《電力》〈新エネルギー発電〉[H30:問5]風力発電所の軸出力に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★☆(やや難しい)

ロータ半径が\( \ 30 \ \mathrm {m} \ \)の風車がある。風車が受ける風速が\( \ 10 \ \mathrm {m/s} \ \)で,風車のパワー係数が\( \ 50 \ \mathrm {%} \ \)のとき,風車のロータ軸出力\( \ \mathrm {[kW]} \ \)に最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。ただし,空気の密度を\( \ 1.2 \ \mathrm {kg/m^{3}} \ \)とする。ここでパワー係数とは,単位時間当たりにロータを通過する風のエネルギーのうちで,風車が風から取り出せるエネルギーの割合である。

 (1) \(57\)  (2) \(85\)  (3) \(710\)  (4) \(850\)  (5) \(1700\)

【ワンポイント解説】

風力発電所の出力に関する問題です。風力発電所の最大の特徴は出力が風速の3乗に比例することで,本問は公式を暗記していれば一発で解くことができます。ただし,公式は丸暗記ではなくその導出過程も理解しておくと良いと思います。さらに本問の場合,パワー係数や空気の密度等の計算をし忘れると別の選択肢を選んでしまう引っ掛け問題となっていますので,十分に注意して下さい。

1.風力発電所の出力
図1に示すように,風車の受風面積を\( \ A \ \mathrm {[m^{2}]} \ \),風速を\( \ v \ \mathrm {[m/s]} \ \)とすると,単位時間当たりに通過する風の体積\( \ V \ \mathrm {[m^{3}/s]} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
V &=&Av \ \mathrm {[m^{3}/s]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。したがって,単位時間当たりに通過する風の質量\( \ m \ \mathrm {[kg/m^{3}]} \ \)は,空気の密度を\( \ \rho \ \mathrm {[kg/m^{3}]} \ \)とすると,
\[
\begin{eqnarray}
m &=&\rho V \\[ 5pt ] &=&\rho Av \ \mathrm {[kg/s]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。物体の運動エネルギーは\(\displaystyle E=\frac {1}{2}mv^{2}\)であるので,単位時間当たりの風のエネルギー(≒出力)\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
P &=&\frac {1}{2}mv^{2} \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{2}\rho Av^{3} \ \mathrm {[W]}\\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められます。

【解答】

解答:(4)
ロータ半径\(r\)が\( \ 30 \ \mathrm {m} \ \)であるので,風車の受風面積\(A\)は,
\[
\begin{eqnarray}
A &=&\pi r^{2} \\[ 5pt ] &≒&2827.4 \ \mathrm {[m^{2}]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから,ワンポイント解説「1.風力発電所の出力」より,風車の軸出力\(P\)は風車のパワー係数を考慮に入れると,
\[
\begin{eqnarray}
P &=&\frac {50}{100}\cdot \frac {1}{2}\rho Av^{3} \\[ 5pt ] &=&\frac {50}{100}\times \frac {1}{2}\times 1.2 \times 2827.4 \times 10^{3} \\[ 5pt ] &≒&850000 \ \mathrm {[W]} → 850 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。