【問題】
【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）
定格出力\( \ 15 \ \mathrm {kW} \ \)，定格電圧\( \ 200 \ \mathrm {V} \ \)，定格周波数\( \ 60 \ \mathrm {Hz} \ \)，極数\( \ 6 \ \)の三相かご形誘導電動機がある。定格出力時の回転速度，鉄損及び銅損は，それぞれ\( \ 1140 \ \mathrm {min}^{-1} \ \)，\( \ 430 \ \mathrm {W} \ \)及び\( \ 1230 \ \mathrm {W} \ \)である。この電動機を定格電圧，定格周波数で運転した場合に関して，次の問に答えよ。ただし，電動機の滑りとトルクは比例関係とみなせる範囲にあるものとし，機械損及び漂遊負荷損は無視する。また，計算には\( \ \mathrm {L} \ \)形等価回路を用いるものとする。
(1) 定格出力時の滑り\( \ s \ \)及びトルク\( \ T \ \mathrm {[N\cdot m]} \ \)を求めよ。
(2) 定格出力時の二次入力\( \ P_{2} \ \mathrm {[W]} \ \)及び一次銅損\( \ P_{\mathrm {c1}} \ \mathrm {[W]} \ \)を求めよ。
(3) \( \ 75 \ \)％出力時の滑り\( \ s^{\prime } \ \)及びトルク\( \ T^{\prime } \ \mathrm {[N\cdot m]} \ \)を求めよ。
(4) \( \ 75 \ \)％出力時の二次入力\( \ P_{2}^{\prime } \ \mathrm {[W]} \ \)及び二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}}^{\prime } \ \mathrm {[W]} \ \)を求めよ。
(5) \( \ 75 \ \)％出力時の効率\( \ \eta \ \mathrm {[％]} \ \)を求めよ。
【ワンポイント解説】
誘導電動機に関する問題で難易度自体はそれほど高くありませんが，計算量が多く時間を要する問題です。内容をぱっと見て解けそうな場合は，ぜひ時間を計って解くようにして下さい。30分がとても短く感じると思います。
1.電動機の同期速度\( \ N_{\mathrm {s}} \ \)と同期角速度\( \ \omega _{\mathrm {s}} \ \)
周波数を\( \ f \ \)，極数\( \ p \ \)とすると，同期速度\( \ N_{\mathrm {s}} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
N_{\mathrm {s}}&=&\frac {120f}{p} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
で求められます。また，同期角速度\( \ \omega _{\mathrm {s}} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\omega _{\mathrm {s}}&=&\frac {2\pi N_{\mathrm {s}}}{60} \\[ 5pt ]
&=&\frac {2\pi }{60}\times \frac {120f}{p} \\[ 5pt ]
&=&\frac {4\pi f}{p} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
2.電動機のトルク\( \ T \ \)と出力\( \ P_{\mathrm {o}} \ \)の関係
電動機の出力\( \ P_{\mathrm {o}} \ \)は，電動機の角速度\( \ \omega \ \)，トルク\( \ T \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {o}}&=&\omega T \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
の関係があります。
3.電動機の滑り\( \ s \ \)と二次入力\( \ P_{2} \ \)と二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \)，\( \ P_{\mathrm {o}} \ \)の関係
電動機の滑り\( \ s \ \)は，同期速度を\( \ N_{\mathrm {s}} \ \)，回転速度を\( \ N \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
s&=&\frac {N_{\mathrm {s}}-N}{N_{\mathrm {s}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
で与えられ，この滑り\( \ s \ \)の分が，二次銅損の大きさになります。したがって，\( \ P_{2} \ \)と二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \)，\( \ P_{\mathrm {o}} \ \)の関係は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{2}：P_{\mathrm {c2}}：P_{\mathrm {o}}&=&1：s：1-s \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
4.電動機の効率\( \ \eta \ \)
電動機の効率\( \ \eta \ \)は，電動機への一次入力\( \ P_{1} \ \)に対する出力\( \ P_{\mathrm {o}} \ \)の割合で定義され，誘導電動機の場合，鉄損\( \ P_{\mathrm {i}} \ \)，一次銅損\( \ P_{\mathrm {c1}} \ \)，二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \)の損失があるので，
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {P_{\mathrm {o}}}{P_{1}} \times 100\\[ 5pt ]
&=&\frac {P_{\mathrm {o}}}{P_{\mathrm {o}}+P_{\mathrm {i}}+P_{\mathrm {c1}}+P_{\mathrm {c2}}}\times 100 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
