《機械》〈パワーエレクトロニクス〉[H29:問2] 三相電圧形PWMインバータに関する空欄穴埋問題

1 【問題】
2 【ワンポイント解説】
3 【解答】

【問題】

【難易度】★★★★★（難しい）

次の文章は，三相電圧形$ \ \mathrm {PWM} \ $インバータに関する記述である。文中の$ \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ $に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。

図1の三相電圧形$ \ \mathrm {PWM} \ $インバータに三角波比較$ \ \mathrm {PWM} \ $制御を適用した場合の三角波$ \ v_{\mathrm {tri}} \ $と$ \ \mathrm {u} \ $相の信号波$v_{\mathrm {u}}^{*}$，$ \ \mathrm {u} \ $相の電圧$ \ v_{\mathrm {u}} \ $の波形を図2に示す。ここで，$ \ v_{\mathrm {tri}} \ $の波高値を$ \ \mathrm{1} \ $，直流電圧を$ \ E_{\mathrm {d}} \ $とする。この制御法では，$ \ v_{\mathrm {tri}} \ $と$ \ v_{\mathrm {u}}^{*} \ $とを比較して$ \ \fbox {　（１）　} \ $期間に$ \ \mathrm {S}_{\mathrm {u}} \ $をオンし，それ以外の期間は$ \ \mathrm {S}_{\mathrm {x}} \ $をオンする。各相の信号波を，基本波角周波数$ \ \omega \ $の正弦波として次式で与える。
\[
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle v_{\mathrm {u}}^{*}=A\sin \omega t \\[ 5pt ] \displaystyle v_{\mathrm {v}}^{*}=A\sin \left( \omega t-\frac {2}{3}\pi \right) \\[ 5pt ] \displaystyle v_{\mathrm {w}}^{*}=A\sin \left( \omega t+\frac {2}{3}\pi \right)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\] このとき，$ \ 0\lt A ≦ 1 \ $であれば，$ \ v_{\mathrm {u}} \ $の$ \ \fbox {　（２）　} \ $成分の位相は$ \ v_{\mathrm {u}}^{*} \ $と同じで，振幅は$ \ A \ $に比例する。$ \ A=1 \ $の場合，$ \ v_{\mathrm {u}} \ $の基本波実効値は$ \ \fbox {　（３）　} \ $となる。
ここで，図3のように，$ \ 3 \ $次高調波成分を重畳した信号波を次式で与える。
\[
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle v_{\mathrm {u}}^{*}=B\sin \omega t+\frac {B}{6}\sin 3\omega t \\[ 5pt ] \displaystyle v_{\mathrm {v}}^{*}=B\sin \left( \omega t-\frac {2}{3}\pi \right) +\frac {B}{6}\sin 3\omega t \\[ 5pt ] \displaystyle v_{\mathrm {w}}^{*}=B\sin \left( \omega t+\frac {2}{3}\pi \right) +\frac {B}{6}\sin 3\omega t
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\] このとき，$ \ \fbox {　（４）　} \ $には$ \ 3 \ $次高調波成分は現れない。そして，$ \ B \ $を$ \ \mathrm{1} \ $よりも大きく，$ \ B=\fbox {　（５）　} \ $まで増加しても，$ \ v_{\mathrm {u}} \ $の基本波実効値は$ \ B \ $に比例する。

〔問2の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　\frac {E_{\mathrm {d}}}{\sqrt {3}}　　&（ロ）&　\frac {6}{5}　　　&（ハ）&　\frac {v_{\mathrm {u}}+v_{\mathrm {v}}+v_{\mathrm {w}}}{3} \\[ 5pt ] &（ニ）&　\frac {4}{\pi }　　　&（ホ）&　\frac {2}{\sqrt {3}}　　　&（ヘ）&　三角波周波数 \\[ 5pt ] &（ト）&　\frac {E_{\mathrm {d}}}{2\sqrt {2}}　　　&（チ）&　\frac {E_{\mathrm {d}}}{2}　　　&（リ）&　v_{\mathrm {tri}}が大きい \\[ 5pt ] &（ヌ）&　v_{\mathrm {u}}　　　&（ル）&　側帯波周波数　　　&（ヲ）&　v_{\mathrm {u}}-v_{\mathrm {v}} \\[ 5pt ] &（ワ）&　v_{\mathrm {u}}^{*}が大きい　　　&（カ）&　信号波周波数　　　&（ヨ）&　v_{\mathrm {u}}^{*}とv_{\mathrm {tri}}が等しい
\end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

パワーエレクトロニクスの問題は，どのような出力になるかイメージできるかどうかが重要です。参考として図2-1に$ \ A \ $の値が変化した時の出力波形の波形を示します。

【解答】

(1)解答：ワ
図1において，$ \ v_{\mathrm {u}} \ $の電位は$ \ \mathrm {S}_{\mathrm {u}} \ $が$ \ \mathrm {ON} \ $の時$ \ \displaystyle \frac {E_{\mathrm {d}}}{2} \ $，$ \ \mathrm {S}_{\mathrm {x}} \ $が$ \ \mathrm {ON} \ $の時$ \ \displaystyle -\frac {E_{\mathrm {d}}}{2} \ $となる。
図2で出力が$ \ \displaystyle \frac {E_{\mathrm {d}}}{2} \ $となるのは，$ \ v_{\mathrm {u}}^{*} \gt v_{\mathrm {tri}} \ $となる時である。よって，$ \ \mathrm {S}_{\mathrm {u}} \ $を$ \ \mathrm {ON} \ $するのは$ \ v_{\mathrm {u}}^{*} \gt v_{\mathrm {tri}} \ $の期間である。

