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【問題】
【難易度】★★★☆☆(普通)
変電所から三相\( \ 3 \ \)線式\( \ 1 \ \)回線の専用配電線で受電している需要家がある。この配電線路の電線\( \ 1 \ \)条当たりの抵抗及びリアクタンスの値は,それぞれ\( \ 3 \ \mathrm {\Omega } \ \)及び\( \ 5 \ \mathrm {\Omega } \ \)である。この需要家の使用電力が\( \ 8 \ 000 \ \mathrm {kW} \ \),負荷の力率が\( \ 0.8 \ \)(遅れ)であるとき,次の(a)及び(b)の問に答えよ。
(a) 需要家の受電電圧が\( \ 20 \ \mathrm {kV} \ \)のとき,変電所引出口の電圧\( \ \mathrm {[kV]} \ \)の値として,最も近いのは次のうちどれか。
(1) \( \ 21.6 \ \) (2) \( \ 22.2 \ \) (3) \( \ 22.7 \ \) (4) \( \ 22.9 \ \) (5) \( \ 23.1 \ \)
(b) 需要家にコンデンサを設置して,負荷の力率を\( \ 0.95 \ \)(遅れ)に改善するとき,この配電線の電圧降下の値\( \ \mathrm {[V]} \ \)の,コンデンサ設置前の電圧降下の値\( \ \mathrm {[V]} \ \)に対する比率\( \ \mathrm {[%]} \ \)の値として,最も近いのは次のうちどれか。
ただし,この需要家の受電電圧\( \ \mathrm {[kV]} \ \)は,コンデンサ設置前と同一の\( \ 20 \ \mathrm {kV} \ \)とする。
(1) \( \ 66.6 \ \) (2) \( \ 68.8 \ \) (3) \( \ 75.5 \ \) (4) \( \ 81.7 \ \) (5) \( \ 97.0 \ \)
【ワンポイント解説】
需要家にコンデンサを接続したときの電圧変化に関する問題です。
解法パターンが同じなので,(a)が解けた方が(b)も解ける非常に厳しい問題となります。
電力科目でも出題される重要な内容なので,必ず理解するようにしましょう。
本問はやや古いですが平成15年問12からの再出題となります。
1.配電線の電圧降下の近似式
①単相\( \ 2 \ \)線式配電線の電圧降下
単相\( \ 2 \ \)線式線路は図1のような回路になり,負荷に対して供給される線路と戻りの線路の\( \ 2 \ \)段階で電圧降下が発生します。したがって,負荷の力率が遅れ力率\( \ \cos \theta \ \)であるときのベクトル図を描くと図2のようになります。
図2のベクトル図において,\( \ {\dot V}_{\mathrm {s}} \ \)と\( \ {\dot V}_{\mathrm {r}} \ \)の位相差が十分に小さいと仮定すると,線路の電圧降下\( \ \varepsilon =V_{\mathrm {s}}-V_{\mathrm {r}} \ \mathrm {[V]} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {s}}&≃&V_{\mathrm {r}}+2RI\cos \theta +2XI\sin \theta \\[ 5pt ]
V_{\mathrm {s}}-V_{\mathrm {r}}&=&2RI\cos \theta +2XI\sin \theta \\[ 5pt ]
\varepsilon &=&2I\left( R\cos \theta +X\sin \theta \right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められます。
②三相\( \ 3 \ \)線式配電線の電圧降下
三相回路においては,一相分の等価回路及びベクトル図は図3及び図4のように描くことができ,三相分の電圧降下\( \ \varepsilon \ \mathrm {[V]} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
\frac {V_{\mathrm {s}}}{\sqrt {3}}&≃&\frac {V_{\mathrm {r}}}{\sqrt {3}}+RI\cos \theta +XI\sin \theta \\[ 5pt ]
\frac {V_{\mathrm {s}}}{\sqrt {3}}-\frac {V_{\mathrm {r}}}{\sqrt {3}}&=&RI\cos \theta +XI\sin \theta \\[ 5pt ]
V_{\mathrm {s}}-V_{\mathrm {r}}&=&\sqrt {3}\left( RI\cos \theta +XI\sin \theta \right) \\[ 5pt ]
\varepsilon &=&\sqrt {3}I\left( R\cos \theta +X\sin \theta \right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められます。
【解答】
(a)解答:(3)
題意に沿って単線図を描くと図5のようになる。
需要家の使用電力が\( \ P=8 \ 000 \ \mathrm {[kW]} \ \)であることから,負荷電流の大きさ\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
P&=&\sqrt {3}V_{\mathrm {r}}I\cos \theta \\[ 5pt ]
