《機械》〈変圧器〉[R3:問15]単相変圧器の銅損及び最大効率に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆(やや易しい)

定格容量が\( \ 10 \ \mathrm {kV\cdot A} \ \)で,全負荷における銅損と鉄損の比が\( \ 2:1 \ \)の単相変圧器がある。力率\( \ 1.0 \ \)の全負荷における効率が\( \ 97 \ \mathrm {%} \ \)であるとき,次の(a)及び(b)の問に答えよ。ただし,定格容量とは出力側で見る値であり,鉄損と銅損以外の損失は全て無視するものとする。

(a) 全負荷における銅損は何\( \ \mathrm {[W]} \ \)になるか,最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

 (1) \( \ 357 \ \)  (2) \( \ 206 \ \)  (3) \( \ 200 \ \)  (4) \( \ 119 \ \)  (5) \( \ 115 \ \)

(b) 負荷の電圧と力率が一定のまま負荷を変化させた。このとき,変圧器の効率が最大となる負荷は全負荷の何\( \ \mathrm {[%]} \ \)か,最も近いものを(1)~(5)のうちから一つ選べ。

 (1) \( \ 25.0 \ \)  (2) \( \ 50.0 \ \)  (3) \( \ 70.7 \ \)  (4) \( \ 100 \ \)  (5) \( \ 141 \ \)

【ワンポイント解説】

単相変圧器の効率に関する問題です。
本問題は電験の\( \ \mathrm {B} \ \)問題としてはかなり易しい問題となるため,確実に理解して得点できるように準備しましょう。

1.変圧器の効率\( \ \eta \ \)と最大効率\( \ \eta _{\mathrm {m}} \ \)
変圧器の損失は鉄損\( \ p_{\mathrm {i}} \ \)と銅損\( \ p_{\mathrm {c}} \ \)があり,\( \ p_{\mathrm {i}} \ \)は負荷によらず一定であり,\( \ p_{\mathrm {c}} \ \)は負荷(電流)の\( \ 2 \ \)乗に比例します。従って,定格出力\( \ P_{\mathrm {n}} \ \)で利用率\( \ \alpha \ \)の時の変圧器の効率\( \ \eta \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {出力}{入力} \\[ 5pt ] &=&\frac {出力}{出力+損失} \\[ 5pt ] &=&\frac {\alpha P_{\mathrm {n}}}{\alpha P_{\mathrm {n}}+p_{\mathrm {i}}+\alpha ^{2}p_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。
次に,最大効率\( \ \eta _{\mathrm {m}} \ \)を求めます。上式の分母分子を\( \ \alpha \ \)で割ると
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {P_{\mathrm {n}}}{\displaystyle P_{\mathrm {n}}+\frac {p_{\mathrm {i}}}{\alpha }+\alpha p_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり,効率が最大となるためには,上式の分母が最小となれば良いです。よって,\( \ \displaystyle A=P_{\mathrm {n}}+\frac {p_{\mathrm {i}}}{\alpha }+\alpha p_{\mathrm {c}} \ \)と置くと,
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\mathrm {d}A}{\mathrm {d}\alpha }&=&-\frac {p_{\mathrm {i}}}{\alpha ^{2} }+p_{\mathrm {c}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。よって\( \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}A}{\mathrm {d}\alpha }=0 \ \)となるとき,\( \ p_{\mathrm {i}}=\alpha ^{2}p_{\mathrm {c}} \ \)であり,鉄損と銅損が等しい時効率は最大となります。

 ※ 電験\( \ 3 \ \)種においては,鉄損と銅損が等しい時,効率が最大となることを覚えていれば問題ありません。

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【解答】

(a)解答:(2)
ワンポイント解説「1.変圧器の効率\( \ \eta \ \)と最大効率\( \ \eta _{\mathrm {m}} \ \)」の通り,全負荷時(利用率\( \ \alpha =1 \ \))のときの効率\( \ \eta \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {P_{\mathrm {n}}}{P_{\mathrm {n}}+p_{\mathrm {i}}+p_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり,\( \ \eta =0.97 \ \),\( \ P_{\mathrm {n}}=10 \ \mathrm {[kV\cdot A]} \ \),\( \ \displaystyle p_{\mathrm {i}}=\frac {p_{\mathrm {c}}}{2} \ \)であるから,
\[
\begin{eqnarray}
0.97 &=&\frac {10\times 10^{3}}{\displaystyle 10\times 10^{3}+\frac {p_{\mathrm {c}}}{2}+p_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {10 \ 000}{\displaystyle 10 \ 000+\frac {3p_{\mathrm {c}}}{2}} \\[ 5pt ] 10 \ 000+\frac {3p_{\mathrm {c}}}{2}&=&\frac {10 \ 000}{0.97} \\[ 5pt ] \frac {3p_{\mathrm {c}}}{2}&=&\frac {10 \ 000}{0.97}-10 \ 000 \\[ 5pt ] p_{\mathrm {c}}&=&\frac {2}{3}\times \left( \frac {10 \ 000}{0.97}-10 \ 000 \right) \\[ 5pt ] &≒&206.2 → 206 \ \mathrm {[W]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(b)解答:(3)
ワンポイント解説「1.変圧器の効率\( \ \eta \ \)と最大効率\( \ \eta _{\mathrm {m}} \ \)」の通り,鉄損と銅損が等しいとき変圧器の効率が最大となるので,
\[
\begin{eqnarray}
p_{\mathrm {i}} &=&\alpha ^{2}p_{\mathrm {c}} \\[ 5pt ] \frac {p_{\mathrm {c}}}{2} &=&\alpha ^{2}p_{\mathrm {c}} \\[ 5pt ] \alpha ^{2}&=&\frac {1}{2} \\[ 5pt ] \alpha &=&\frac {1}{\sqrt {2}} \\[ 5pt ] &≒&0.707 → 70.7 \ \mathrm {[%]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。