《理論》〈電磁気〉[R04:問1]複素数を用いて2次元の電界を解析的に求める手法に関する計算問題

1 【問題】
2 【ワンポイント解説】
3 【解答】

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

次の文章は，複素数を用いて$ \ 2 \ $次元の電界を解析的に求める手法に関する記述である。文中の$ \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ $に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。

図1のように，$ \ z=x+\mathrm {j}y \ $で表される複素平面上で，$ \ y=0 \ $，$ \ x≧0 \ $で記述される原点が端で無限に長く細い電極に電圧が印加されているとき，等角写像法を用いて平面上の電界及び電位を解析的に求めることができる。

等角写像法では，電気力線と等電位線が既知である別の複素平面$ \ w=u+\mathrm {j}v \ $を考え，$ \ z \ $に写像する写像関数$ \ z=f\left( w \right) \ $を与える。$ \ f\left( w \right) \ $が連続で微分可能であれば，電気力線と等電位線が$ \ \fbox {　（１）　} \ $という関係が，写像を行っても保たれる。

ここで，図2のように，複素平面$ \ w \ $の$ \ v≧0 \ $の範囲において，$ \ u \ $軸上に置かれた無限に長い電極は，$ \ f\left( w \right) =w^{2} \ $により，$ \ x+\mathrm {j}y=\left( u+\mathrm {j}v\right) ^{2} \ $の関係が成り立つことより，$ \ z \ $上において図1に示す電極に写像される。$ \ w \ $には，$ \ u \ $軸と平行に等電位線が，$ \ v \ $軸と平行に電気力線が構成されるので，それらを$ \ z \ $上に写像すれば$ \ z \ $上での等電位線と電気力線が解析的に求められることになる。

例えば，図3において$ \ v=1 \ $の式で表される等電位線は，$ \ z \ $上では$ \ \fbox {　（２）　} \ $の式で表される。また，$ \ u=0 \ $及び$ \ u=1 \ $の式で表される$ \ 2 \ $本の電気力線は，$ \ z \ $上ではそれぞれ$ \ \fbox {　（３）　} \ $及び$ \ \fbox {　（４）　} \ $の式で表される。ただし，各図において，実線の矢印は電気力線，破線は等電位線を表す。

これらのことにより，図3に描かれた電気力線と等電位線を$ \ z \ $上に写像すると$ \ \fbox {　（５）　} \ $の図が得られる。

〔問1の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　 \ 1 \ 点に収束する　　　　　&（ロ）&　x=\left| y\right| -2 \\[ 5pt ] &（ハ）&　x=-\left| y\right| +2, y≧0　　　　　　　&（ニ）&　x=\frac {y^{2}}{4}-1 \\[ 5pt ] &（ホ）&　x=1-\frac {y^{2}}{4}, y≧0　　　　　&（ヘ）&　x=-\frac {y^{2}}{4}, y≧0 \\[ 5pt ] &（ト）&　y=0,x≦-1　　　　　&（チ）&　x=\frac {y^{2}}{4}-2 \\[ 5pt ] &（リ）&　y=0,x≦0　　　　　&（ヌ）&　直交する \\[ 5pt ] &（ル）&　x=-\left| y\right| 　　　　　&（ヲ）&　交わらない \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

等角写像法を使用して電界及び電位を求める問題です。
一見難しそうですが，中身は文章の読解問題となっています。問題文を読んでその場で考えさせる典型的な$ \ 1 \ $種らしい問題と言えるでしょう。
落ち着いて文章を読み解き，計算するようにしましょう。

【解答】

(1)解答：ヌ
題意より解答候補は，（イ）$ \ 1 \ $点に収束する，（ヌ）直交する，（ヲ）交わらない，になると思います。
電気力線と等電位線は静電界中では常に直交します。電気力線の考え方がわからない方は電験王3種令和4年上期理論問1を見ておいて下さい。

