《理論》〈電気回路〉[H29:問16]三相交流回路に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★☆(やや難しい)

図のように,線間電圧\(V\mathrm {\left[ V\right] }\),周波数\(f\mathrm {\left[ Hz\right] }\)の対称三相交流電源に,\(R \mathrm {\left[ \Omega\right] }\)の抵抗とインダクタンス\(L\mathrm {\left[ H\right] }\)のコイルからなる三相平衡負荷を接続した交流回路がある。この回路には,スイッチ\(S\)を介して,負荷に静電容量\(C\mathrm {\left[ F\right] }\)の三相平衡コンデンサを接続することができる。次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a) スイッチ\(S\)を開いた状態において,\(V=200\mathrm {V}\),\(f=50\mathrm {Hz}\),\(R=5\mathrm {\Omega }\),\(L=5 \mathrm {mH}\)のとき,三相負荷全体の有効電力の値\(\mathrm {\left[ W\right] }\)と力率の値の組合せとして,最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

(b) スイッチ\(S\)を閉じてコンデンサを接続したとき,電源からみた負荷側の力率が1になった。
  このとき,静電容量\(C\)の値\(\mathrm {\left[ F\right] }\)を示す式として,正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。ただし,角周波数を\(\omega \mathrm{\left[ rad/s\right] }\)とする。
\[
(1) C=\frac {L}{R^{2}+\omega ^{2}L^{2}}
\] \[
(2) C=\frac {\omega L}{R^{2}+\omega ^{2}L^{2}}
\] \[
(3) C=\frac {L}{\sqrt {3}\left( R^{2}+\omega ^{2}L^{2}\right) }
\] \[
(4) C=\frac {L}{3\left( R^{2}+\omega ^{2}L^{2}\right) }
\] \[
(5) C=\frac {\omega L}{3\left( R^{2}+\omega ^{2}L^{2}\right) }
\]

【ワンポイント解説】

平衡三相回路の一相分等価回路への書き換え,計算量の多い計算,さらには\(\Delta -\)Y変換も必要となる難問です。他の問題と比べると解くのに時間もかかるかもしれませんが,落ち着いて確実に解きましょう。

1.平衡三相回路の一相分等価回路
図1のように,平衡している三相回路は,一相分の等価回路に書き換えることができます。この時,\(\displaystyle E=\frac {V}{\sqrt {3}}\)となります。

2.\(\Delta -\)Y変換とY\(-\Delta \)変換
①\(\Delta -\mathrm {Y}\)変換
図2において,
\[
\begin{eqnarray}
Z_{\mathrm {a}}&=&\frac {Z_{\mathrm {ab}}Z_{\mathrm {ca}}}{Z_{\mathrm {ab}}+Z_{\mathrm {bc}}+Z_{\mathrm {ca}}} \\[ 5pt ] Z_{\mathrm {b}}&=&\frac {Z_{\mathrm {bc}}Z_{\mathrm {ab}}}{Z_{\mathrm {ab}}+Z_{\mathrm {bc}}+Z_{\mathrm {ca}}} \\[ 5pt ] Z_{\mathrm {c}}&=&\frac {Z_{\mathrm {ca}}Z_{\mathrm {bc}}}{Z_{\mathrm {ab}}+Z_{\mathrm {bc}}+Z_{\mathrm {ca}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] ②\(\mathrm {Y}-\Delta \)変換
図2において,
\[
\begin{eqnarray}
Z_{\mathrm {ab}}&=&\frac {Z_{\mathrm {a}}Z_{\mathrm {b}}+Z_{\mathrm {b}}Z_{\mathrm {c}}+Z_{\mathrm {c}}Z_{\mathrm {a}}}{Z_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ] Z_{\mathrm {bc}}&=&\frac {Z_{\mathrm {a}}Z_{\mathrm {b}}+Z_{\mathrm {b}}Z_{\mathrm {c}}+Z_{\mathrm {c}}Z_{\mathrm {a}}}{Z_{\mathrm {a}}} \\[ 5pt ] Z_{\mathrm {ca}}&=&\frac {Z_{\mathrm {a}}Z_{\mathrm {b}}+Z_{\mathrm {b}}Z_{\mathrm {c}}+Z_{\mathrm {c}}Z_{\mathrm {a}}}{Z_{\mathrm {b}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] 平衡三相回路においては,
\[
Z_{ab}=Z_{bc}=Z_{ca}=3Z_{a}=3Z_{b}=3Z_{c}
\] となります。

【解答】

(a)解答:(3)
スイッチ\(S\)を開いた状態では,図1のように一相分等価回路に書き換えることができる。この時,
\[
E=\frac {V}{\sqrt {3}}
\] であり,\(R\)とインダクタンス\(L\)の合成インピーダンス\(Z\)は,
\[
Z=\sqrt {R^{2}+\left( 2\pi f L\right) ^{2}}
\] であるから,回路を流れる電流\(I\)は,
\[
I=\frac {E}{Z}=\frac {\frac {V}{\sqrt {3}}}{\sqrt {R^{2}+\left( 2\pi f L\right) ^{2}}}=\frac {V}{\sqrt {3} \cdot \sqrt {R^{2}+\left( 2\pi f L\right) ^{2}}}
\] となる。三相負荷の有効電力\(P\)は,\(P=3RI^{2}\)であるから,
\[
P=3R\left( \frac {V}{\sqrt {3} \cdot \sqrt {R^{2}+\left( 2\pi f L\right) ^{2}}}\right) ^{2}=\frac {RV^{2}}{R^{2}+\left( 2\pi f L\right) ^{2}}
\] となる。上式に,\(V=200\mathrm {V}\),\(f=50\mathrm {Hz}\),\(R=5\mathrm {\Omega }\),\(L=5\mathrm { mH}\)を代入すると,
\[
P=\frac {5\times 200^{2}}{5^{2}+\left( 2\times 3.14\times 50 \times 5\times 10^{-3}\right) ^{2}}≒7282\mathrm {\left[ W\right] }
\] と求められる。力率\(\cos \theta\)は,
\[
\cos \theta=\frac {R}{Z}=\frac {R}{\sqrt {R^{2}+\left( 2\pi f L\right) ^{2}}}
\] となるから,\(f=50\mathrm {Hz}\),\(R=5\mathrm {\Omega }\),\(L=5\mathrm {mH}\)を代入すると,
\[
\cos \theta=\frac {5}{\sqrt {5^{2}+\left( 2\times 3.14\times 50\times 5\times 10^{-3}\right) ^{2}}}≒0.95
\] と求められる。

(b)解答:(4)
ワンポイント解説「2.\(\Delta -\)Y変換とY\(-\Delta \)変換」より,\(\Delta -\)Y変換した後の,静電容量\(C_{Y}\)と\(C\)の関係は,
\[
\frac {1}{\omega C}=3\frac {1}{\omega C_{Y}}
\] であるから,
\[
C_{Y}=3C
\] となる。よって,一相分等価回路は,図3のように書くことができ,回路の合成アドミタンス\(Y\)は,
\[
Y=\frac {1}{R+j\omega L}+j3\omega C=\frac {R-j\omega L}{R^{2}+\left( \omega L\right) ^{2}}+j3\omega C
\] となる。ここで,力率が1となるためには,上式の虚部が零とならなければならないので,
\[
\frac {-\omega L}{R^{2}+\left( \omega L\right) ^{2}}+3\omega C=0
\] となり,これを\(C\)について整理すると,
\[
C=\frac {L}{3\left( R^{2}+\omega ^{2}L^{2}\right) }
\] と求められる。