で求められます。
【解答】
(1)定格出力時の滑り\( \ s \ \)及びトルク\( \ T \ \mathrm {[N\cdot m]} \ \)
電動機の同期速度\( \ N_{\mathrm {s}} \ \)は定格周波数\( \ f=60 \ \mathrm {Hz} \ \)，極数\( \ p=6 \ \)であるから，
\[
\begin{eqnarray}
N_{\mathrm {s}} &=& \frac {120f}{p} \\[ 5pt ]
&=& \frac {120\times 60}{6} \\[ 5pt ]
&=& 1200 \ \mathrm {[min^{-1}]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。定格出力時の回転速度\( \ N \ \)は\( \ 1140 \ \mathrm {min}^{-1} \ \)であるから，滑り\( \ s \ \)は，ワンポイント解説「3.電動機の滑り\( \ s \ \)と二次入力\( \ P_{2} \ \)と二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \)，\( \ P_{\mathrm {o}} \ \)の関係」より，
\[
\begin{eqnarray}
s&=&\frac {N_{\mathrm {s}}-N}{N_{\mathrm {s}}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {1200-1140}{1200} \\[ 5pt ]
&=&0.05 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。また，トルク\( \ T \ \)は，角速度\( \ \omega \ \)とすると，定格出力\( \ P_{\mathrm {o}}=15 \ \mathrm {[kW]} \ \)であるから，
\[
\begin{eqnarray}
T&=&\frac {P_{\mathrm {o}}}{\omega } \\[ 5pt ]
&=&\frac {P_{\mathrm {o}}}{\displaystyle \frac {2\pi N}{60}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {15\times 10^{3}}{\displaystyle \frac {2\pi \times 1140}{60}} \\[ 5pt ]
&≒&125.65 → 126 \ \mathrm {[N\cdot m]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(2)定格出力時の二次入力\( \ P_{2} \ \mathrm {[W]} \ \)及び一次銅損\( \ P_{\mathrm {c1}} \ \mathrm {[W]} \ \)
定格出力時の二次入力\( \ P_{2} \ \)は，ワンポイント解説「3.電動機の滑り\( \ s \ \)と二次入力\( \ P_{2} \ \)と二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \)，\( \ P_{\mathrm {o}} \ \)の関係」より，
\[
\begin{eqnarray}
P_{2}&=&\frac {P_{\mathrm {o}}}{1-s} \\[ 5pt ]
&=&\frac {15\times 10^{3}}{1-0.05} \\[ 5pt ]
&≒&15789 → 15800 \ \mathrm {[W]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {c2}}&=&sP_{2} \\[ 5pt ]
&=&0.05\times 15789 \\[ 5pt ]
&≒&789.47 \ \mathrm {[W]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であり，電動機の全銅損\( \ P_{\mathrm {c}} \ \)が\( \ 1230 \ \mathrm {W} \ \)であるから，一次銅損\( \ P_{\mathrm {c1}} \ \mathrm {[W]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {c1}}&=&P_{\mathrm {c}}-P_{\mathrm {c2}} \\[ 5pt ]
&=&1230-789.47 \\[ 5pt ]
&=&440.53 → 441 \ \mathrm {[W]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(3)\( \ 75 \ \)％出力時の滑り\( \ s^{\prime } \ \)及びトルク\( \ T^{\prime } \ \mathrm {[N\cdot m]} \ \)
題意より，電動機の滑りとトルクは比例関係となるので，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {T}{s}&=&\frac {T^{\prime }}{s^{\prime }} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
の関係がある。また，\( \ 75 \ \)％出力時の出力\( \ P_{\mathrm {o}}^{\prime } \ \mathrm {[kW]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {o}}^{\prime }&=&P_{\mathrm {o}}\times 0.75 \\[ 5pt ]
&=&15\times 0.75 \\[ 5pt ]
&=&11.25 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。ワンポイント解説「2.電動機のトルク\( \ T \ \)と出力\( \ P_{\mathrm {o}} \ \)の関係」より，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {o}}^{\prime }&=&\omega ^{\prime }T^{\prime } \\[ 5pt ]
&=& (1-s^{\prime } ) \omega _{\mathrm {s}}\cdot \frac {s^{\prime }}{s}T \\[ 5pt ]