(2)解答：カ
図2-1の通り$ \ v_{\mathrm {u}}^{*} \ $の位相は$ \ v_{\mathrm {u}} \ $周波数成分と等しくなります。

(3)解答：ト
周波数成分の出力は
\[
\begin{eqnarray}
v_{\mathrm {u}} &=& \frac {E_{\mathrm {d}}}{2}v_{\mathrm {u}}^{*} \\[ 5pt ] &=& \frac {E_{\mathrm {d}}}{2}A\sin \omega t
\end{eqnarray}
\] となり，実効値は振幅の$ \ \displaystyle \frac {1}{\sqrt {2}} \ $倍となるので，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {E_{\mathrm {d}}A}{2\sqrt {2}}
\end{eqnarray}
\] となります。よって，$ \ A=1 \ $の時の実効値は
\[
\begin{eqnarray}
\frac {E_{\mathrm {d}}}{2\sqrt {2}}
\end{eqnarray}
\] となります。

(4)解答：ヲ
$ \ 3 \ $次高調波成分を重畳した信号波の出力は，
\[
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle v_{\mathrm {u}}=\frac {E_{\mathrm {d}}}{2}B\sin \omega t+\frac {E_{\mathrm {d}}}{2}\frac {B}{6}\sin 3\omega t \\[ 5pt ] \displaystyle v_{\mathrm {v}}=\frac {E_{\mathrm {d}}}{2}B\sin \left( \omega t-\frac {2}{3}\pi \right) +\frac {E_{\mathrm {d}}}{2}\frac {B}{6}\sin 3\omega t \\[ 5pt ] \displaystyle v_{\mathrm {w}}=\frac {E_{\mathrm {d}}}{2}B\sin \left( \omega t+\frac {2}{3}\pi \right) +\frac {E_{\mathrm {d}}}{2}\frac {B}{6}\sin 3\omega t
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\] となる。これより，$ \ v_{\mathrm {u}}-v_{\mathrm {v}} \ $は$ \ 3 \ $次高調波成分が現れないことが分かる。

(5)解答：ホ
$ \ \mathrm {PWM} \ $の出力波形が$ \ B \ $に比例するためには信号波$ \ v_{\mathrm {u}}^{*} \ $の最大値が$ \ 1 \ $を超えないようにしなければならない。ここで，$ \ v_{\mathrm {u}}^{*} \ $の最大値を求めるため$ \ v_{\mathrm {u}}^{*} \ $を微分すると，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\mathrm {d}v_{\mathrm {u}}^{*}}{\mathrm {d}\omega t}=B\cos \omega t+\frac {B}{2}\cos 3\omega t \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，$ \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}v_{\mathrm {u}}^{*}}{\mathrm {d}\omega t}=0 \ $となる$ \ \omega t \ $を求めると，
\[
\begin{eqnarray}
B\cos \omega t+\frac {B}{2}\cos 3\omega t &=& 0 \\[ 5pt ] B\cos \omega t+\frac {B}{2}\cos (2\omega t +\omega t) &=& 0 \\[ 5pt ] B\cos \omega t+\frac {B}{2}(\cos 2\omega t \cos \omega t-\sin 2\omega t \sin \omega t ) &=& 0 \\[ 5pt ] B\cos \omega t+\frac {B}{2}\left \{(\cos ^{2}\omega t-\sin ^{2}\omega t)\cos \omega t-2\sin \omega t \cos \omega t \sin \omega t \right\} &=& 0 \\[ 5pt ] B\cos \omega t+\frac {B}{2}(\cos ^{3}\omega t-3\sin ^{2}\omega t\cos \omega t) &=& 0 \\[ 5pt ] B\cos \omega t+\frac {B}{2}\left \{\cos ^{3}\omega t-3(1-\cos ^{2}\omega t) \cos \omega t\right\} &=& 0 \\[ 5pt ] B\cos \omega t+\frac {B}{2}(4\cos ^{3}\omega t-3 \cos \omega t) &=& 0 \\[ 5pt ] 2B\cos ^{3}\omega t-\frac {B}{2} \cos \omega t &=& 0 \\[ 5pt ] \cos \omega t (2B\cos \omega t+1)(2B\cos \omega t+1) &=& 0 \\[ 5pt ] \cos \omega t &=& 0，\pm \frac {1}{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] $ \ \displaystyle 0 ≦ \omega t ≦ \frac {1}{2} \ $においては，
\[
\begin{eqnarray}
\omega t &=& \frac {\pi }{3}，\frac {\pi }{2}，\frac {2\pi }{3} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。図3より，$ \ v_{\mathrm {u}}^{*} \ $が最大値となるのは$ \ \displaystyle \omega t = \frac {\pi }{3}，\frac {2\pi }{3} \ $の時であるので，$ \ v_{\mathrm {u}}^{*} \ $の最大値は，
\[
\begin{eqnarray}
v_{\mathrm {u}}^{*} \left( \frac {\pi}{3} \right) &=&B\sin \frac {\pi}{3}+\frac {B}{6}\sin \left( 3\cdot \frac {\pi}{3}\right) \\[ 5pt ] &=&\frac {\sqrt {3}}{2}B \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。よって$ \ v_{u}^{*} \ $が$ \ 1 \ $を超えない$ \ B \ $の最大値は，
\[
\begin{eqnarray}
B=\frac {2}{\sqrt {3}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。