《機械》〈照明〉[R06上:問17]球形光源の光度・輝度と直下の水平面照度に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

均等放射の球形光源（球の直径は\( \ 30 \ \mathrm {cm} \ \)）がある。床からこの球形光源の中心までの高さは\( \ 3 \ \mathrm {m} \ \)である。また，球形光源から放射される全光束は\( \ 12 \ 000 \ \mathrm {lm} \ \)である。次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a)　球形光源直下の床の水平面照度の値\( \ \mathrm {[lx]} \ \)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。ただし，天井や壁など，周囲からの反射光の影響はないものとする。

　(1)　\( \ 35 \ \)　　(2)　\( \ 106 \ \)　　(3)　\( \ 142 \ \)　　(4)　\( \ 212 \ \)　　(5)　\( \ 425 \ \)

(b)　球形光源の光度の値\( \ \mathrm {[cd]} \ \)と輝度の値\( \ \mathrm {[cd/m^{2}]} \ \)との組合せとして，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
\[
\begin{array}{ccc}
& 　光度　 & 　輝度　 \\
\hline
(1) & 　955　 & 　13 \ 500　 \\
\hline
(2) & 　955　 & 　3 \ 380　 \\
\hline
(3) & 　1 \ 910　 & 　1 \ 010　 \\
\hline
(4) & 　1 \ 910　 & 　27 \ 000　 \\
\hline
(5) & 　3 \ 820　 & 　13 \ 500　 \\
\hline
\end{array}
\]

【ワンポイント解説】

球形光源による水平面照度と球形光源の光度・輝度を求める問題です。
合格のためには(a)を間違えたくない問題となります。照度の問題は過去問でも何度も出題されていますので，必ず解けるようになりましょう。
本問は平成26年問17からの再出題となります。

1.光束\( \ F \ \)
光源から出る可視光の量（エネルギー）で，単位は\( \ \mathrm {[lm]} \ \)となります。
電磁気の分野の電束に似たようなイメージで良いです。

2.立体角の定義
図2のように球体があり，半径\( \ r \ \mathrm {[m]} \ \)の錐体が球面を切り取った時の面積を\( \ S \ \mathrm {[m^{2}]} \ \)とすると，立体角\( \ \omega \ \mathrm {[sr]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\omega &=&\frac {S}{r^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり，平面角\( \ \theta \ \mathrm {[rad]} \ \)で表すと，
\[
\begin{eqnarray}
\omega &=&2\pi \left( 1-\cos \theta \right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。球全体の立体角は\( \ \theta = \pi \ \)の時であり，\( \ \omega =4\pi \ \)となります。

3.光度\( \ I \ \)
ある方向に向かう光束\( \ F \ \mathrm {[lm]} \ \ \)を立体角\( \ \omega \ \mathrm {[sr]} \ \)で割ったもので，光度\( \ I \ \mathrm {[cd]} \ \ \)を式で表すと，
\[
\begin{eqnarray}
I &=&\frac {F}{\omega } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

4.照度\( \ E \ \)
図4のように，面積\( \ S \ \mathrm {[m^{2}]} \ \)へ入射する光束が\( \ F \ \mathrm {[lm]} \ \ \)であるとき，平均照度\( \ E \ \mathrm {[lx]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
E&=&\frac {F}{S} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，光源からある方向へ向かう光度が\( \ I \ \mathrm {[cd]} \ \)であるとき，光源からの距離\( \ l \ \mathrm {[m]} \ \)離れた垂直面の照度\( \ E \ \mathrm {[lx]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
E&=&\frac {F}{S} \\[ 5pt ] &=&\frac {4\pi I}{4\pi l^{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {I}{l^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められます。このように，一般に物理量が\( \ 2 \ \)乗に反比例する法則を逆\( \ 2 \ \)乗の法則といいます。

5.輝度\( \ L \ \)
図5のように，ある方向から見た光源のまぶしさを表す指標で，光源からある方向へ向かう光度が\( \ I \ \mathrm {[cd]} \ \)であるとき，輝度\( \ L \ \mathrm {[cd/m^{2}]} \ \)は，同じ方向から照明を見た投影面積を\( \ S \ \mathrm {[m^{2}]} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
L&=&\frac {I}{S} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められます。

【解答】

(a)解答：(2)
均等放射の球形光源から床に向かう光度\( \ I \ \mathrm {[cd]} \ \ \)は，球形光源の全光束が\( \ F=12 \ 000 \ \mathrm {[lm]} \ \)であるから，ワンポイント解説「2.立体角の定義」及び「3.光度\( \ I \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
I &=&\frac {F}{4\pi } \\[ 5pt ] &=&\frac {12 \ 000}{4\pi } \\[ 5pt ] &≒&954.9 \ \mathrm {[cd]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。よって，球形光源の直下における水平面照度\( \ E \ \mathrm {[lx]} \ \)の大きさは，光源からの距離\( \ l=3 \ \mathrm {[m]} \ \)なので，ワンポイント解説「4.照度\( \ E \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
E &=&\frac {I}{l^{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {954.9}{3^{2}} \\[ 5pt ] &=&106.1　→　106 \ \mathrm {[lx]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(b)解答：(1)
(a)より，球形光源の光度\( \ I=954.9 \ → \ 955 \ \mathrm {[cd]} \ \)と求められる。

また，球形光源をみたときの投影面積\( \ S \ \mathrm {[m^{2}]} \ \)は，球形光源の直径が\( \ D=0.3 \ \mathrm {[m]} \ \)より，
\[
\begin{eqnarray}
S &=&\pi \left( \frac {D}{2}\right) ^{2} \\[ 5pt ] &=&\pi \times \left( \frac {0.3}{2}\right) ^{2} \\[ 5pt ] &≒&0.0706 \ 9 \ \mathrm {[m^{2}]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，光源の輝度\( \ L \ \mathrm {[cd/m^{2}]} \ \)は，ワンポイント解説「5.輝度\( \ L \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
L &=&\frac {I}{S} \\[ 5pt ] &=&\frac {954.9}{0.0706 \ 9} \\[ 5pt ] &≒&13 \ 508　→　13 \ 500 \ \mathrm {[cd/m^{2}]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。