《理論》〈電気回路〉[H27:問9]交流回路におけるコンデンサの電圧分担に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆(普通)

図のように,静電容量\(C_{1}=10 \ \mathrm{\mu F}\),\(C_{2}=900 \ \mathrm{\mu F}\),\(C_{3}=100 \ \mathrm{\mu F}\),\(C_{4}=900 \ \mathrm{\mu F}\)のコンデンサからなる直並列回路がある。この回路に周波数\(f=50 \ \mathrm{Hz}\)の交流電圧\(V_{\mathrm {in}} \ [ \mathrm {V} ]\)を加えたところ,\(C_{4}\)の両端の交流電圧は\(V_{\mathrm {out}} \ [ \mathrm {V} ]\)であった。
このとき,\(\displaystyle \frac {V_{\mathrm {out}}}{V_{\mathrm {in}}}\)の値として,最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

 (1) \(\displaystyle \frac {1}{1000}\)  (2) \(\displaystyle \frac {9}{1000}\)  (3) \(\displaystyle \frac {1}{100}\)  (4) \(\displaystyle \frac {99}{100}\)  (5) \(\displaystyle \frac {891}{1000}\)

【ワンポイント解説】

コンデンサのインピーダンスの分圧を計算できるかを問う問題です。静電容量が大きいほどインピーダンスが小さくなるという特徴を理解して下さい。

1.交流回路におけるコンデンサのインピーダンス
交流回路における,コンデンサのリアクタンス\(X \ [\Omega ]\)は,角周波数\(\omega \),周波数\(f\)とすると,
\[
\begin{eqnarray}
X&=&\frac {1}{\omega C} \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{2\pi f C} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

解答:(1)
コンデンサ\(C_{3}\)と\(C_{4}\)の合成静電容量\(C_{34}\)は,
\[
\begin{eqnarray}
C_{34}&=&\frac {C_{3}C_{4}}{C_{3}+C_{4}} \\[ 5pt ] &=&\frac {100\times 900}{100+900} \\[ 5pt ] &=&90 \ \mathrm{[\mu F]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり,コンデンサ\(C_{2}\)と\(C_{3}\),\(C_{4}\)の合成静電容量\(C_{234}\)は,
\[
\begin{eqnarray}
C_{234}&=&C_{2}+C_{34}\\[ 5pt ] &=&900+90 \\[ 5pt ] &=&990 \ \mathrm{[\mu F]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。よって,コンデンサ\(C_{2}\)の両端にかかる電圧\(V_{2}\)は,分圧の関係より,
\[
\begin{eqnarray}
V_{2}&=&\frac {\frac {1}{2\pi f C_{234}}}{\frac {1}{2\pi f C_{1}}+\frac {1}{2\pi f C_{234}}}V_{\mathrm {in}} \\[ 5pt ] &=&\frac {\frac {1}{C_{234}}}{\frac {1}{C_{1}}+\frac {1}{C_{234}}}V_{\mathrm {in}} \\[ 5pt ] &=&\frac {C_{1}}{C_{1}+C_{234}}V_{\mathrm {in}} \\[ 5pt ] &=&\frac {10}{10+990}V_{\mathrm {in}} \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{100}V_{\mathrm {in}}
\end{eqnarray}
\] となる。また,同様にコンデンサ\(C_{4}\)の両端にかかる電圧\(V_{V_{\mathrm {out}}}\)は,分圧の関係より,
\[
\begin{eqnarray}
V_{4}&=&\frac {\frac {1}{2\pi f C_{4}}}{\frac {1}{2\pi f C_{3}}+\frac {1}{2\pi f C_{4}}}V_{2} \\[ 5pt ] &=&\frac {\frac {1}{C_{4}}}{\frac {1}{C_{3}}+\frac {1}{C_{4}}}V_{2} \\[ 5pt ] &=&\frac {C_{3}}{C_{3}+C_{4}}V_{2} \\[ 5pt ] &=&\frac {100}{100+900}\frac {1}{100}V_{\mathrm {in}} \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{1000}V_{\mathrm {in}}
\end{eqnarray}
\] と求められる。