《機械》〈変圧器〉[H18:問6]負荷接続時の一次電流と定格一次電流の比に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

定格容量\( \ 20 \ \mathrm {[kV\cdot A]} \ \)，定格一次電圧\( \ 6 \ 600 \ \mathrm {[V]} \ \)，定格二次電圧\( \ 220 \ \mathrm {[V]} \ \)の単相変圧器がある。この変圧器の一次側に定格電圧の電源を接続し，二次側に力率が\( \ 0.8 \ \)，インピーダンスが\( \ 2.5 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)である負荷を接続して運転しているときの一次巻線に流れる電流を\( \ I_{1} \ \mathrm {[A]} \ \)とする。定格運転時の一次巻線に流れる電流を\( \ I_{1r} \ \mathrm {[A]} \ \)とするとき\( \ \displaystyle \frac {I_{1}}{I_{1r}}\times 100 \ \mathrm {[％]} \ \)の値として，最も近いのは次のうちどれか。

ただし，一次・二次巻線の銅損，鉄心の鉄損，励磁電流及びインピーダンス降下は無視できるものとする。

　(1)　\( \ 89 \ \)　　(2)　\( \ 91 \ \)　　(3)　\( \ 93 \ \)　　(4)　\( \ 95 \ \)　　(5)　\( \ 97 \ \)

【ワンポイント解説】

変圧器の一次二次換算から一次電流の値を求める問題です。
余計な情報である力率\( \ 0.8 \ \)が受験生を悩ます問題かなと思います。
不要な情報が与えられる可能性もあるので，何を求める問題なのかしっかりと理解して解いていきましょう。

1.変圧器の巻数比と変圧比，変流比の関係
変圧器の一次側の巻数\( \ N_{1} \ \)，電圧\( \ V_{1} \ \mathrm {[V]} \ \)，電流\( \ I_{1} \ \mathrm {[A]} \ \)，二次側の巻数\( \ N_{2} \ \)，電圧\( \ V_{2} \ \mathrm {[V]} \ \)，電流\( \ I_{2} \ \mathrm {[A]} \ \)とすると，それぞれの関係は，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {N_{1}}{N_{2}} &=&\frac {V_{1}}{V_{2}}=\frac {I_{2}}{I_{1}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。インピーダンスは電圧を電流で割ったものであるため，一次側換算のインピーダンス\( \ Z_{1} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，二次側換算のインピーダンス\( \ Z_{2} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {Z_{1}}{Z_{2}} &=&\frac {\displaystyle \frac {V_{1}}{I_{1}}}{\displaystyle \frac {V_{2}}{I_{2}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {V_{1}}{I_{1}}\times \frac {I_{2}}{V_{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {V_{1}}{V_{2}}\times \frac {I_{2}}{I_{1}} \\[ 5pt ] &=&\left( \frac {N_{1}}{N_{2}} \right) ^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があります。

【解答】

解答：(5)
インピーダンス\( \ Z=2.5 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の負荷を接続し，定格一次電圧\( \ V_{1}=6 \ 600 \ \mathrm {[V]} \ \)を加えたときの回路は図1のようになる。
インピーダンスを一次換算した値\( \ Z_{1} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，ワンポイント解説「1.変圧器の巻数比と変圧比，変流比の関係」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
Z_{1} &=& \left( \frac {V_{1}}{V_{2}}\right) ^{2}Z \\[ 5pt ] &=& \left( \frac {6 \ 600}{220}\right) ^{2}\times 2.5 \\[ 5pt ] &=& 2 \ 250 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] なので，このときの一次電流\( \ I_{1} \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{1} &=& \frac {V_{1}}{Z_{1}} \\[ 5pt ] &=& \frac {6 \ 600}{2 \ 250} \\[ 5pt ] &≒& 2.933 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。

一方，定格容量\( \ P_{n}=20 \ \mathrm {[kV\cdot A]} \ \)，定格一次電圧\( \ V_{1}=6 \ 600 \ \mathrm {[V]} \ \)より，定格一次電流\( \ I_{1r} \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{1r} &=& \frac {P_{n}}{V_{1}} \\[ 5pt ] &=& \frac {20\times 10^{3}}{6 \ 600} \\[ 5pt ] &≒& 3.030 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，\( \ \displaystyle \frac {I_{1}}{I_{1r}}\times 100 \ \mathrm {[％]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {I_{1}}{I_{1r}}\times 100 &=& \frac {2.933}{3.030}\times 100 \\[ 5pt ] &≒& 96.8 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。