《機械》〈変圧器〉[R3:問15]単相変圧器の銅損及び最大効率に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

定格容量が\( \ 10 \ \mathrm {kV\cdot A} \ \)で，全負荷における銅損と鉄損の比が\( \ 2：1 \ \)の単相変圧器がある。力率\( \ 1.0 \ \)の全負荷における効率が\( \ 97 \ \mathrm {％} \ \)であるとき，次の(a)及び(b)の問に答えよ。ただし，定格容量とは出力側で見る値であり，鉄損と銅損以外の損失は全て無視するものとする。

(a)　全負荷における銅損は何\( \ \mathrm {[W]} \ \)になるか，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　(1)　\( \ 357 \ \)　　(2)　\( \ 206 \ \)　　(3)　\( \ 200 \ \)　　(4)　\( \ 119 \ \)　　(5)　\( \ 115 \ \)

(b)　負荷の電圧と力率が一定のまま負荷を変化させた。このとき，変圧器の効率が最大となる負荷は全負荷の何\( \ \mathrm {[％]} \ \)か，最も近いものを(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　(1)　\( \ 25.0 \ \)　　(2)　\( \ 50.0 \ \)　　(3)　\( \ 70.7 \ \)　　(4)　\( \ 100 \ \)　　(5)　\( \ 141 \ \)

【ワンポイント解説】

単相変圧器の効率に関する問題です。
本問題は電験の\( \ \mathrm {B} \ \)問題としてはかなり易しい問題となるため，確実に理解して得点できるように準備しましょう。

1.変圧器の効率\( \ \eta \ \)と最大効率\( \ \eta _{\mathrm {m}} \ \)
変圧器の損失は鉄損\( \ p_{\mathrm {i}} \ \)と銅損\( \ p_{\mathrm {c}} \ \)があり，\( \ p_{\mathrm {i}} \ \)は負荷によらず一定であり，\( \ p_{\mathrm {c}} \ \)は負荷(電流)の\( \ 2 \ \)乗に比例します。従って，定格出力\( \ P_{\mathrm {n}} \ \)で利用率\( \ \alpha \ \)の時の変圧器の効率\( \ \eta \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {出力}{入力} \\[ 5pt ] &=&\frac {出力}{出力+損失} \\[ 5pt ] &=&\frac {\alpha P_{\mathrm {n}}}{\alpha P_{\mathrm {n}}+p_{\mathrm {i}}+\alpha ^{2}p_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。
次に，最大効率\( \ \eta _{\mathrm {m}} \ \)を求めます。上式の分母分子を\( \ \alpha \ \)で割ると
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {P_{\mathrm {n}}}{\displaystyle P_{\mathrm {n}}+\frac {p_{\mathrm {i}}}{\alpha }+\alpha p_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，効率が最大となるためには，上式の分母が最小となれば良いです。よって，\( \ \displaystyle A=P_{\mathrm {n}}+\frac {p_{\mathrm {i}}}{\alpha }+\alpha p_{\mathrm {c}} \ \)と置くと，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\mathrm {d}A}{\mathrm {d}\alpha }&=&-\frac {p_{\mathrm {i}}}{\alpha ^{2} }+p_{\mathrm {c}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。よって\( \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}A}{\mathrm {d}\alpha }=0 \ \)となるとき，\( \ p_{\mathrm {i}}=\alpha ^{2}p_{\mathrm {c}} \ \)であり，鉄損と銅損が等しい時効率は最大となります。

　※　電験\( \ 3 \ \)種においては，鉄損と銅損が等しい時，効率が最大となることを覚えていれば問題ありません。

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　　変圧器の効率

【解答】

(a)解答：(2)
ワンポイント解説「1.変圧器の効率\( \ \eta \ \)と最大効率\( \ \eta _{\mathrm {m}} \ \)」の通り，全負荷時（利用率\( \ \alpha =1 \ \)）のときの効率\( \ \eta \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {P_{\mathrm {n}}}{P_{\mathrm {n}}+p_{\mathrm {i}}+p_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり，\( \ \eta =0.97 \ \)，\( \ P_{\mathrm {n}}=10 \ \mathrm {[kV\cdot A]} \ \)，\( \ \displaystyle p_{\mathrm {i}}=\frac {p_{\mathrm {c}}}{2} \ \)であるから，
\[
\begin{eqnarray}
0.97 &=&\frac {10\times 10^{3}}{\displaystyle 10\times 10^{3}+\frac {p_{\mathrm {c}}}{2}+p_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {10 \ 000}{\displaystyle 10 \ 000+\frac {3p_{\mathrm {c}}}{2}} \\[ 5pt ] 10 \ 000+\frac {3p_{\mathrm {c}}}{2}&=&\frac {10 \ 000}{0.97} \\[ 5pt ] \frac {3p_{\mathrm {c}}}{2}&=&\frac {10 \ 000}{0.97}-10 \ 000 \\[ 5pt ] p_{\mathrm {c}}&=&\frac {2}{3}\times \left( \frac {10 \ 000}{0.97}-10 \ 000 \right) \\[ 5pt ] &≒&206.2　→　206 \ \mathrm {[W]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(b)解答：(3)
ワンポイント解説「1.変圧器の効率\( \ \eta \ \)と最大効率\( \ \eta _{\mathrm {m}} \ \)」の通り，鉄損と銅損が等しいとき変圧器の効率が最大となるので，
\[
\begin{eqnarray}
p_{\mathrm {i}} &=&\alpha ^{2}p_{\mathrm {c}} \\[ 5pt ] \frac {p_{\mathrm {c}}}{2} &=&\alpha ^{2}p_{\mathrm {c}} \\[ 5pt ] \alpha ^{2}&=&\frac {1}{2} \\[ 5pt ] \alpha &=&\frac {1}{\sqrt {2}} \\[ 5pt ] &≒&0.707　→　70.7 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。