【問題】
【難易度】★★★☆☆（普通）
図1のフィードバック制御系について，次の問に答えよ。ただし，以下の設問において用いる\( \ x_{1}(t) \ \)，\( \ x_{2}(t) \ \)，\( \ u(t) \ \)，\( \ y(t) \ \)，\( \ r(t) \ \)，\( \ e(t) \ \)及び\( \ z(t) \ \)のラプラス変換はそれぞれ，\( \ X_{1}(s) \ \)，\( \ X_{2}(s) \ \)，\( \ U(s) \ \)，\( \ Y(s) \ \)，\( \ R(s) \ \)，\( \ E(s) \ \)及び\( \ Z(s) \ \)で表す。
(1) 図1の制御対象部分を示す図2において，状態変数を\( \ x_{1}(t) \ \)，\( \ x_{2}(t) \ \)，制御対象の入力と出力をそれぞれ\( \ u(t) \ \)，\( \ y(t) \ \)とする。このとき，状態ベクトル\( \ \boldsymbol x (t)=\begin{bmatrix} x_{1}(t) & x_{2}(t) \end{bmatrix} ^{T} \ \)が満たす次の状態空間表現
\[
\begin{eqnarray}
\dot {\boldsymbol x} (t)&=& \boldsymbol {\mathrm {A}} \boldsymbol x (t) +\boldsymbol {\mathrm {b}} u (t)， y(t)&=& \boldsymbol {\mathrm {c}} \boldsymbol x (t) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
における，\( \ \boldsymbol {\mathrm {A}} \ \)，\( \ \boldsymbol {\mathrm {b}} \ \)，\( \ \boldsymbol {\mathrm {c}} \ \)を求めよ。
(2) 図1の積分器を図3のように書き直して，変数\( \ Z(s) \ \)を新たに設けるとき，この時間関数\( \ z(t) \ \)は，関係式
\[
\begin{eqnarray}
\dot z (t)&=& r (t)-y(t)&=&r(t)-\boldsymbol {\mathrm {c}} \boldsymbol x (t) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
を満たす。また，入力\( \ u(t) \ \)は次のように書くことができる。
\[
\begin{eqnarray}
u (t)&=&-\boldsymbol {\mathrm {f}} \boldsymbol x (t)+kz(t)，\boldsymbol {\mathrm {f}}=\begin{bmatrix} f_{1} & f_{2} \end{bmatrix} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
積分器の出力である\( \ z(t) \ \)を状態変数として取り込み，状態ベクトルを\( \ \overline {\boldsymbol x} (t)=\begin{bmatrix} x_{1}(t) & x_{2}(t) & z(t) \end{bmatrix} ^{T} \ \)に拡大すると，図1のフィードバック制御系は次の状態空間表現
\[
\begin{eqnarray}
\dot {\overline {\boldsymbol x}} (t)&=& \overline {\boldsymbol {\mathrm {A}}} \overline {\boldsymbol x} (t) +\overline {\boldsymbol {\mathrm {b}}} r (t)， y(t)&=& \overline {\boldsymbol {\mathrm {c}}} \ \overline {\boldsymbol x} (t) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
で記述できる。\( \ \overline {\boldsymbol {\mathrm {A}}} \ \)，\( \ \overline {\boldsymbol {\mathrm {b}}} \ \)，\( \ \overline {\boldsymbol {\mathrm {c}}} \ \)を\( \ \boldsymbol {\mathrm {A}} \ \)，\( \ \boldsymbol {\mathrm {b}} \ \)，\( \ \boldsymbol {\mathrm {c}} \ \)，\( \ k \ \)，\( \ \boldsymbol {\mathrm {f}} \ \)，\( \ 0 \ \)及び\( \ 1 \ \)を用いて表せ。
(3) \( \ k=1 \ \)，\( \ f_{1}=1 \ \)，\( \ f_{2}=1 \ \)として，上記小問(2)の行列\( \ \overline {\boldsymbol {\mathrm {A}}} \ \)の固有値を与える特性多項式を示せ。
(4) \( \ k=1 \ \)，\( \ f_{1}=1 \ \)，\( \ f_{2}=1 \ \)として，図1のブロック線図の目標値\( \ R(s) \ \)から出力\( \ Y(s) \ \)までの伝達関数を求めよ。
【ワンポイント解説】
現代制御理論からの出題です。近年は自動制御も選択者が多いのか少し捻った問題が出題されるようです。(2)や(3)がやや応用問題と言えますが，冷静に解けばそれほど難易度が高い問題ではないので落ち着いて解くようにしましょう。
1.特性多項式
\( \ \boldsymbol {\mathrm {A}} \ \)の特性多項式は単位行列\( \ \boldsymbol I \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
\left| s\boldsymbol I-\boldsymbol {\mathrm {A}}\right| &=&0 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
で与えられる多項式を言い，これにより求められる\( \ s \ \)の値を固有値と言います。
【解答】
