《理論》〈電気回路〉[R2:問15]対称三相回路に流れる電流と電力測定値に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★★（難しい）

図のように，線間電圧（実効値）\( \ 200 \ \mathrm {V} \ \)の対称三相交流電源に，\( \ 1 \ \)台の単相電力計\( \ \mathrm {W}_{1} \ \)，\( \ X=4 \ \mathrm {\Omega } \ \)の誘導性リアクタンス\( \ 3 \ \)個，\( \ R=9 \ \mathrm {\Omega } \ \)の抵抗\( \ 3 \ \)個を接続した回路がある。単相電力計\( \ \mathrm {W}_{1} \ \)の電流コイルは\( \ \mathrm {a} \ \)相に接続し，電圧コイルは\( \ \mathrm {b－c} \ \)相間に接続され，指示は正の値を示していた。この回路について，次の(a)及び(b)の問に答えよ。

ただし，対称三相交流電源の相順は，\( \ \mathrm {a} \ \)，\( \ \mathrm {b} \ \)，\( \ \mathrm {c} \ \)とし，単相電力計\( \ \mathrm {W}_{1} \ \)の損失は無視できるものとする。

(a)　\( \ R=9 \ \mathrm {\Omega } \ \)の抵抗に流れる電流\( \ I_{\mathrm {ab}} \ \)の実効値\( \ \mathrm {[A]} \ \)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　(1)　\( \ 6.77 \ \)　　(2)　\( \ 13.3 \ \)　　(3)　\( \ 17.3 \ \)　　(4)　\( \ 23.1 \ \)　　(5)　\( \ 40.0 \ \)

(b)　単相電力計\( \ \mathrm {W}_{1} \ \)の指示値\( \ \mathrm {[kW]} \ \)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　(1)　\( \ 0 \ \)　　(2)　\( \ 2.77 \ \)　　(3)　\( \ 3.70 \ \)　　(4)　\( \ 4.80 \ \)　　(5)　\( \ 6.40 \ \)

【ワンポイント解説】

\( \ \mathrm {\Delta – Y } \ \)変換，三相交流の特性，単相電力計の仕組み，すべてを理解した上で解ける高難度の問題です。複合問題は，それぞれの内容を分けて考えると理解できます。一つ一つじっくり理解した上で解いてみて下さい。

1.\( \ \Delta -\mathrm {Y} \ \)変換と\( \ \mathrm {Y}-\Delta \ \)変換
①\( \ \Delta -\mathrm {Y} \ \)変換
図1において，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {a}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {ab}}{\dot Z}_{\mathrm {ca}}}{{\dot Z}_{\mathrm {ab}}+{\dot Z}_{\mathrm {bc}}+{\dot Z}_{\mathrm {ca}}} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {b}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {bc}}{\dot Z}_{\mathrm {ab}}}{{\dot Z}_{\mathrm {ab}}+{\dot Z}_{\mathrm {bc}}+{\dot Z}_{\mathrm {ca}}} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {c}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {ca}}{\dot Z}_{\mathrm {bc}}}{{\dot Z}_{\mathrm {ab}}+{\dot Z}_{\mathrm {bc}}+{\dot Z}_{\mathrm {ca}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] ②\( \ \mathrm {Y}-\Delta \ \)変換
図1において，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {ab}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {a}}{\dot Z}_{\mathrm {b}}+{\dot Z}_{\mathrm {b}}{\dot Z}_{\mathrm {c}}+{\dot Z}_{\mathrm {c}}{\dot Z}_{\mathrm {a}}}{{\dot Z}_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {bc}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {a}}{\dot Z}_{\mathrm {b}}+{\dot Z}_{\mathrm {b}}{\dot Z}_{\mathrm {c}}+{\dot Z}_{\mathrm {c}}{\dot Z}_{\mathrm {a}}}{{\dot Z}_{\mathrm {a}}} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {ca}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {a}}{\dot Z}_{\mathrm {b}}+{\dot Z}_{\mathrm {b}}{\dot Z}_{\mathrm {c}}+{\dot Z}_{\mathrm {c}}{\dot Z}_{\mathrm {a}}}{{\dot Z}_{\mathrm {b}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] 平衡三相回路においては，
\[
{\dot Z}_{\mathrm {ab}}={\dot Z}_{\mathrm {bc}}={\dot Z}_{\mathrm {ca}}=3{\dot Z}_{\mathrm {a}}=3{\dot Z}_{\mathrm {b}}=3{\dot Z}_{\mathrm {c}}
\] となります。

