポイント解説「2.電線の長さ\( \ L \ \)とたるみ\( \ D \ \)の関係」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
L&=&S+\frac {8D^{2}}{3S} \\[ 5pt ] &=&240+\frac {8\times 4.32^{2}}{3\times 240} \\[ 5pt ] &≒&240.21 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。