(1)\( \ \boldsymbol {\mathrm {A}} \ \)，\( \ \boldsymbol {\mathrm {b}} \ \)，\( \ \boldsymbol c \ \)を求める
図2より，
\[
\begin{eqnarray}
X_{2}(s) &=&\frac {1}{s+2}U(s) &→& sX_{2}(s)&=&-2X_{2}(s)+U(s) \\[ 5pt ]
X_{1}(s) &=&\frac {1}{s+3}X_{2}(s) &→& sX_{1}(s)&=&-3X_{1}(s)+X_{2}(s) \\[ 5pt ]
Y(s) &=&X_{1}(s) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
が成り立つので，両辺をラプラス逆変換すると，
\[
\begin{eqnarray}
\dot x_{2}(t)&=&-2x_{2}(t)+u(t) \\[ 5pt ]
\dot x_{1}(t)&=&-3x_{1}(t)+x_{2}(t) \\[ 5pt ]
y(t) &=&x_{1}(t) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。上式を状態空間表現すると，
\[
\begin{eqnarray}
\begin{bmatrix} \dot x_{1}(t) \\ \dot x_{2}(t) \end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix} -3 & 1 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1}(t) \\ x_{2}(t) \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}u(t) \\[ 5pt ]
y(t) &=&\begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1}(t) \\ x_{2}(t) \end{bmatrix} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，
\[
\begin{eqnarray}
\displaystyle \boldsymbol {\mathrm {A}}=\begin{bmatrix} -3 & 1 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}，\displaystyle \boldsymbol {\mathrm {b}}=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}，\displaystyle \boldsymbol {\mathrm {c}}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(2)\( \ \overline {\boldsymbol {\mathrm {A}}} \ \)，\( \ \overline {\boldsymbol {\mathrm {b}}} \ \)，\( \ \overline {\boldsymbol c} \ \)を\( \ \boldsymbol {\mathrm {A}} \ \)，\( \ \boldsymbol {\mathrm {b}} \ \)，\( \ \boldsymbol {\mathrm {c}} \ \)，\( \ k \ \)，\( \ \boldsymbol {\mathrm {f}} \ \)，\( \ 0 \ \)及び\( \ 1 \ \)を用いて表す
(1)及び題意より，
\[
\begin{eqnarray}
\dot {\boldsymbol x} (t)&=& \boldsymbol {\mathrm {A}} \boldsymbol x (t) +\boldsymbol {\mathrm {b}} u (t)& ・・・・・・・・・・・・・・・・・ ①& \\[ 5pt ]
u (t)&=&-\boldsymbol {\mathrm {f}} \boldsymbol x (t)+kz(t)& ・・・・・・・・・・・・・・・・・ ② & \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であるから，②を①に代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
\dot {\boldsymbol x} (t)&=& \boldsymbol {\mathrm {A}} \boldsymbol x (t) +\boldsymbol {\mathrm {b}} \left[ -\boldsymbol {\mathrm {f}} \boldsymbol x (t)+kz(t)\right] \\[ 5pt ]
\dot {\boldsymbol x} (t)&=& \left( \boldsymbol {\mathrm {A}} -\boldsymbol {\mathrm {b}} \boldsymbol {\mathrm {f}}\right) \boldsymbol x (t) +\boldsymbol {\mathrm {b}} kz(t)& ・・・・・・・・・・ ③ & \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。また，題意より，
\[
\begin{eqnarray}
\dot z (t)&=&-\boldsymbol {\mathrm {c}} \boldsymbol x (t)+r(t) & ・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ④ & \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であるから，③，④を状態空間表現をすると，
\[
\begin{eqnarray}
