《理論》〈電気回路〉[H29:問16]三相交流回路に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★☆(やや難しい)

図のように,線間電圧\( \ V \ \mathrm {\left[ V\right] } \ \),周波数\( \ f \ \mathrm {\left[ Hz\right] } \ \)の対称三相交流電源に,\( \ R \ \mathrm {\left[ \Omega\right] } \ \)の抵抗とインダクタンス\( \ L \ \mathrm {\left[ H\right] } \ \)のコイルからなる三相平衡負荷を接続した交流回路がある。この回路には,スイッチ\( \ \mathrm {S} \ \)を介して,負荷に静電容量\( \ C \ \mathrm {\left[ F\right] } \ \)の三相平衡コンデンサを接続することができる。次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a) スイッチ\( \ \mathrm {S} \ \)を開いた状態において,\( \ V=200 \ \mathrm {V} \ \),\( \ f=50 \ \mathrm {Hz} \ \),\( \ R=5 \ \mathrm {\Omega } \ \),\( \ L=5 \ \mathrm {mH} \ \)のとき,三相負荷全体の有効電力の値\( \ \mathrm {\left[ W\right] } \ \)と力率の値の組合せとして,最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。
\[
\begin{array}{ccc}
& 有効電力 & 力率 \\
\hline
(1) &  2.29\times 10^{3}  &  0.50  \\
\hline
(2) & 7.28\times 10^{3} & 0.71 \\
\hline
(3) & 7.28\times 10^{3} & 0.95 \\
\hline
(4) & 2.18\times 10^{4} & 0.71 \\
\hline
(5) & 2.18\times 10^{4} & 0.95 \\
\hline
\end{array}
\]

(b) スイッチ\( \ \mathrm {S} \ \)を閉じてコンデンサを接続したとき,電源からみた負荷側の力率が1になった。
  このとき,静電容量\( \ C \ \)の値\( \ \mathrm {\left[ F\right] } \ \)を示す式として,正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。ただし,角周波数を\( \ \omega \ \mathrm{\left[ rad/s\right] } \ \)とする。
\[
\begin{eqnarray}
&(1)& C=\frac {L}{R^{2}+\omega ^{2}L^{2}} \\[ 5pt ] &(2)& C=\frac {\omega L}{R^{2}+\omega ^{2}L^{2}} \\[ 5pt ] &(3)& C=\frac {L}{\sqrt {3}\left( R^{2}+\omega ^{2}L^{2}\right) } \\[ 5pt ] &(4)& C=\frac {L}{3\left( R^{2}+\omega ^{2}L^{2}\right) } \\[ 5pt ] &(5)& C=\frac {\omega L}{3\left( R^{2}+\omega ^{2}L^{2}\right) } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

平衡三相回路の一相分等価回路への書き換え,計算量の多い計算,さらには\(\Delta -\)Y変換も必要となる難問です。他の問題と比べると解くのに時間もかかるかもしれませんが,落ち着いて確実に解きましょう。

1.平衡三相回路の一相分等価回路
図1のように,平衡している三相回路は,一相分の等価回路に書き換えることができます。この時,\( \ \displaystyle E=\frac {V}{\sqrt {3}} \ \)となります。

2.\(\Delta -\mathrm {Y}\)変換と\(\mathrm {Y}-\Delta \)変換
①\(\Delta -\mathrm {Y}\)変換
図2において,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {a}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {ab}}{\dot Z}_{\mathrm {ca}}}{{\dot Z}_{\mathrm {ab}}+{\dot Z}_{\mathrm {bc}}+{\dot Z}_{\mathrm {ca}}} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {b}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {bc}}{\dot Z}_{\mathrm {ab}}}{{\dot Z}_{\mathrm {ab}}+{\dot Z}_{\mathrm {bc}}+{\dot Z}_{\mathrm {ca}}} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {c}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {ca}}{\dot Z}_{\mathrm {bc}}}{{\dot Z}_{\mathrm {ab}}+{\dot Z}_{\mathrm {bc}}+{\dot Z}_{\mathrm {ca}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] ②\(\mathrm {Y}-\Delta \)変換
図2において,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {ab}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {a}}{\dot Z}_{\mathrm {b}}+{\dot Z}_{\mathrm {b}}{\dot Z}_{\mathrm {c}}+{\dot Z}_{\mathrm {c}}{\dot Z}_{\mathrm {a}}}{{\dot Z}_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {bc}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {a}}{\dot Z}_{\mathrm {b}}+{\dot Z}_{\mathrm {b}}{\dot Z}_{\mathrm {c}}+{\dot Z}_{\mathrm {c}}{\dot Z}_{\mathrm {a}}}{{\dot Z}_{\mathrm {a}}} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {ca}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {a}}{\dot Z}_{\mathrm {b}}+{\dot Z}_{\mathrm {b}}{\dot Z}_{\mathrm {c}}+{\dot Z}_{\mathrm {c}}{\dot Z}_{\mathrm {a}}}{{\dot Z}_{\mathrm {b}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] 平衡三相回路においては,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{ab}={\dot Z}_{bc}={\dot Z}_{ca}=3{\dot Z}_{a}=3{\dot Z}_{b}=3{\dot Z}_{c} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

