《電力》〈水力〉[R07下:問2]単位体積当たりの水が保有している運動エネルギーに関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

水力発電所の水圧管内における単位体積当たりの水が保有している運動エネルギー\( \ \mathrm {[J / m^{3}]} \ \)を表す式として，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

ただし，水の速度は水圧管の同一断面において管路方向に均一とする。また，\( \ \rho \ \)は水の密度\( \ \mathrm {[kg / m^{3}]} \ \)，\( \ v \ \)は水の速度\( \ \mathrm {[m / s]} \ \)を表す。

　(1)　\( \ \displaystyle \frac {1}{2}\rho v^{2} \ \)　　(2)　\( \ \displaystyle \frac {1}{2}\rho ^{2}v \ \)　　(3)　\( \ 2\rho v \ \)　　(4)　\( \ \sqrt {2\rho v} \ \)　　(5)　\( \ \displaystyle \frac {1}{2}\rho ^{2}v^{2} \ \)

【ワンポイント解説】

水力発電所における水の持つ運動エネルギーに関する問題です。
あまり難しく考えず運動エネルギーの公式\( \ \displaystyle E=\frac {1}{2}mv^{2} \ \)から正答を導き出すことが重要です。
本問は平成11年問2からの再出題となります。

1.水の持つ運動エネルギー
図1に示すように，水が通過する水路の断面積を\( \ A \ \mathrm {[m^{2}]} \ \)，流速を\( \ v \ \mathrm {[m / s]} \ \)とすると，単位時間当たりに通過する水の体積\( \ V \ \mathrm {[m^{3} / s]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
V &=&Av \ \mathrm {[m^{3} / s]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。したがって，単位時間当たりに通過する水の質量\( \ m \ \mathrm {[kg / s]} \ \)は，水の密度を\( \ \rho \ \mathrm {[kg / m^{3}]} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
m &=&\rho V \\[ 5pt ] &=&\rho Av \ \mathrm {[kg / s]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。物体の運動エネルギーは\( \ \displaystyle E=\frac {1}{2}mv^{2} \ \)であるので，単位時間当たりの水の持つ運動エネルギー\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P &=&\frac {1}{2}mv^{2} \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{2}\rho Av^{3} \ \mathrm {[W]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められます。

【解答】

解答：(1)
単位時間当たりに通過する水が保有している運動エネルギー\( \ W \ \mathrm {[J]} \ \)は，ワンポイント解説「1.水の持つ運動エネルギー」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
W &=&\frac {1}{2}\rho Av^{3} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，単位体積あたりの水が保有している運動エネルギー\( \ w \ \mathrm {[J / m^{3}]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
w &=&\frac {\displaystyle \frac {1}{2}\rho Av^{3}}{Av} \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{2}\rho v^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。