《理論》〈電磁気〉[H27:問2]平行平板コンデンサの静電エネルギーに関する計算問題

Contents

1 【問題】
2 【ワンポイント解説】
3 【解答】

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

図のように，真空中で2枚の電極を平行に向かい合せたコンデンサを考える。各電極の面積を\(A \ \mathrm {[m^{2}]}\)，電極の間隔を\(l \ \mathrm {[m]}\)とし，端効果は無視すると，静電容量は\(\fbox {　（ア）　} \ \mathrm {[F]}\)である。このコンデンサに直流電圧源を接続し，電荷\(Q \ \mathrm {[C]}\)を充電してから電圧源を外した。このとき，電極間の電界\(E=\fbox {　（イ）　} \ \mathrm {[V/m]}\)によって静電エネルギー\(W=\fbox {　（ウ）　} \ \mathrm {[J]}\)が蓄えられている。この状態で電極間隔を増大させると静電エネルギーも増大することから，二つの電極間には静電力の\(\fbox {　（エ）　}\)が働くことが分かる。
ただし，真空の誘電率を\(\varepsilon _{0} \ \mathrm {[F/m]}\)とする。

上記の記述中の空白箇所(ア)，(イ)，(ウ)及び(エ)に当てはまる組合せとして，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
\[
\begin{array}{ccccc}
& （ア） & （イ） & （ウ） & （エ） \\
\hline
(1) & 　\displaystyle \varepsilon _{0}\frac {A}{l}　 & 　\displaystyle \frac {Ql}{\varepsilon _{0}A}　 & 　\displaystyle \frac {Q^{2}l}{\varepsilon _{0}A}　 & 　引　力　 \\
\hline
(2) & \displaystyle \varepsilon _{0}\frac {A}{l} & \displaystyle \frac {Q}{\varepsilon _{0}A} & \displaystyle \frac {Q^{2}l}{2\varepsilon _{0}A} & 引　力 \\
\hline
(3) & \displaystyle \frac {A}{\varepsilon _{0}l} & \displaystyle \frac {Ql}{\varepsilon _{0}A} & \displaystyle \frac {Q^{2}l}{2\varepsilon _{0}A} & 斥　力 \\
\hline
(4) & \displaystyle \frac {A}{\varepsilon _{0}l} & \displaystyle \frac {Q}{\varepsilon _{0}A} & \displaystyle \frac {Q^{2}l}{\varepsilon _{0}A} & 斥　力 \\
\hline
(5) & \displaystyle \varepsilon _{0}\frac {A}{l} & \displaystyle \frac {Q}{\varepsilon _{0}A} & \displaystyle \frac {Q^{2}l}{2\varepsilon _{0}A} & 斥　力 \\
\hline
\end{array}
\]

【ワンポイント解説】

問1と同様に基本公式を理解しているかどうかが重要になります。電極間に引力が働くことは基本として理解しておきましょう。

1.平行平板コンデンサの電荷\(Q\)と静電容量\(C\)，電圧\(V\)の関係
静電容量\(C\)の平行平板コンデンサに電圧\(V\)をかけ，十分時間が経った時に蓄えられる電荷\(Q\)は，
\[
Q=CV
\] となります。

2.平行平板コンデンサの静電容量\(C\)の導出
平行平板コンデンサの極板の面積を\(S\)，極板間の距離を\(d\)，極板間の誘電率を\(\varepsilon \)とすると平行平板コンデンサの静電容量\(C\)は，
\[
C=\frac {\varepsilon S}{d}
\] となります。

3.平行平板コンデンサの電界\(E\)と電圧\(V\)の関係
極板間の距離\(d\)の平行平板コンデンサに電圧\(V\)をかけると，極板間の電界\(E\)は，
\[
E=\frac {V}{d}
\] となります。

4.コンデンサ間に蓄えられるエネルギー\(W\)
極板間の距離\(d\)の平行平板コンデンサに電圧\(V\)をかけると，極板間に蓄えられるエネルギー\(W\)は，
\[
W=\frac {1}{2}CV^{2}
\] となります。また，\(Q=CV\)の関係から，
\[
\begin{eqnarray}
W &=&\frac {1}{2}CV^{2} \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{2}QV \\[ 5pt ] &=&\frac {Q^{2}}{2C}
\end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

解答：(2)
(ア)
ワンポイント解説「2.平行平板コンデンサの静電容量\(C\)の導出」より，
\[
C=\varepsilon _{0} \frac {A}{l}
\] と求められる。

(イ)
ワンポイント解説「3.平行平板コンデンサの電界\(E\)と電圧\(V\)の関係」より，
\[
\begin{eqnarray}
E &=&\frac {V}{l} \\[ 5pt ] &=&\frac {Q}{Cl} \\[ 5pt ] &=&\frac {Ql}{\varepsilon _{0}Al} \\[ 5pt ] &=&\frac {Q}{\varepsilon _{0}A}
\end{eqnarray}
\] と求められる。

(ウ)
ワンポイント解説「4.コンデンサ間に蓄えられるエネルギー\(W\)」より，
\[
\begin{eqnarray}
W &=&\frac {Q^{2}}{2C} \\[ 5pt ] &=&\frac {Q^{2}l}{2\varepsilon _{0}A}
\end{eqnarray}
\] と求められる。

(エ)
(ウ)の解答式より，\(W\)は\(l\)に比例して増大する。\(W=F\Delta l\)の関係より，力\(F\)に逆らって\(\Delta l\)動かすとエネルギーが増大することになるので，\(F\)は引力となる。