【問題】
【難易度】★★★☆☆（普通）
三相三巻線変圧器は，一次巻線容量\( \ 50 \ 000 \ \mathrm {[kV \cdot A]} \ \)で定格電圧\( \ 154 \ \mathrm{ [kV]} \ \)，二次巻線容量\( \ 50 \ 000 \ \mathrm {[kV \cdot A]} \ \)で定格電圧\( \ 66 \ \mathrm{ [kV]} \ \)，三次巻線容量\( \ 25 \ 000 \ \mathrm {[kV \cdot A]} \ \)で定格電圧\( \ 10.5 \ \mathrm{ [kV]} \ \)である。基準容量\( \ 25 \ 000 \ \mathrm {[kV \cdot A]} \ \)に対する各巻線の短絡インピーダンスは，短絡インピーダンス試験の結果より下表のように計算された。
\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
& 基準容量 \ \mathrm {[kV \cdot A]} & 短絡インピーダンス \ \text {[％]} \\
\hline
一次巻線 & 25 \ 000 & Z_{1} = 0.145 + j 5.05 \\
\hline
二次巻線 & 25 \ 000 & Z_{2} = 0.095 + j 1.55 \\
\hline
三次巻線 & 25 \ 000 & Z_{3} = 0.155 + j 2.44 \\
\hline
\end{array}
\]
これらの結果より，次の問に答えよ。
(1) 各巻線の定格容量基準の短絡インピーダンス\( \ {Z_{1}}^{\prime } \ \)，\( \ {Z_{2}}^{\prime } \ \mathrm {[％]} \ \)を求めよ。ただし，答の有効数字は\( \ 5 \ \)けた目を四捨五入した\( \ 4 \ \)けたとする。
(2) 各巻線に定格電流が流れた場合の負荷損\( \ P_{c1} \ \)，\( \ P_{c2} \ \)，\( \ P_{c3} \ \mathrm {[kW]} \ \)を求めよ。
(3) 二次巻線が定格出力の\( \ 50 \ 000 \ \mathrm {[kV \cdot A]} \ \)で負荷力率\( \ 80 \ \mathrm {[％]} \ \)（遅れ）で，三次巻線が定格出力の\( \ 25 \ 000 \ \mathrm {[kV \cdot A]} \ \)で進相負荷（キャパシタ）であるとき，次の値を求めよ。なお，変圧器の無負荷損は\( \ 145 \ \mathrm { [kW]} \ \)とする。
\( \ \mathrm {a.} \ \) 一次巻線出力値\( \ S_{1} \ \mathrm {[kV \cdot A]} \ \)。ただし，答の有効数字は\( \ 6 \ \)けた目を四捨五入した\( \ 5 \ \)けたとする。
\( \ \mathrm {b.} \ \) 変圧器全損失\( \ P_{\mathrm {loss}} \ \mathrm {[kW]} \ \)。ただし，答の有効数字は\( \ 5 \ \)けた目を四捨五入した\( \ 4 \ \)けたとする。
\( \ \mathrm {c.} \ \) 変圧器の効率\( \ \eta \ \mathrm {[％]} \ \)。ただし，答の有効数字は\( \ 5 \ \)けた目を四捨五入した\( \ 4 \ \)けたとする。
【ワンポイント解説】
変圧器の効率を考える問題です。
(3)の一次巻線出力を求める際，損失分を忘れてしまうミスが多かったと予想されます。エネルギーフローがどのようになっているか，よく考えて解いていくようにして下さい。
1.オーム法からパーセントインピーダンス法への変換
基準容量を\( \ P_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[V\cdot A]} \ \)，基準電圧を\( \ V_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[V]} \ \)，基準電流を\( \ I_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[A]} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
％Z&=&\frac {ZI_{\mathrm {n}}}{\displaystyle \frac {V_{\mathrm {n}}}{\sqrt {3}}}\times 100 (定義) \\[ 5pt ]
&=&\frac {\sqrt {3}ZI_{\mathrm {n}}}{V_{\mathrm {n}}}\times 100 \\[ 5pt ]
&=&\frac {\sqrt {3}ZV_{\mathrm {n}}I_{\mathrm {n}}}{V_{\mathrm {n}}^{2}}\times 100 \\[ 5pt ]
&=&\frac {P_{\mathrm {n}}Z}{V_{\mathrm {n}}^{2}}\times 100 (∵P_{\mathrm {n}}=\sqrt {3}V_{\mathrm {n}}I_{\mathrm {n}} ) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
2.百分率インピーダンスの容量換算
「1.オーム法からパーセントインピーダンス法への変換」の通り，百分率インピーダンスは基準容量に比例します。したがって，基準容量\( \ P_{\mathrm {A}} \ \mathrm {[V\cdot A]} \ \)から\( \ P_{\mathrm {B}} \ \mathrm {[V\cdot A]} \ \)へ変換する場合の百分率インピーダンスは，
\[
\begin{eqnarray}