I&=&\frac {P}{\sqrt {3}V_{\mathrm {r}}\cos \theta } \\[ 5pt ]
&=&\frac {8 \ 000\times 10^{3}}{\sqrt {3}\times 20\times 10^{3}\times 0.8} \\[ 5pt ]
&≒&288.7 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり,\( \ \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1 \ \)より,負荷の\( \ \sin \theta \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
\sin \theta &=&\sqrt {1-\cos ^{2}\theta } \\[ 5pt ]
&=&\sqrt {1-\cos ^{2}\theta } \\[ 5pt ]
&=&\sqrt {1-0.8^{2}} \\[ 5pt ]
&=&0.6 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。これより,線路での電圧降下\( \ \varepsilon \ \mathrm {[kV]} \ \)は,ワンポイント解説「1.配電線の電圧降下の近似式」の通り,
\[
\begin{eqnarray}
\varepsilon &=&\sqrt {3}I\left( R\cos \theta +X\sin \theta \right) \\[ 5pt ]
&=&\sqrt {3}\times 288.7\times \left( 3\times 0.8 +5\times 0.6 \right) \\[ 5pt ]
&≒&2 \ 700 \ \mathrm {[V]} → 2.700 \ \mathrm {[kV]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので,変電所引出口の電圧\( \ V_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[kV]} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {s}}&=&V_{\mathrm {r}}+\varepsilon \\[ 5pt ]
&=&20+2.700 \\[ 5pt ]
&=&22.7 \ \mathrm {[kV]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(b)解答:(2)
負荷の力率\( \ \cos \theta ^{\prime }=0.95 \ \)のときの負荷電流の大きさ\( \ I^{\prime } \ \mathrm {[A]} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
P&=&\sqrt {3}V_{\mathrm {r}}I^{\prime }\cos \theta ^{\prime } \\[ 5pt ]
I^{\prime }&=&\frac {P}{\sqrt {3}V_{\mathrm {r}}\cos \theta ^{\prime }} \\[ 5pt ]
&=&\frac {8 \ 000\times 10^{3}}{\sqrt {3}\times 20\times 10^{3}\times 0.95} \\[ 5pt ]
&≒&243.1 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり,負荷の\( \ \sin \theta ^{\prime } \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
\sin \theta ^{\prime } &=&\sqrt {1-\cos ^{2}\theta ^{\prime } } \\[ 5pt ]
&=&\sqrt {1-\cos ^{2}\theta ^{\prime } } \\[ 5pt ]
&=&\sqrt {1-0.95^{2}} \\[ 5pt ]
&≒&0.312 \ 2 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。これより,線路での電圧降下\( \ \varepsilon ^{\prime } \ \mathrm {[V]} \ \)は,ワンポイント解説「1.配電線の電圧降下の近似式」の通り,
\[
\begin{eqnarray}
\varepsilon ^{\prime }&=&\sqrt {3}I\left( R\cos \theta ^{\prime } +X\sin \theta ^{\prime } \right) \\[ 5pt ]
&=&\sqrt {3}\times 243.1\times \left( 3\times 0.95 +5\times 0.312 \ 2 \right) \\[ 5pt ]
&≒&1 \ 857 \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので,コンデンサ接続前後の電圧降下の比は,
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\varepsilon ^{\prime }}{\varepsilon }&=&\frac {1 \ 857}{2 \ 700} \\[ 5pt ]
&≒&0.688 → 68.8 \ \mathrm {[%]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。