《理論》〈電気回路〉[R07上:問7]直流回路の電流変化からの未知抵抗値の導出に関する計算問題

【問題】

【難易度】★☆☆☆☆（易しい）

図のような直流回路において，スイッチ\( \ \mathrm {S} \ \)を閉じているとき，\( \ 2 \ \mathrm {\Omega } \ \)の抵抗を流れる電流は，スイッチ\( \ \mathrm {S} \ \)を開いたときの電流の\( \ 3 \ \)倍であった。\( \ R \ \)の値\( \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　(1)　\( \ 2.5 \ \)　　(2)　\( \ 3.5 \ \)　　(3)　\( \ 0.5 \ \)　　(4)　\( \ 1.5 \ \)　　(5)　\( \ 4.5 \ \)

【ワンポイント解説】

スイッチ開閉前後の電流値の変化から，未知の抵抗の抵抗値を求める問題です。
電気回路の基本問題から一歩進んだレベルですが，電験としては比較的解きやすい問題となります。基本公式に忠実に丁寧に解くようにしましょう。
本問は平成8年問5からの再出題となります。

1.合成抵抗
抵抗\( \ R_{1} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)と\( \ R_{2} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)が与えられている時，それぞれの合成抵抗\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は以下の式で与えられます。

①直列
直列合成抵抗\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
R&=&R_{1}+R_{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

②並列
並列合成抵抗\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {1}{R}&=&\frac {1}{R_{1}}+\frac {1}{R_{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
R&=&\frac {R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

解答：(1)
スイッチ\( \ \mathrm {S} \ \)を閉じているときの合成抵抗\( \ R_{1} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
R_{1}&=&2+\frac {10R}{10+R} \\[ 5pt ] &=&\frac {2\left( 10+R\right) +10R}{10+R} \\[ 5pt ] &=&\frac {20+12R}{10+R} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，\( \ 2 \ \mathrm {\Omega } \ \)の抵抗を流れる電流\( \ I_{1} \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{1}&=&\frac {E}{R_{1}} \\[ 5pt ] &=&\frac {10+R}{20+12R}E \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。一方，スイッチ\( \ \mathrm {S} \ \)を開いているときの合成抵抗\( \ R_{2} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
R_{2}&=&2+10 \\[ 5pt ] &=&12 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，\( \ 2 \ \mathrm {\Omega } \ \)の抵抗を流れる電流\( \ I_{2} \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{2}&=&\frac {E}{R_{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {E}{12} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。題意より\( \ I_{1}=3I_{2} \ \)であるから，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {10+R}{20+12R}E&=&3\cdot \frac {E}{12} \\[ 5pt ] \frac {10+R}{20+12R}&=&\frac {1}{4} \\[ 5pt ] 4\left( 10+R\right) &=&20+12R \\[ 5pt ] 40+4R &=&20+12R \\[ 5pt ] 8R &=&20 \\[ 5pt ] R &=&2.5 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。