％Z_{\mathrm {B}}&=&\frac {P_{\mathrm {B}}}{P_{\mathrm {A}}}％Z_{\mathrm {A}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
3.変圧器の等価回路（一次換算）と鉄損及び銅損
変圧器の一次側換算等価回路を図1に示します。ただし，\( \ {\dot V}_{1} \ \mathrm {[V]} \ \)は一次側端子電圧，\( \ {\dot I}_{1} \ \mathrm {[A]} \ \)は一次電流，\( \ {\dot I}_{2} \ \mathrm {[A]} \ \)は二次電流，\( \ {\dot I}_{0} \ \mathrm {[A]} \ \)は励磁電流，\( \ r_{1} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は一次巻線抵抗，\( \ r_{2} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は二次巻線抵抗，\( \ x_{1} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は一次漏れリアクタンス，\( \ x_{2} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は二次漏れリアクタンス，\( \ g_{0} \ \mathrm {[S]} \ \)は励磁コンダクタンス，\( \ b_{0} \ \mathrm {[S]} \ \)は励磁サセプタンス，\( \ a \ \)は変圧比（巻数比）となります。
等価回路より，鉄損は電圧\( \ {\dot V}_{1} \ \)の\( \ 2 \ \)乗に比例し，銅損は電流\( \ {\dot I}_{2} \ \)の\( \ 2 \ \)乗に比例することがわかります。
4.変圧器の効率\( \ \eta \ \)と最大効率\( \ \eta _{\mathrm {m}} \ \)
変圧器の損失は主に鉄損\( \ p_{\mathrm {i}} \ \mathrm {[W]} \ \)と銅損\( \ p_{\mathrm {c}} \ \mathrm {[W]} \ \)があり，\( \ p_{\mathrm {i}} \ \mathrm {[W]} \ \)は負荷によらず一定であり，\( \ p_{\mathrm {c}} \ \mathrm {[W]} \ \)は負荷(電流)の\( \ 2 \ \)乗に比例します。従って，定格出力\( \ P_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[W]} \ \)で利用率\( \ \alpha \ \)の時の変圧器の効率\( \ \eta \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {出力}{入力} \\[ 5pt ]
&=&\frac {出力}{出力+損失} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\alpha P_{\mathrm {n}}}{\alpha P_{\mathrm {n}}+p_{\mathrm {i}}+\alpha ^{2}p_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
次に，最大効率\( \ \eta _{\mathrm {m}} \ \)を求めます。上式の分母分子を\( \ \alpha \ \)で割ると
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {P_{\mathrm {n}}}{\displaystyle P_{\mathrm {n}}+\frac {p_{\mathrm {i}}}{\alpha }+\alpha p_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，効率が最大となるためには，上式の分母が最小となれば良いです。よって，\( \ \displaystyle A=P_{\mathrm {n}}+\frac {p_{\mathrm {i}}}{\alpha }+\alpha p_{\mathrm {c}} \ \)と置くと，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\mathrm {d}A}{\mathrm {d}\alpha }&=&-\frac {p_{\mathrm {i}}}{\alpha ^{2} }+p_{\mathrm {c}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。よって\( \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}A}{\mathrm {d}\alpha }=0 \ \)となるとき，\( \ p_{\mathrm {i}}=\alpha ^{2}p_{\mathrm {c}} \ \)であり，鉄損と銅損が等しい時効率は最大となります。
【解答】
(1)各巻線の定格容量基準の短絡インピーダンス\( \ {Z_{1}}^{\prime } \ \)，\( \ {Z_{2}}^{\prime } \ \mathrm {[％]} \ \)
一次巻線容量及び二次巻線容量がともに\( \ 50 \ 000 \ \mathrm {[kV \cdot A]} \ \)なので，定格容量基準の短絡インピーダンス\( \ {Z_{1}}^{\prime } \ \mathrm {[％]} \ \)，\( \ {Z_{2}}^{\prime } \ \mathrm {[％]} \ \)は，ワンポイント解説「2.百分率インピーダンスの容量換算」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