2.\( \ \mathrm {Y} \ \)結線における相電圧と線間電圧の関係
図2のような三相対称電源がある時，線間電圧と相電圧の関係は図3のベクトル図のようになり，線間電圧の大きさ\( \ V \ \)は相電圧の大きさ\( \ E \ \)と比較すると，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {ab}} &=&\sqrt {3}E_{\mathrm {a}} \\[ 5pt ] V_{\mathrm {bc}} &=&\sqrt {3}E_{\mathrm {b}} \\[ 5pt ] V_{\mathrm {ca}} &=&\sqrt {3}E_{\mathrm {c}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] かつ\( \ \displaystyle \frac {\pi }{6} \)（30°)進みであることが分かります。

3.\( \ \Delta \ \)結線における相電流と線電流の関係
図4のような三相対称電源がある時，線電流と相電流の関係は図5のベクトル図のようになり，線電流の大きさは相電流の大きさと比較すると，
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {a}} &=&\sqrt {3}I_{\mathrm {ab}} \\[ 5pt ] I_{\mathrm {b}} &=&\sqrt {3}I_{\mathrm {bc}} \\[ 5pt ] I_{\mathrm {c}} &=&\sqrt {3}I_{\mathrm {ca}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] かつ\( \ \displaystyle \frac {\pi }{6} \)（30°)遅れであることが分かります。

【解答】

(a)解答：(2)
ワンポイント解説「1.\( \ \Delta -\mathrm {Y} \ \)変換と\( \ \mathrm {Y}-\Delta \ \)変換」に沿って，抵抗を\( \ \Delta -\mathrm {Y} \ \)変換すると，
\[
\begin{eqnarray}
R_{\mathrm {Y}}&=&\frac {9}{3} \\[ 5pt ] &=&3 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，一相分等価回路は，図6のようになる。
図6より，インピーダンスの大きさ\( \ Z \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
Z&=&\sqrt {{R_{\mathrm {Y}}}^{2}+X^{2}} \\[ 5pt ] &=&\sqrt {3^{2}+4^{2}} \\[ 5pt ] &=&5 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，線電流の大きさ\( \ I_{\mathrm {a}} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {a}}&=&\frac {\displaystyle \frac {200}{\sqrt {3}}}{Z} \\[ 5pt ] &=&\frac {\displaystyle \frac {200}{\sqrt {3}}}{5} \\[ 5pt ] &=& \frac {40}{\sqrt {3}} \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，ワンポイント解説「3.\( \ \Delta \ \)結線における相電流と線電流の関係」の通り，相電流は線電流の\( \ \displaystyle \frac {1}{\sqrt {3}} \ \)倍であるので，
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {ab}}&=&\frac {I_{\mathrm {a}}}{\sqrt {3}} \\[ 5pt ] &=&\frac {\displaystyle \frac {40}{\sqrt {3}}}{\sqrt {3}} \\[ 5pt ] &=& \frac {40}{3} \\[ 5pt ] &≒& 13.3 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(b)解答：(3)
\( \ \displaystyle {\dot E}_{\mathrm {a}} \ \)を基準とすると，\( \ {\dot I}_{\mathrm {a}} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot I}_{\mathrm {a}}&=&\frac {\displaystyle \frac {200}{\sqrt {3}}}{3+\mathrm {j}4} \\[ 5pt ] &=&\frac {\displaystyle \frac {200}{\sqrt {3}}}{3+\mathrm {j}4}\times \frac {3-\mathrm {j}4}{3-\mathrm {j}4} \\[ 5pt ] &=&\frac {\displaystyle \frac {200}{\sqrt {3}}\left( 3-\mathrm {j}4\right) }{25} \\[ 5pt ] &=&\frac {8}{\sqrt {3}}\left( 3-\mathrm {j}4\right) \\[ 5pt ] &≒&13.86 -\mathrm {j}18.48 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，図3より，\( \ {\dot V}_{\mathrm {bc}}=-\mathrm {j}200 \ \mathrm {[V]} \ \)であるから，単相電力計で測定する電力\( \ P \ \mathrm {[kW]} \ \)は，複素電力の実数部であるから，
\[
\begin{eqnarray}
P&=&\mathrm {Re}\left[ {\dot V}_{\mathrm {bc}}\overline {{\dot I}_{\mathrm {a}}} \right] \\[ 5pt ] &=&\mathrm {Re}\left[ -\mathrm {j}200\times \left( 13.86 +\mathrm {j}18.48\right) \right] \\[ 5pt ] &=&\mathrm {Re}\left[ 3696+\mathrm {j}2772 \right] \\[ 5pt ] &=&3696 \ \mathrm {[W]}　→　3.7 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。