【問題】
【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）
図のようなフィードバック制御系について，次の問に答えよ。ただし，\( \ R(s) \ \)は目標値，\( \ D(s) \ \)は外乱，\( \ Y(s) \ \)は制御量，\( \ E(s) \ \)は偏差とする。なお，図のブロック線図において，\( \ G_{p}(s) = \displaystyle \frac{1}{J_{p} s} \ \)，\( \ \displaystyle G_{m}(s) = \frac{1}{J_{m} s} \ \)，\( \ K(s) = \displaystyle \frac{J_{m} s}{Ts + 1} \ \)とする。
(1) 補償器\( \ K(s) \ \)のボード線図の利得（ゲイン）特性の概形を折れ線近似で描け。なお，ボード線図には，折れ線のこう配及び\( \ \omega = \displaystyle \frac {1}{T} \ \)における縦軸（ゲイン）の値を明示すること。ただし，\( \ J_m > T \ \)とし，\( \ \omega \ \)は角周波数\( \ [\mathrm {rad/s}] \ \)とする。
(2) \( \ R(s) = 0 \ \)のとき，外乱\( \ D(s) \ \)から制御量\( \ Y(s) \ \)までの閉ループ伝達関数を求めよ。
(3) 外乱\( \ D(s) \ \)が単位ステップ状関数のときの制御量\( \ Y(s) \ \)の定常値を求めよ。
(4) 一般に，外乱\( \ D(s) \ \)の影響が制御量\( \ Y(s) \ \)にできるだけ現れないようにするには，補償器の時定数\( \ T \ \)をどのように選べばよいか，理由を挙げ説明せよ。
【ワンポイント解説】
フィードバック制御系における特性を検討する問題です。
折れ線近似を実際に描いたり，伝達関数を求めたりする等，自動制御の重要な内容が多く含まれている問題です。各内容をよく理解して完答できるようにして下さい。
1.基本的なラプラス変換
\( \ f(t) \ \)のラプラス変換を\( \ F(s) \ \)とすると以下のような関係があります。
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
f(t) & F(s) \\
\hline
{\displaystyle \delta (t) }\atop{単位インパルス関数} & 1 \\[ 5pt ]
{\displaystyle u (t) }\atop{単位ステップ関数} & \displaystyle \frac {1}{s} \\[ 5pt ]
K & \displaystyle \frac {K}{s} \\[ 5pt ]
t & \displaystyle \frac {1}{s^{2}} \\[ 5pt ]
\mathrm {e}^{at} & \displaystyle \frac {1}{s-a} \\[ 5pt ]
\sin \omega t & \displaystyle \frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}} \\[ 5pt ]
\cos \omega t & \displaystyle \frac {s}{s^{2}+\omega ^{2}} \\[ 5pt ]
\displaystyle \frac {\mathrm {d}f\left( t \right) }{\mathrm {d}t} & sF\left( s \right) -f\left( 0 \right) \\[ 5pt ]
\displaystyle \int f\left( t \right) \mathrm {d}t & \displaystyle \frac {F\left( s \right) }{s}+\frac {1}{s}\int _{-\infty }^{0}f\left( \tau \right) \mathrm {d}\tau \\[ 5pt ]
\hline
\end{array}
\]
2.ブロック線図の考え方
①直列
図1のような伝達関数\( \ G_{1}(s) \ \)，\( \ G_{2}(s) \ \)が与えられているとき，全体の伝達関数\( \ G(s) \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
G(s)&=&\frac {Y(s)}{X(s)}=G_{1}(s)G_{2}(s) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
②並列
図2のような伝達関数\( \ G_{1}(s) \ \)，\( \ G_{2}(s) \ \)が与えられているとき，全体の伝達関数\( \ G(s) \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
G(s)&=&\frac {Y(s)}{X(s)}=G_{1}(s)±G_{2}(s) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
③フィードバック
図3のような\( \ G(s) \ \)，\( \ H(s) \ \)が与えられているとき，全体の伝達関数\( \ W(s) \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
Y(s)&=&\left\{ X(s) -H(s)Y(s) \right\} G(s) \\[ 5pt ]
Y(s)&=&G(s)X(s) -G(s)H(s)Y(s) \\[ 5pt ]
Y(s)+G(s)H(s)Y(s) &=&G(s)X(s) \\[ 5pt ]
\left\{ 1+G(s)H(s)\right\} Y(s) &=&G(s)X(s) \\[ 5pt ]
\frac {Y(s)}{X(s)}&=&\frac {G(s)}{1+G(s)H(s)} \\[ 5pt ]
W(s)&=&\frac {G(s)}{1+G(s)H(s)} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
3.最終値の定理
\( \ f(t) \ \)のラプラス変換を\( \ F(s) \ \)とすると，\( \ f(t) \ \)の定常値は，
\[
\begin{eqnarray}
\displaystyle \lim _{ t \to \infty } f(t)&=&\displaystyle \lim _{ s \to 0 } sF(s) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