{Z_{1}}^{\prime }&=&\frac {50 \ 000}{25 \ 000}\times Z_{1} \\[ 5pt ]
&=&\frac {50 \ 000}{25 \ 000}\times \left( 0.145 + j 5.05\right) \\[ 5pt ]
&=& 0.290 \ 0 + j 10.10 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ]
{Z_{2}}^{\prime }&=&\frac {50 \ 000}{25 \ 000}\times Z_{2} \\[ 5pt ]
&=&\frac {50 \ 000}{25 \ 000}\times \left( 0.095 + j 1.55\right) \\[ 5pt ]
&=& 0.190 \ 0 + j 3.100 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(2)各巻線に定格電流が流れた場合の負荷損\( \ P_{c1} \ \)，\( \ P_{c2} \ \)，\( \ P_{c3} \ \mathrm {[kW]} \ \)
(1)解答及び与えられている表より，各巻線の百分率抵抗降下\( \ {r_{1}}^{\prime } \ \mathrm {[％]} \ \)，\( \ {r_{2}}^{\prime } \ \mathrm {[％]} \ \)，\( \ r_{3} \ \mathrm {[％]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
{r_{1}}^{\prime }&=& 0.290 \ 0 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ]
{r_{2}}^{\prime }&=& 0.190 \ 0 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ]
r_{3}&=& 0.155 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
なので，定格電流が流れた場合の負荷損\( \ P_{c1} \ \mathrm {[kW]} \ \)，\( \ P_{c2} \ \mathrm {[kW]} \ \)，\( \ P_{c3} \ \mathrm {[kW]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{c1}&=& 50 \ 000 \times \frac {{r_{1}}^{\prime }}{100} \\[ 5pt ]
&=& 50 \ 000 \times \frac {0.290 \ 0}{100} \\[ 5pt ]
&=& 145 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ]
P_{c2}&=& 50 \ 000 \times \frac {{r_{2}}^{\prime }}{100} \\[ 5pt ]
&=& 50 \ 000 \times \frac {0.190 \ 0}{100} \\[ 5pt ]
&=& 95 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ]
P_{c3}&=& 25 \ 000 \times \frac {r_{3}}{100} \\[ 5pt ]
&=& 25 \ 000 \times \frac {0.155}{100} \\[ 5pt ]
&=& 38.75 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(3)\( \ \mathrm {a.} \ \)一次巻線出力値\( \ S_{1} \ \mathrm {[kV \cdot A]} \ \)
二次巻線が力率\( \ \cos \theta =0.8 \ \)なので，\( \ \sin \theta \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\sin \theta &=& \sqrt {1-\cos ^{2}\theta } \\[ 5pt ]
&=& \sqrt {1-0.8 ^{2} } \\[ 5pt ]
&=& 0.6 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。したがって，二次側の複素電力\( \ P_{2}+jQ_{2} \ \mathrm {[kV\cdot A]} \ \)は，遅れ無効電力を正とすると，
\[
\begin{eqnarray}
P_{2}+jQ_{2} &=& 50 \ 000\left( \cos \theta +j\sin \theta \right) \\[ 5pt ]
&=& 50 \ 000\times \left( 0.8 +j0.6 \right) \\[ 5pt ]
&=& 40 \ 000 +j30 \ 000 \ \mathrm {[kV\cdot A]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，三次巻線が定格出力の\( \ 25 \ 000 \ \mathrm {[kV \cdot A]} \ \)で進相負荷なので，
\[
\begin{eqnarray}
-jQ_{3} &=&-j25 \ 000 \ \mathrm {[kV\cdot A]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。
また，(1)解答及び与えられている表より，各巻線の百分率リアクタンス降下\( \ {x_{1}}^{\prime } \ \mathrm {[％]} \ \)，\( \ {x_{2}}^{\prime } \ \mathrm {[％]} \ \)，\( \ x_{3} \ \mathrm {[％]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
