《理論》〈電磁気〉[H30:問3]点磁荷のクーロン法則に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

長さ\( \ 2 \ \mathrm {m} \ \)の直線状の棒磁石があり，その両端の磁極は点磁荷とみなすことができ，その強さは，\(\mathrm {N}\)極が\( \ 1\times 10^{-4} \ \mathrm {Wb} \ \)，\(\mathrm {S}\)極が\( \ -1\times 10^{-4} \ \mathrm {Wb} \ \) である。図のように，この棒磁石を点\(\mathrm {BC}\)間に置いた。このとき，点\(\mathrm {A}\)の磁界の大きさの値\( \ \mathrm {[A ／ m]} \ \)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

ただし，点\(\mathrm {A}\)，\(\mathrm {B}\)，\(\mathrm {C}\)は，一辺を\( \ 2 \ \mathrm {m} \ \)とする正三角形の各頂点に位置し，真空中にあるものとする。真空の透磁率は\(\mu _{0} = 4\pi \times 10^{-7} \ \mathrm {H ／ m}\)とする。また，\(\mathrm {N}\)極，\(\mathrm {S}\)極の各点磁荷以外の部分から点\(\mathrm {A}\)への影響はないものとする。

　(1)　\(0\)　　(2)　\(0.79\)　　(3)　\(1.05\)　　(4)　\(1.58\)　　(5)　\(3.16\)

【ワンポイント解説】

点磁界に関する問題ですが，中身は点電界と全く同じと考えて良いです。点電荷\(Q\)が点磁荷\(m\)となり，電界の強さ\(E\)が磁界の強さ\(H\)になり，真空の誘電率\(\varepsilon _{0}\)が真空の透磁率\(\mu _{0}\)となります。

1.点磁荷におけるクーロンの法則
真空中で距離\(r\)離れた二つの磁荷\(m_{\mathrm {A}}\)，\(m_{\mathrm {B}}\)に加わる力\(F\)は，真空の透磁率を\(\mu _{0}\)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
F &=&\frac {m_{\mathrm {A}}m_{\mathrm {B}}}{4\pi\mu _{0}r^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.点磁荷における磁界の大きさ\(H\)
電荷\(m\)から\(r\)離れた点における磁界の強さ\(H\)は，
\[
\begin{eqnarray}
H&=&\frac {m}{4\pi \mu _{0}r^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

解答：(4)
点\(\mathrm {A}\)における磁界の大きさを表すベクトル図を図1に示す。
図1において，点\(\mathrm {B}\)の磁荷\( \ 1\times 10^{-4} \ \mathrm {Wb} \ \)による磁界の大きさ\(H_{\mathrm {B}}\)は，ワンポイント解説「2.点磁荷における磁界の大きさ\(H\)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
H_{\mathrm {B}}&=&\frac {m}{4\pi \mu _{0}r^{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {1\times 10^{-4}}{4\pi \times 4\pi \times 10^{-7}\times 2^{2}} \\[ 5pt ] &≒&1.58 \ \mathrm {[A ／ m]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。また，点\(\mathrm {C}\)の磁荷\( \ -1\times 10^{-4} \ \mathrm {Wb} \ \)による磁界の大きさ\(H_{\mathrm {C}}\)も全く同じ大きさとなる。
よって，図1の通り，\(H_{\mathrm {B}}\)，\(H_{\mathrm {C}}\)が正三角形の辺となっていることから，その合成磁界\(H\)の大きさも\(H_{\mathrm {B}}\)と等しくなる。
したがって，\(H=1.58 \ \mathrm {[A ／ m]}\)と求められる。