《機械》〈直流機〉[H18:問15]直流分巻発電機の誘導起電力と効率に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

定格出力\( \ 100 \ \mathrm {[kW]} \ \)，定格電圧\( \ 220 \ \mathrm {[V]} \ \)の直流分巻発電機がある。この発電機の電機子巻線の抵抗は\( \ 0.05 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，界磁巻線の抵抗は\( \ 57.5 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，機械損の合計は\( \ 1.8 \ \mathrm {[kW]} \ \)である。

この発電機を定格電圧，定格出力で運転しているとき，次の(a)及び(b)に答えよ。

ただし，ブラシによる電圧降下，補極巻線の抵抗界磁鉄心と電機子鉄心の鉄損及び電機子反作用による電圧降下は無視できるものとする。

(a)　この発電機の誘導起電力\( \ \mathrm {[V]} \ \)の値として，最も近いのは次のうちどれか。

　(1)　\( \ 232 \ \)　　(2)　\( \ 239 \ \)　　(3)　\( \ 243 \ \)　　(4)　\( \ 252 \ \)　　(5)　\( \ 265 \ \)

(b) この発電機の効率\( \ \mathrm {[％]} \ \)の値として，最も近いのは次のうちどれか。

　(1)　\( \ 88 \ \)　　(2)　\( \ 90 \ \)　　(3)　\( \ 92 \ \)　　(4)　\( \ 94 \ \)　　(5)　\( \ 96 \ \)

【ワンポイント解説】

直流分巻発電機の誘導起電力と効率に関する問題です。
等価回路を描いて各値を求めていく最も多いパターンの問題となります。
本問を理解しておくと解ける過去問も増えると思いますので，しっかりと理解するようにして下さい。

1.直流分巻発電機及び電動機の等価回路と特性
分巻発電機の等価回路を図1-1，分巻電動機の等価回路を図1-2に示します。ただし，図において，\( \ E \ \mathrm {[V]} \ \)は誘導起電力（電動機の場合は逆起電力），\( \ V \ \mathrm {[V]} \ \)は端子電圧，\( \ I_{\mathrm {a}} \ \mathrm {[A]} \ \)は電機子電流，\( \ I_{\mathrm {f}} \ \mathrm {[A]} \ \)は界磁電流，\( \ R_{\mathrm {a}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は電機子抵抗，\( \ R_{\mathrm {f}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は界磁抵抗です。
界磁を同じ電源から得る自励式ですが，界磁回路が電機子回路に並列に接続されているのが特徴です。
等価回路より，分巻発電機においては，
\[
\begin{eqnarray}
E &=&V+R_{\mathrm {a}}I_{\mathrm {a}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] 分巻電動機においては，
\[
\begin{eqnarray}
V &=&E+R_{\mathrm {a}}I_{\mathrm {a}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があることがわかります。

磁束を\( \ \phi \ \mathrm {[Wb]} \ \)，回転速度を\( \ N \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)とすると，\( \ \phi ∝ I_{\mathrm {f}} \ \)となるので，誘導起電力（逆起電力）\( \ E \ \mathrm {[V]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
E &=&k_{\mathrm {e}}\phi N \\[ 5pt ] &=&k_{\mathrm {e}}^{\prime } I_{\mathrm {f}} N \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。またトルク\( \ T \ \mathrm {[N\cdot m]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
T &=&k_{\mathrm {f}}\phi I_{\mathrm {a}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.直流発電機の効率
直流発電機の\( \ \eta \ \mathrm {[％]} \ \)は，出力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)，固定損（鉄損と機械損の合計）\( \ P_{\mathrm {i}} \ \mathrm {[W]} \ \)，直接負荷損\( \ P_{\mathrm {a}} \ \mathrm {[W]} \ \)，界磁回路損\( \ P_{\mathrm {f}} \ \mathrm {[W]} \ \)とし，ブラシの損失や漂遊負荷損を無視すると，
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {出力}{入力}\times 100 \\[ 5pt ] &=&\frac {出力}{出力+損失}\times 100 \\[ 5pt ] &=&\frac {P}{P+P_{\mathrm {i}}+P_{\mathrm {a}}+P_{\mathrm {f}}}\times 100 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められます。

【解答】

(a)解答：(3)
題意に沿って等価回路を描くと図2のようになる。
図2より，負荷電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)及び励磁電流\( \ I_{f} \ \mathrm {[A]} \ \)の大きさは，
\[
\begin{eqnarray}
I &=&\frac {P_{n}}{V_{n}} \\[ 5pt ] &=&\frac {100 \times 10^{3}}{220} \\[ 5pt ] &≒&454.5 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] I_{f} &=&\frac {V_{n}}{R_{f}} \\[ 5pt ] &=&\frac {220}{57.5} \\[ 5pt ] &≒&3.826 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，電機子電流\( \ I_{a} \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{a} &=&I+I_{f} \\[ 5pt ] &=&454.5+3.826 \\[ 5pt ] &≒&458.3 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。よって，誘導起電力\( \ E_{a} \ \mathrm {[V]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
E_{a} &=&V_{n}+R_{a}I_{a} \\[ 5pt ] &=&220+0.05\times 458.3 \\[ 5pt ] &≒&242.9　→　243 \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(b)解答：(1)
直接負荷損\( \ P_{a} \ \mathrm {[kW]} \ \)及び界磁回路損\( \ P_{f} \ \mathrm {[kW]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{a} &=&R_{a}{I_{a}}^{2} \\[ 5pt ] &=&0.05\times {458.3}^{2} \\[ 5pt ] &≒&10 \ 500 \ \mathrm {[W]}　→　10.5 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ] P_{f} &=&R_{f}{I_{f}}^{2} \\[ 5pt ] &=&57.5\times {3.826}^{2} \\[ 5pt ] &≒&841.7 \ \mathrm {[W]}　→　0.841 \ 7 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，機械損の合計\( \ P_{i}=1.8 \ \mathrm {[kW]} \ \)なので，効率\( \ \eta \ \mathrm {[％]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {P_{n}}{P_{n}+P_{i}+P_{a}+P_{f}}\times 100 \\[ 5pt ] &=&\frac {100}{100+1.8+10.5+0.841 \ 7}\times 100 \\[ 5pt ] &≒&88.4 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。