平成29年理論(問16)について，なぜΔ-Y変換すると静電容量が3倍になるのでしょうか。

【質問】

2017年理論(問16)(b)の静電容量$C_{\mathrm {Y}}$と$C$の関係が分かりません。何で$3$が入ってくるのでしょうか？
よろしくお願いします。

【回答】

ご質問ありがとうございました。
$3$が入ってくるのは$\Delta – \mathrm {Y}$変換をするからです。
ちなみに，なぜ設問において$\Delta – \mathrm {Y}$変換をするかというと，三相平衡回路を一相分等価回路にして計算しやすくするためです。

それでは何故$\Delta – \mathrm {Y}$変換をすると静電容量に$3$がくっついてくるのか説明します。
図1のように静電容量$C$の$\Delta$結線された回路について，等価変換したいと思います。
まず，それぞれのインピーダンス$\dot Z$は，角周波数を$\omega$とすると，

$$\begin{eqnarray} \dot Z&=&\frac {1}{j\omega C} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となります。2017年理論(問16)(b)に掲載されている公式の通り$\Delta – \mathrm {Y}$変換をすると，$\mathrm {Y}$結線でのインピーダンス$\dot Z_{\mathrm {Y}}$は，
$$\begin{eqnarray} \dot Z_{\mathrm {Y}}&=&\frac {\dot Z\cdot \dot Z}{\dot Z+\dot Z+\dot Z} \\[ 5pt ] &=&\frac {\dot Z^{2}}{3\dot Z} \\[ 5pt ] &=&\frac {\dot Z}{3} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となるので，$\displaystyle \dot Z=\frac {1}{j\omega C}$を代入すると，
$$\begin{eqnarray} \dot Z_{\mathrm {Y}}&=&\frac {1}{3}\dot Z \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{3}\times \frac {1}{j\omega C}\\[ 5pt ] &=&\frac {1}{j\omega \left( 3C\right) } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となるので，静電容量$3C$のインピーダンスと等しくなります。
よって，静電容量を$\Delta – \mathrm {Y}$変換すると値が$3$倍となります。