《電力》〈配電〉[R07下:問13]増設可能な負荷の皮相電力に関する計算問題

Contents

1 【問題】
2 【ワンポイント解説】
3 【解答】

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

定格容量\( \ 200 \ \mathrm {kV\cdot A} \ \)の変圧器に，出力\( \ P \ \)が\( \ 120 \ \mathrm {kW} \ \)，遅れ力率\( \ \cos \theta \ \)が\( \ 0.6 \ \)の負荷が接続されている。変圧器の定格容量の範囲内で，この負荷と並列に遅れ力率\( \ \cos \theta \ \)が\( \ 0.6 \ \)の負荷を増設すると共に，進相コンデンサを接続して遅れ力率\( \ \cos \theta \ \)を\( \ 0.8 \ \)に改善したい。増設できる負荷（力率\( \ \cos \theta \ \)が\( \ 0.6 \ \)）の皮相電力\( \ S^{\prime } \ \mathrm {[kV\cdot A]} \ \)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　(1)　\( \ 93.3 \ \)　　(2)　\( \ 120 \ \)　　(3)　\( \ 66.7 \ \)　　(4)　\( \ 160 \ \)　　(5)　\( \ 40 \ \)

【ワンポイント解説】

新たに接続可能な負荷の皮相電力の大きさを求める問題です。
類題は多く出題されていますが，皮相電力を求める問題が少なく全く同じ問題の出題はなかったかと思います。
ベクトル図を描けるかが最も重要なポイントとなりますので，図7のようなベクトル図を描けるようにして下さい。

1.抵抗，コイル，コンデンサの電圧\( \ V \ \mathrm {[V]} \ \)と電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)の関係
抵抗\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，コイル\( \ L \ \mathrm {[H]} \ \)，コンデンサ\( \ C \ \mathrm {[F]} \ \)があり，電源の角周波数\( \ \omega \ \mathrm {[rad / s]} \ \)及び周波数\( \ f \ \mathrm {[Hz]} \ \)が与えられているとき，それぞれのインピーダンスは，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {R}}&=&R&& \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {L}}&=&\mathrm {j}\omega L&=&\mathrm {j}2\pi f L \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {C}}&=&\frac {1}{\mathrm {j}\omega C}&=&\frac {1}{\mathrm {j}2\pi f C} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められ，それぞれの電圧と電流の関係は，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{\mathrm {R}}&=&R\dot I \\[ 5pt ] {\dot V}_{\mathrm {L}}&=&\mathrm {j}\omega L \dot I \\[ 5pt ] {\dot V}_{\mathrm {C}}&=&\frac {\dot I }{\mathrm {j}\omega C} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。この関係をベクトル図に表すと，図1～図3となります。

2.有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)と無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)
抵抗で消費される電力を有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)，リアクタンスで消費もしくは供給される電力を無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)と呼び，図4のようにベクトル図を描きます。さらに，有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)と無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)のベクトル和は皮相電力\( \ S \ \mathrm {[V\cdot A]} \ \)と呼ばれ，
\[
\begin{eqnarray}
S&=&\sqrt {P^{2}+Q^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があります。図4において，力率は\( \ \cos \theta \ \)で定義され，
\[
\begin{eqnarray}
\cos \theta &=&\frac {P}{S} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

また，線路に電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)が流れているとき，皮相電力\( \ S \ \mathrm {[V\cdot A]} \ \)，有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)，無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)は，インピーダンスを\( \ Z \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，抵抗を\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，リアクタンスを\( \ X \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
S &=&ZI^{2} \\[ 5pt ] P &=&RI^{2} \\[ 5pt ] Q &=&XI^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるため，\( \ Z \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，\( \ X \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)に関しても電力と同様な図5のような関係を描くことができます。

【解答】

解答：(3)
題意に沿って単線図及びベクトル図を描くと図6及び図7になる。
\( \ S^{\prime } \ \mathrm {[kV\cdot A]} \ \)の負荷の有効電力\( \ P^{\prime } \ \mathrm {[kW]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P^{\prime } &=&S^{\prime }\cos \theta \\[ 5pt ] &=&0.6S^{\prime } \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，定格容量\( \ S_{\mathrm {n}}=200 \ \mathrm {[kV\cdot A]} \ \)の変圧器が力率\( \ \cos \theta ^{\prime } =0.8 \ \)で供給可能な有効電力\( \ P_{\mathrm {m}} \ \mathrm {[kW]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {m}}&=&S_{\mathrm {n}}\cos \theta ^{\prime } \\[ 5pt ] &=&200\times 0.8 \\[ 5pt ] &=&160 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。図7より，\( \ P+P^{\prime }=P_{\mathrm {m}} \ \)であるから，
\[
\begin{eqnarray}
P+P^{\prime }&=&P_{\mathrm {m}} \\[ 5pt ] 120+0.6S^{\prime }&=&160 \\[ 5pt ] 0.6S^{\prime }&=&40 \\[ 5pt ] S^{\prime }&≒&66.7 \ \mathrm {[kV\cdot A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。