で求められます。
4.一次遅れ要素の伝達関数
\( \ \displaystyle G\left( s\right) =\frac {K}{1+Ts} \ \)で表される伝達関数を一次遅れ要素の伝達関数といい，\( \ K \ \)をゲイン定数，\( \ T \ \)を時定数といいます。
このとき\( \ s→\mathrm {j}\omega \ \)とすれば，周波数伝達関数が\( \ \displaystyle W(\mathrm {j}\omega ) =\frac {K}{1+\mathrm {j}\omega T} \ \)となり，ゲイン\( \ g \ \mathrm {[dB]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
g&=&20\log _{10} \left| W(\mathrm {j}\omega )\right| \\[ 5pt ]
&=&20\log _{10} \frac {K}{\sqrt {1+\left( \omega T\right) ^{2}}} \ \mathrm {[dB]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となりますが，\( \ \displaystyle \omega \ll \frac {1}{T} \ \)すなわち\( \ \omega T \ll 1 \ \)のとき，
\[
\begin{eqnarray}
g&≃&20\log _{10} \frac {K}{\sqrt {1+0}} \\[ 5pt ]
&=&20\log _{10}K \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
とほぼ一定の値となり，\( \ \displaystyle \omega \gg \frac {1}{T} \ \)すなわち\( \ \omega T \gg 1 \ \)のとき，
\[
\begin{eqnarray}
g&≃&20\log _{10} \frac {K}{\sqrt {\left( \omega T\right) ^{2}}} \\[ 5pt ]
&=&20\log _{10} \frac {K}{\omega T} \\[ 5pt ]
&=&20\log _{10} K-20\log _{10}\omega T \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，横軸に対数座標をとると，ほぼ直線的に減少していくことになります。これをボード線図といい，図4のようになります。
図4において\( \ \displaystyle \omega =\frac {1}{T} \ \)となる角周波数を折れ点角周波数と呼びます。
【解答】
(1)補償器\( \ K(s) \ \)のボード線図の利得（ゲイン）特性の概形
\( \ K(s) = \displaystyle \frac{J_{m} s}{Ts + 1} \ \)の周波数伝達関数\( \ K(j\omega ) \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
K(j\omega ) &=&\displaystyle \frac {j\omega J_{m} }{1+j\omega T} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，ゲイン\( \ g \ \mathrm {[dB]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
g&=&20\log _{10} \left| K(j\omega )\right| \\[ 5pt ]
&=&20\log _{10} \frac {\omega J_{m} }{\sqrt {1+\left( \omega T\right) ^{2}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。\( \ \displaystyle \omega \ll \frac {1}{T} \ \)すなわち\( \ \omega T \ll 1 \ \)のとき，
\[
\begin{eqnarray}
g&≃&20\log _{10} \frac {\omega J_{m} }{\sqrt {1+0}} \\[ 5pt ]
&=&20\log _{10}\omega J_{m} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，横軸に対数座標をとると，ほぼ直線的に増加していくことになる。また，\( \ \displaystyle \omega \gg \frac {1}{T} \ \)すなわち\( \ \omega T \gg 1 \ \)のとき，
\[
\begin{eqnarray}
g&≃&20\log _{10} \frac {\omega J_{m} }{\sqrt {\left( \omega T\right) ^{2}}} \\[ 5pt ]
&=&20\log _{10} \frac {\omega J_{m} }{\omega T} \\[ 5pt ]
&=&20\log _{10} \frac { J_{m} }{ T} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，ほぼ一定値となる。したがって，利得（ゲイン）特性の折れ線近似は図5のように描ける。
(2)\( \ R(s) = 0 \ \)のとき，外乱\( \ D(s) \ \)から制御量\( \ Y(s) \ \)までの閉ループ伝達関数
ブロック線図において各部の信号を\( \ E(s) \ \)で表すと図6に示すようになるので関係式は，
\[
\begin{eqnarray}
Y(s)&=&D(s)+K(s)G_{p}(s)E(s) &・・・・・・・・・・・ ①& \\[ 5pt ]
E(s)&=&-\left\{ Y(s)-K(s)G_{m}(s)E(s)\right\} &・・・・・・・・・・・ ②& \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，②式を整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
E(s)&=&-Y(s)+K(s)G_{m}(s)E(s) \\[ 5pt ]
E(s)-K(s)G_{m}(s)E(s)&=&-Y(s) \\[ 5pt ]
