《法規》〈電気施設管理〉[R01:問12]高圧配電線路の力率改善とその容量に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

三相\( \ 3 \ \)線式の高圧電路に\( \ 300 \ \mathrm {kW} \ \)，遅れ力率\( \ 0.6 \ \)の三相負荷が接続されている。この負荷と並列に進相コンデンサ設備を接続して力率改善を行うものとする。進相コンデンサ設備は図に示すように直列リアクトル付三相コンデンサとし，直列リアクトル\( \ \mathrm {SR} \ \)のリアクタンス\( \ X_{\mathrm {L}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，三相コンデンサ\( \ \mathrm {SC} \ \)のリアクタンス\( \ X_{\mathrm {C}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の\( \ 6 \ \mathrm {％} \ \)とするとき，次の(a)及び(b)の問に答えよ。

ただし，高圧電路の線間電圧は\( \ 6 \ 600 \ \mathrm {V} \ \)とし，無効電力によって電圧は変動しないものとする。

(a)　進相コンデンサ設備を高圧電路に接続したときに三相コンデンサ\( \ \mathrm {SC} \ \)の端子電圧の値\( \ \mathrm {[V]} \ \)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　(1)　\( \ 6 \ 410 \ \)　　(2)　\( \ 6 \ 795 \ \)　　(3)　\( \ 6 \ 807 \ \)　　(4)　\( \ 6 \ 995 \ \)　　(5)　\( \ 7 \ 021 \ \)

(b)　進相コンデンサを負荷と並列に接続し，力率を遅れ\( \ 0.6 \ \)から遅れ\( \ 0.8 \ \)に改善した。このとき，この設備の三相コンデンサ\( \ \mathrm {SC} \ \)の容量の値\( \ \mathrm {[kvar]} \ \)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　(1)　\( \ 170 \ \)　　(2)　\( \ 180 \ \)　　(3)　\( \ 186 \ \)　　(4)　\( \ 192 \ \)　　(5)　\( \ 208 \ \)

【ワンポイント解説】

力率改善の問題は比較的出題されやすい内容です。本問はその中においては取り組みやすいレベルの問題で，ベクトル図を描くと間違えにくくなると思います。

1.コイルやコンデンサのリアクタンス
インダクタンスが\( \ L \ \mathrm {[H]} \ \)のコイル及び静電容量が\( \ C \ \mathrm {[F]} \ \)のコンデンサを角周波数\( \ \omega \ \mathrm {[rad／s]} \ \)の交流電源に接続した時のそれぞれのリアクタンスの大きさ\( \ X_{\mathrm {L}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)及び\( \ X_{\mathrm {C}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm {j}X_{\mathrm {L}}&=&\mathrm {j}\omega L \\[ 5pt ] -\mathrm {j}X_{\mathrm {C}}&=&\frac {1}{\mathrm {j}\omega C} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。\( \ -\mathrm {j} \ \)と\( \ \displaystyle \frac {1}{\mathrm {j}} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {1}{\mathrm {j}}&=&\frac {1}{\mathrm {j}}\times \frac {\mathrm {j}}{\mathrm {j}} \\[ 5pt ] &=&\frac {\mathrm {j}}{-1} \\[ 5pt ] &=&-\mathrm {j} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，数学的に全く同じ値になります。

2.有効電力\( \ P \ \)と無効電力\( \ Q \ \)
抵抗で消費される電力を有効電力\( \ P \ \)とリアクタンスで消費もしくは供給される電力を無効電力\( \ Q \ \)と呼び，図1のようにベクトル図を描きます。さらに，有効電力\( \ P \ \)と無効電力\( \ Q \ \)のベクトル和は皮相電力\( \ S \ \)と呼ばれ，
\[
\begin{eqnarray}
S&=&\sqrt {P^{2}+Q^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があります。図1において，力率は\( \ \cos \theta \ \)で定義され，
\[
\begin{eqnarray}
\cos \theta &=&\frac {P}{S} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

3.分圧の法則
図2に示した直列回路において，各抵抗にかかる電圧は以下の通りとなります。
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {R1}}&=&\frac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}}E \\[ 5pt ] V_{\mathrm {R2}}&=&\frac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}E \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【解答】