(a)解答:(3)
スイッチ\( \ \mathrm {S} \ \)を開いた状態では,図1のように一相分等価回路に書き換えることができる。この時,
\[
\begin{eqnarray}
E&=&\frac {V}{\sqrt {3}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり,\( \ R \ \)とインダクタンス\( \ L \ \)の合成インピーダンス\( \ Z \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
Z&=&\sqrt {R^{2}+\left( 2\pi f L\right) ^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから,回路を流れる電流\( \ I \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
I&=&\frac {E}{Z} \\[ 5pt ] &=&\frac {\displaystyle \frac {V}{\sqrt {3}}}{\sqrt {R^{2}+\left( 2\pi f L\right) ^{2}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {V}{\sqrt {3} \cdot \sqrt {R^{2}+\left( 2\pi f L\right) ^{2}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。三相負荷の有効電力\( \ P \ \)は,\( \ P=3RI^{2} \ \)であるから,
\[
\begin{eqnarray}
P&=&3R\left( \frac {V}{\sqrt {3} \cdot \sqrt {R^{2}+\left( 2\pi f L\right) ^{2}}}\right) ^{2} \\[ 5pt ] &=&\frac {RV^{2}}{R^{2}+\left( 2\pi f L\right) ^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。上式に,\( \ V=200 \ \mathrm {V} \ \),\( \ f=50 \ \mathrm {Hz} \ \),\( \ R=5 \ \mathrm {\Omega } \ \),\( \ L=5 \ \mathrm {mH} \ \)を代入すると,
\[
\begin{eqnarray}
P&=&\frac {5\times 200^{2}}{5^{2}+\left( 2\times 3.14\times 50 \times 5\times 10^{-3}\right) ^{2}} \\[ 5pt ] &≒&7282\mathrm {\left[ W\right] } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。力率\( \ \cos \theta \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
\cos \theta &=&\frac {R}{Z} \\[ 5pt ] &=&\frac {R}{\sqrt {R^{2}+\left( 2\pi f L\right) ^{2}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるから,\( \ f=50 \ \mathrm {Hz} \ \),\( \ R=5 \ \mathrm {\Omega } \ \),\( \ L=5 \ \mathrm {mH} \ \)を代入すると,
\[
\begin{eqnarray}
\cos \theta &=&\frac {5}{\sqrt {5^{2}+\left( 2\times 3.14\times 50\times 5\times 10^{-3}\right) ^{2}}} \\[ 5pt ] &≒&0.95 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(b)解答:(4)
ワンポイント解説「2.\(\Delta -\mathrm {Y}\)変換と\(\mathrm {Y}-\Delta \)変換」より,\( \ \Delta -\mathrm {Y} \ \)変換した後の,静電容量\( \ C_{\mathrm {Y}} \ \)と\( \ C \ \)の関係は,
\[
\begin{eqnarray}
\frac {1}{\omega C}&=&3\frac {1}{\omega C_{\mathrm {Y}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから,
\[
\begin{eqnarray}
C_{\mathrm {Y}}&=&3C \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。よって,一相分等価回路は,図3のように書くことができ,回路の合成アドミタンス\( \ Y \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
Y&=&\frac {1}{R+\mathrm {j}\omega L}+\mathrm {j}3\omega C \\[ 5pt ] &=&\frac {R-\mathrm {j}\omega L}{R^{2}+\left( \omega L\right) ^{2}}+\mathrm {j}3\omega C \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。ここで,力率が\( \ 1 \ \)となるためには,上式の虚部が零とならなければならないので,
\[
\begin{eqnarray}
\frac {-\omega L}{R^{2}+\left( \omega L\right) ^{2}}+3\omega C&=&0 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり,これを\( \ C \ \)について整理すると,
\[
\begin{eqnarray}
C&=&\frac {L}{3\left( R^{2}+\omega ^{2}L^{2}\right) } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。(→計算方法詳細