{x_{1}}^{\prime }&=& 10.10 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ]
{x_{2}}^{\prime }&=& 3.100 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ]
x_{3}&=& 2.44 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
なので，二次巻線及び三次巻線で消費される無効電力\( \ Q_{x2} \ \mathrm {[kvar]} \ \)，\( \ Q_{x3} \ \mathrm {[kvar]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
Q_{x2} &=& 50 \ 000 \times \frac {{x_{2}}^{\prime }}{100} \\[ 5pt ]
&=& 50 \ 000 \times \frac {3.100}{100} \\[ 5pt ]
&=& 1 \ 550 \ \mathrm {[kvar]} \\[ 5pt ]
Q_{x3} &=& 25 \ 000 \times \frac {x_{3}}{100} \\[ 5pt ]
&=& 25 \ 000 \times \frac {2.44}{100} \\[ 5pt ]
&=& 610 \ \mathrm {[kvar]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。したがって，一次巻線の出力\( \ P_{1}+jQ_{1} \ \mathrm {[kV\cdot A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{1}+jQ_{1} &=& P_{2}+jQ_{2}-jQ_{3}+P_{c2}+jQ_{x2}+P_{c3}+jQ_{x3} \\[ 5pt ]
&=& 40 \ 000 +j30 \ 000-j25 \ 000 +95+j1 \ 550+38.75+j610 \\[ 5pt ]
&=& 40 \ 133.75 +j7 \ 160 \ \mathrm {[kV\cdot A]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，その大きさ\( \ S_{1} \ \mathrm {[kV \cdot A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
S_{1}&=& \sqrt {{P_{1}}^{2}+{Q_{1}}^{2}} \\[ 5pt ]
&=& \sqrt {40 \ 133.75^{2}+7 \ 160^{2}} \\[ 5pt ]
&=& 40 \ 767.43 → 40 \ 767 \ \mathrm {[kV\cdot A]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(3)\( \ \mathrm {b.} \ \)変圧器全損失\( \ P_{\mathrm {loss}} \ \mathrm {[kW]} \ \)
ワンポイント解説「3.変圧器の等価回路（一次換算）と鉄損及び銅損」の通り，負荷損は出力の\( \ 2 \ \)乗に比例するので，一次巻線の無負荷損\( \ {P_{c1}}^{\prime } \ \mathrm {[kW]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
{P_{c1}}^{\prime }&=& \left( \frac {S_{1}}{50 \ 000}\right) ^{2}P_{c1} \\[ 5pt ]
&=& \left( \frac {40 \ 767.43}{50 \ 000}\right) ^{2}\times 145 \\[ 5pt ]
&=& 96.395 \ 0 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，題意より，無負荷損\( \ P_{i}=145 \ \mathrm { [kW]} \ \)なので，変圧器の全損失\( \ P_{\mathrm {loss}} \ \mathrm {[kW]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {loss}}&=& P_{i}+{P_{c1}}^{\prime }+P_{c2}+P_{c3} \\[ 5pt ]
&=& 145+96.395 \ 0+95+38.75 \\[ 5pt ]
&=& 375.145 → 375.1 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(3)\( \ \mathrm {c.} \ \)変圧器の効率\( \ \eta \ \mathrm {[％]} \ \)
二次巻線の有効電力\( \ P_{2}=40 \ 000 \ \mathrm {[kW]} \ \)なので，変圧器の効率\( \ \eta \ \mathrm {[％]} \ \)は，ワンポイント解説「4.変圧器の効率\( \ \eta \ \)と最大効率\( \ \eta _{\mathrm {m}} \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=& \frac {P_{2}}{P_{2}+P_{\mathrm {loss}}}\times 100 \\[ 5pt ]
&=& \frac {40 \ 000}{40 \ 000+375.145}\times 100 \\[ 5pt ]
&≒& 99.07 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
愛知県出身 愛称たけちゃん