\left\{ 1-K(s)G_{m}(s)\right\} E(s)&=&-Y(s) \\[ 5pt ]
E(s)&=&-\frac {Y(s)}{1-K(s)G_{m}(s)} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。これを①式に代入して整理すれば，\( \ D(s) \ \)から\( \ Y(s) \ \)までの閉ループ伝達関数\( \ W(s) \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
Y(s)&=&D(s)+K(s)G_{p}(s)\cdot \left\{ -\frac {Y(s)}{1-K(s)G_{m}(s)} \right\} \\[ 5pt ]
&=&D(s)-\frac {K(s)G_{p}(s)Y(s)}{1-K(s)G_{m}(s)} \\[ 5pt ]
Y(s)+\frac {K(s)G_{p}(s)Y(s)}{1-K(s)G_{m}(s)}&=&D(s) \\[ 5pt ]
\left\{ 1+\frac {K(s)G_{p}(s)}{1-K(s)G_{m}(s)}\right\} Y(s)&=&D(s) \\[ 5pt ]
\frac {1-K(s)G_{m}(s)+K(s)G_{p}(s)}{1-K(s)G_{m}(s)} Y(s)&=&D(s) \\[ 5pt ]
\frac {Y(s)}{D(s)}&=&\frac {1-K(s)G_{m}(s)}{1-K(s)G_{m}(s)+K(s)G_{p}(s)} \\[ 5pt ]
W(s)&=&\frac {1-\displaystyle \frac{J_{m} s}{Ts + 1}\cdot \frac{1}{J_{m} s} }{1-\displaystyle \frac{J_{m} s}{Ts + 1}\cdot \frac{1}{J_{m} s} +\displaystyle \frac{J_{m} s}{Ts + 1}\cdot \frac{1}{J_{p} s} } \\[ 5pt ]
&=&\frac {1-\displaystyle \frac{1}{Ts + 1} }{1-\displaystyle \frac{1}{Ts + 1} +\displaystyle \frac{J_{m} }{J_{p}\left( Ts + 1\right) } } \\[ 5pt ]
&=&\frac {Ts + 1-1 }{Ts + 1-1 +\displaystyle \frac{J_{m} }{J_{p}} } \\[ 5pt ]
&=&\frac {Ts }{Ts +\displaystyle \frac{J_{m} }{J_{p}} } \\[ 5pt ]
&=&\frac {J_{p}Ts }{J_{p}Ts +J_{m} } \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(3)外乱\( \ D(s) \ \)が単位ステップ状関数のときの制御量\( \ Y(s) \ \)の定常値
単位ステップ状関数のラプラス変換\( \ D(s) \ \)は，ワンポイント解説「1.基本的なラプラス変換」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
D(s)&=&\frac {1}{s} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，これを(2)解答式に代入して整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
Y(s)&=&\frac {J_{p}Ts }{J_{p}Ts +J_{m} }D(s) \\[ 5pt ]
&=&\frac {J_{p}Ts }{J_{p}Ts +J_{m} }\cdot \frac {1}{s} \\[ 5pt ]
&=&\frac {J_{p}T }{J_{p}Ts +J_{m} } \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。よって，制御量\( \ Y(s) \ \)の定常値は，ワンポイント解説「3.最終値の定理」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
\displaystyle \lim _{ s \to 0 } sY(s)&=&\displaystyle \lim _{ s \to 0 }\left\{ s\cdot \frac {J_{p}T }{J_{p}Ts +J_{m} }\right\} \\[ 5pt ]
&=& 0 \times \frac {J_{p}T }{J_{p}T\times 0 +J_{m} } \\[ 5pt ]
&=&0 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(4)外乱\( \ D(s) \ \)の影響が制御量\( \ Y(s) \ \)にできるだけ現れないようにするには，補償器の時定数\( \ T \ \)をどのように選べばよいか
(2)解答式を両辺\( \ T \ \)で微分すると，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\mathrm {d}W}{\mathrm {d}T}&=&\frac {J_{p}s \left( J_{p}Ts +J_{m} \right) -J_{p}Ts\cdot J_{p}s }{\left( J_{p}Ts +J_{m} \right) ^{2}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {J_{p}^{2}s^{2}T +J_{p}J_{m}s -J_{p}^{2}s^{2}T }{\left( J_{p}Ts +J_{m} \right) ^{2}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {J_{p}J_{m}s }{\left( J_{p}Ts +J_{m} \right) ^{2}} \gt 0 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，時定数\( \ T \ \)が増加するほど伝達関数\( \ W(s) \ \)が大きくなる，すなわち外乱\( \ D(s) \ \)の影響が大きくなることがわかる。したがって，時定数\( \ T \ \)はできるだけ小さく選べば良い。
愛知県出身 愛称たけちゃん