&=& (1-s^{\prime } ) \cdot \frac {4\pi f}{p}\cdot \frac {s^{\prime }}{s}T \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，各値を代入して整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
11250&=& (1-s^{\prime } ) \cdot \frac {4\pi \times 60}{6}\cdot \frac {s^{\prime }}{0.05}\times 125.65 \\[ 5pt ]
0.035625&=& (1-s^{\prime } ) s^{\prime } \\[ 5pt ]
{s^{\prime }}^{2}-s^{\prime }+0.035625&=&0 \\[ 5pt ]
s^{\prime }&=&\frac {1±\sqrt {1^{2}-4\times 1\times 0.035625}}{2} \\[ 5pt ]
&≒&0.036994，0.96301(不適) → 0.0370 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。よって，トルク\( \ T^{\prime } \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
T^{\prime }&=& \frac {P_{\mathrm {o}}^{\prime }}{\omega ^{\prime }} \\[ 5pt ]
&=& \frac {P_{\mathrm {o}}^{\prime }}{(1-s^{\prime } ) \omega _{\mathrm {s}}} \\[ 5pt ]
&=& \frac {P_{\mathrm {o}}^{\prime }}{\displaystyle (1-s^{\prime } ) \cdot \frac {4\pi f}{p}} \\[ 5pt ]
&=& \frac {11250}{\displaystyle (1-0.036994 ) \cdot \frac {4\pi \times 60}{6}} \\[ 5pt ]
&≒&92.964 → 93.0 \ \mathrm {[N\cdot m]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(4)\( \ 75 \ \)％出力時の二次入力\( \ P_{2}^{\prime } \ \mathrm {[W]} \ \)及び二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}}^{\prime } \ \mathrm {[W]} \ \)
定格出力時の二次入力\( \ P_{2}^{\prime } \ \)は，ワンポイント解説「3.電動機の滑り\( \ s \ \)と二次入力\( \ P_{2} \ \)と二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \)，\( \ P_{\mathrm {o}} \ \)の関係」より，
\[
\begin{eqnarray}
P_{2}^{\prime }&=&\frac {P_{\mathrm {o}}^{\prime }}{1-s^{\prime }} \\[ 5pt ]
&=&\frac {11250}{1-0.036994} \\[ 5pt ]
&≒&11682 → 11700 \ \mathrm {[W]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}}^{\prime } \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {c2}}^{\prime }&=&s^{\prime }P_{2}^{\prime } \\[ 5pt ]
&=&0.036994\times 11682 \\[ 5pt ]
&≒&432.16 → 432 \ \mathrm {[W]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(5)\( \ 75 \ \)％出力時の効率\( \ \eta \ \mathrm {[％]} \ \)
一次銅損も二次銅損も出力変化時の変化の割合は等しいので，\( \ 75 \ \)％出力時の一次銅損は\( \ P_{\mathrm {c1}}^{\prime } \ \)
\[
\begin{eqnarray}
\frac {P_{\mathrm {c1}}^{\prime }}{P_{\mathrm {c1}}}&=&\frac {P_{\mathrm {c2}}^{\prime }}{P_{\mathrm {c2}}} \\[ 5pt ]
P_{\mathrm {c1}}^{\prime }&=&\frac {P_{\mathrm {c2}}^{\prime }}{P_{\mathrm {c2}}}\cdot P_{\mathrm {c1}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {432.16}{789.47}\times 440.53 \\[ 5pt ]
&≒&241.15 \ \mathrm {[W]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。鉄損\( \ P_{\mathrm {i}}=430 \ \mathrm {[W]} \ \)は出力変化によって変化しないので，\( \ 75 \ \)％出力時の効率\( \ \eta \ \mathrm {[％]} \ \)は，ワンポイント解説「4.電動機の効率\( \ \eta \ \)」より，
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {P_{\mathrm {o}}^{\prime }}{P_{\mathrm {o}}^{\prime }+P_{\mathrm {i}}+P_{\mathrm {c1}}^{\prime }+P_{\mathrm {c2}}^{\prime }}\times 100 \\[ 5pt ]
&=&\frac {11250}{11250+430+241.15+432.16}\times 100 \\[ 5pt ]
&≒&91.069 → 91.1 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
愛知県出身 愛称たけちゃん