(a)解答：(5)
進相コンデンサ設備を高圧電路に接続したときの三相コンデンサ\( \ \mathrm {SC} \ \)の端子電圧\( \ V_{\mathrm {C}} \ \mathrm {[V]} \ \)は，高圧電路の線間電圧を\( \ V_{\mathrm {n}}=6 \ 600 \ \mathrm {[V]} \ \)とすると，ワンポイント解説「1.コイルやコンデンサのリアクタンス」及び「3.分圧の法則」より，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {C}}&=&\frac {-\mathrm {j}X_{\mathrm {C}}}{\mathrm {j}X_{\mathrm {L}}-\mathrm {j}X_{\mathrm {C}}}V_{\mathrm {n}} \\[ 5pt ] &=&\frac {-X_{\mathrm {C}}}{X_{\mathrm {L}}-X_{\mathrm {C}}}V_{\mathrm {n}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，\( \ X_{\mathrm {L}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，\( \ X_{\mathrm {C}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の\( \ 6 \ \mathrm {[％]} \ \)，すなわち\( \ X_{\mathrm {L}}=0.06X_{\mathrm {C}} \ \)であることに注意すれば，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {C}}&=&\frac {-X_{\mathrm {C}}}{0.06X_{\mathrm {C}}-X_{\mathrm {C}}}V_{\mathrm {n}} \\[ 5pt ] &=&\frac {-1}{0.06-1}\times 6 \ 600 \\[ 5pt ] &≒&7 \ 021 \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(b)解答：(3)
進相コンデンサ設備接続前後のベクトル図を図3に示す。図3より接続前後の無効電力\( \ Q_{1} \ \mathrm {[kvar]} \ \)及び\( \ Q_{2} \ \mathrm {[kvar]} \ \)は，三相負荷の有効電力が\( \ P=300 \ \mathrm {[kW]} \ \)，コンデンサ設備接続前後の力率がそれぞれ\( \ \cos \theta _{1}=0.6 \ \)，\( \ \cos \theta _{2}=0.8 \ \)なので，ワンポイント解説「2.有効電力\( \ P \ \)と無効電力\( \ Q \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
Q_{1}&=&P\tan \theta _{1} \\[ 5pt ] &=&P\frac {\sin \theta _{1}}{\cos \theta _{1}} \\[ 5pt ] &=&P\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta _{1}}}{\cos \theta _{1}} \\[ 5pt ] &=&300\times \frac {\sqrt {1-0.6^{2}}}{0.6} \\[ 5pt ] &=&300\times \frac {0.8}{0.6} \\[ 5pt ] &=&400 \ \mathrm {[kvar]} \\[ 5pt ] Q_{2}&=&P\tan \theta _{2} \\[ 5pt ] &=&P\frac {\sin \theta _{2}}{\cos \theta _{2}} \\[ 5pt ] &=&P\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta _{2}}}{\cos \theta _{2}} \\[ 5pt ] &=&300\times \frac {\sqrt {1-0.8^{2}}}{0.8} \\[ 5pt ] &=&300\times \frac {0.6}{0.8} \\[ 5pt ] &=&225 \ \mathrm {[kvar]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，進相コンデンサによる無効電力の供給容量\( \ Q_{\mathrm {C}} \ \mathrm {[kvar]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
Q_{\mathrm {C}}&=&Q_{1}-Q_{2} \\[ 5pt ] &=&400-225 \\[ 5pt ] &=&175 \ \mathrm {[kvar]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。ここで，進相コンデンサ設備には\( \ 6 \ \mathrm {[％]} \ \)の直列リアクトルのリアクタンス\( \ X_{\mathrm {L}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)が接続されているので，三相コンデンサ\( \ \mathrm {SC} \ \)の容量\( \ Q_{\mathrm {SC}} \ \mathrm {[kvar]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
Q_{\mathrm {SC}}&=&\frac {-\mathrm {j}X_{\mathrm {C}}}{\mathrm {j}X_{\mathrm {L}}-\mathrm {j}X_{\mathrm {C}}}\times Q_{\mathrm {C}} \\[ 5pt ] &=&\frac {-X_{\mathrm {C}}}{X_{\mathrm {L}}-X_{\mathrm {C}}}\times Q_{\mathrm {C}} \\[ 5pt ] &=&\frac {-X_{\mathrm {C}}}{0.06X_{\mathrm {C}}-X_{\mathrm {C}}}\times Q_{\mathrm {C}} \\[ 5pt ] &=&\frac {-1}{0.06-1}\times 175 \\[ 5pt ] &≒&186 \ \mathrm {[kvar]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。