(2)解答：ニ
$ \ v=1 \ $で表される複素平面$ \ w \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
w&=&u+\mathrm {j}v \\[ 5pt ] &=&u+\mathrm {j}1 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり，$ \ z=f\left( w \right) =w^{2} \ $より，
\[
\begin{eqnarray}
z&=&w^{2} \\[ 5pt ] &=&\left( u+\mathrm {j}1\right) ^{2} \\[ 5pt ] &=&u^{2}-1+\mathrm {j}2u \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，$ \ z=x+\mathrm {j}y \ $と係数比較すると，
\[
\begin{eqnarray}
x&=&u^{2}-1 &　・・・・・・　①& \\[ 5pt ] y&=&2u &　・・・・・・　②& \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。②より，$ \ \displaystyle u=\frac {y}{2} \ $であるから，これを①に代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
x&=&\left( \frac {y}{2} \right) ^{2}-1 \\[ 5pt ] &=&\frac {y^{2}}{4}-1 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答：リ
(2)と同様に，$ \ u=0 \ $で表される複素平面$ \ w \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
w&=&\mathrm {j}v \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり，$ \ z=f\left( w \right) =w^{2} \ $より，
\[
\begin{eqnarray}
z&=&w^{2} \\[ 5pt ] &=&\left( \mathrm {j}v\right) ^{2} \\[ 5pt ] &=&-v^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，$ \ z=x+\mathrm {j}y \ $と係数比較すると，
\[
\begin{eqnarray}
x&=&-v^{2} \\[ 5pt ] y&=&0 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。図3より，$ \ v≧0 \ $であるから，
\[
\begin{eqnarray}
x&≦&0 \\[ 5pt ] y&=&0 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答：ホ
(2)及び(3)と同様に，$ \ u=1 \ $で表される複素平面$ \ w \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
w&=&u+\mathrm {j}v \\[ 5pt ] &=&1+\mathrm {j}v \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり，$ \ z=f\left( w \right) =w^{2} \ $より，
\[
\begin{eqnarray}
z&=&w^{2} \\[ 5pt ] &=&\left( 1+\mathrm {j}v\right) ^{2} \\[ 5pt ] &=&1-v^{2}+\mathrm {j}2v \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，$ \ z=x+\mathrm {j}y \ $と係数比較すると，
\[
\begin{eqnarray}
x&=&1-v^{2} &　・・・・・・　③& \\[ 5pt ] y&=&2v &　・・・・・・　④& \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。④より，$ \ \displaystyle v=\frac {y}{2} \ $であるから，これを③に代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
x&=&1-\left( \frac {y}{2} \right) ^{2} \\[ 5pt ] &=&1-\frac {y^{2}}{4} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。また図3より，$ \ v≧0 \ $であるから，$ \ y≧0 \ $である。

(5)解答：ワ
(2)解答式に$ \ x=0 \ $もしくは$ \ y=0 \ $を代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
0&=&\frac {y^{2}}{4}-1 \\[ 5pt ] \frac {y^{2}}{4}&=&1 \\[ 5pt ] y^{2}&=&4 \\[ 5pt ] y&=&±2 \\[ 5pt ] x&=&\frac {0^{2}}{4}-1 \\[ 5pt ] &=&-1 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから，等電位線は$ \ \left( 0 ,\mathrm {j}2 \right) \ $，$ \ \left( 0 ,-\mathrm {j}2 \right) \ $，$ \ \left( -1 ,0 \right) \ $を通る。
同様に，(4)解答式に$ \ x=0 \ $もしくは$ \ y=0 \ $を代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
0&=&1-\frac {y^{2}}{4} \\[ 5pt ] \frac {y^{2}}{4}&=&1 \\[ 5pt ] y^{2}&=&4 \\[ 5pt ] y&=&±2 \\[ 5pt ] x&=&1-\frac {0^{2}}{4} \\[ 5pt ] &=&1 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，$ \ u=1 \ $で表される電気力線は$ \ \left( 0 ,\mathrm {j}2 \right) \ $，$ \ \left( 0 ,-\mathrm {j}2 \right) \ $，$ \ \left( 1 ,0 \right) \ $を通る。
これらと(3)の解答式の条件を満たすグラフは（ワ）と求められる。