《理論》〈電子理論〉[R4上:問12]電子の運動エネルギーに関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

真空中において，電子の運動エネルギーが$\ 400 \ \mathrm {eV} \ $のときの速さが$\ 1.19\times 10^{7} \ \mathrm {m / s} \ $であった。電子の運動エネルギーが$\ 100 \ \mathrm {eV} \ $のときの速さ$\ \mathrm {[m / s]} \ $の値として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

ただし，電子の相対性理論効果は無視するものとする。

　(1)　$\ 2.98\times 10^{6} \ $　　(2)　$\ 5.95\times 10^{6} \ $　　(3)　$\ 2.38\times 10^{7} \ $
　(4)　$\ 2.98\times 10^{9} \ $　　(5)　$\ 5.95\times 10^{9} \ $　　

【ワンポイント解説】

電子の運動エネルギーに関する問題です。
この問題の最大のカギは単位$\ \mathrm {[eV]} \ $を理解しているかどうかです。
$\ \mathrm {[eV]} \ $は一見電圧の単位に見えるかもしれませんが，きちんと中身を理解しておくようにしましょう。
本問は平成20年問12からの再出題となります。

1.物体の運動エネルギー（力学）
質量$\ m \ \mathrm {[kg]} \ $の物体が，速度$\ v \ \mathrm {[m／s]} \ $で運動しているときの運動エネルギー$\ K \ \mathrm {[J]} \ $は，

$$\begin{eqnarray} K &=&\frac {1}{2}mv^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となります。

2.電子ボルト（エレクトロンボルト）
電子の電荷$\ e \ \mathrm {[C]} \ $が真空中で$\ 1 \ \mathrm {[V]} \ $をかけたときに加速されるときのエネルギーを$\ 1 \ \mathrm {[eV]} \ $と定義した単位となります。
したがって，電気素量$\ e≒1.602\times 10^{-19} \ \mathrm {[C]} \ $であることから，エネルギーの単位$\ \mathrm {[J]} \ $と比較すると，

$$\begin{eqnarray} 1 \ \mathrm {[eV]} &≒&1.602\times 10^{-19} \ \mathrm {[J]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ の関係があります。

【解答】

解答：(2)
ワンポイント解説「1.物体の運動エネルギー（力学）」の通り，運動エネルギーは速さの$\ 2 \ $乗に比例するので，運動エネルギー変化前後の速度をそれぞれ$\ v_{1} \ \mathrm {[m / s]} \ $，$\ v_{2} \ \mathrm {[m / s]} \ $とし，そのときの運動エネルギーをそれぞれ$\ K_{1} \ \mathrm {[eV]} \ $，$\ K_{2} \ \mathrm {[eV]} \ $とすると，

$$\begin{eqnarray} \frac {K_{2}}{K_{1}} &=&\frac {\displaystyle \frac {1}{2}mv_{2}^{2}\times \frac {1}{1.602\times 10^{-19}}}{\displaystyle \frac {1}{2}mv_{1}^{2}\times \frac {1}{1.602\times 10^{-19}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {v_{2}^{2}}{v_{1}^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ の関係がある。電子の運動エネルギーが$\ K_{1}=400 \ \mathrm {[eV]} \ $のとき$\ v_{1}=1.19\times 10^{7} \ \mathrm {[m / s]} \ $であるから，電子の運動エネルギーが$\ K_{2}=100 \ \mathrm {[eV]} \ $のときの速度$\ v_{2} \ \mathrm {[m / s]} \ $は，
$$\begin{eqnarray} \frac {K_{2}}{K_{1}} &=&\frac {v_{2}^{2}}{v_{1}^{2}} \\[ 5pt ] v_{2}^{2} &=&v_{1}^{2}\frac {K_{2}}{K_{1}} \\[ 5pt ] v_{2} &=&v_{1}\sqrt {\frac {K_{2}}{K_{1}}} \\[ 5pt ] &=&1.19\times 10^{7}\times \sqrt {\frac {100}{400}} \\[ 5pt ] &=&1.19\times 10^{7}\times \frac {1}{2} \\[ 5pt ] &≒&5.95\times 10^{6} \ \mathrm {[m / s]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ と求められる。