\begin{bmatrix} \dot {\boldsymbol x} (t) \\ \dot z (t) \end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix} \boldsymbol {\mathrm {A}} -\boldsymbol {\mathrm {b}} \boldsymbol {\mathrm {f}} & \boldsymbol {\mathrm {b}} k \\ -\boldsymbol {\mathrm {c}} & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \boldsymbol x (t) \\ z(t) \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} \boldsymbol 0 \\ 1 \end{bmatrix}r(t) & ・・・・・ ⑤ & \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。また，\( \ y(t)= \boldsymbol {\mathrm {c}} \boldsymbol x (t) \ \)であるから，状態空間表現をすると，
\[
\begin{eqnarray}
y(t)&=&\begin{bmatrix} \boldsymbol {\mathrm {c}} & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \boldsymbol x (t) \\ z(t) \end{bmatrix}& ・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ⑥ & \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。よって，⑤，⑥より，
\[
\begin{eqnarray}
\displaystyle \overline {\boldsymbol {\mathrm {A}}}=\begin{bmatrix} \boldsymbol {\mathrm {A}} -\boldsymbol {\mathrm {b}} \boldsymbol {\mathrm {f}} & \boldsymbol {\mathrm {b}} k \\ -\boldsymbol c & 0 \end{bmatrix}，\overline {\displaystyle \boldsymbol {\mathrm {b}}}=\begin{bmatrix} \boldsymbol 0 \\ 1 \end{bmatrix}，\displaystyle \overline {\boldsymbol c}=\begin{bmatrix} \boldsymbol c & 0 \end{bmatrix} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(3)\( \ \overline {\boldsymbol {\mathrm {A}}} \ \)の固有値を与える特性多項式
\[
\begin{eqnarray}
\boldsymbol {\mathrm {A}} -\boldsymbol {\mathrm {b}} \boldsymbol {\mathrm {f}}&=&\begin{bmatrix} -3 & 1 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix} \\[ 5pt ]
&=&\begin{bmatrix} -3 & 1 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \\[ 5pt ]
&=&\begin{bmatrix} -3 & 1 \\ -1 & -3 \end{bmatrix} \\[ 5pt ]
\boldsymbol {\mathrm {b}} k&=&\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}1 \\[ 5pt ]
&=&\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \\[ 5pt ]
-\boldsymbol {\mathrm {c}}&=&-\begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \\[ 5pt ]
&=&\begin{bmatrix} -1 & 0 \end{bmatrix} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であるから，
\[
\begin{eqnarray}
\displaystyle \overline {\boldsymbol {\mathrm {A}}}&=&\begin{bmatrix} -3 & 1 & 0 \\ -1 & -3 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。ワンポイント解説「1.特性多項式」より，\( \ \overline {\boldsymbol {\mathrm {A}}} \ \)の固有値を与える特性多項式は，
\[
\begin{eqnarray}
\left| s\boldsymbol I-\overline {\boldsymbol {\mathrm {A}}}\right| &=&\left| \begin{bmatrix} s & 0 & 0 \\ 0 & s & 0 \\ 0 & 0 & s \end{bmatrix} -\begin{bmatrix} -3 & 1 & 0 \\ -1 & -3 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \right| \\[ 5pt ]
&=&\begin{vmatrix} s+3 & -1 & 0 \\ 1 & s+3 & -1 \\ 1 & 0 & s \end{vmatrix} \\[ 5pt ]
&=&\left( s+3\right) \left( s+3\right) s+(-1)\cdot (-1) \cdot 1-(-1)\cdot 1\cdot s \\[ 5pt ]
&=&s^{3}+6s^{2}+10s+1 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(4)目標値\( \ R(s) \ \)から出力\( \ Y(s) \ \)までの伝達関数
\( \ k=1 \ \)，\( \ f_{1}=1 \ \)，\( \ f_{2}=1 \ \)に注意して，フィードバック制御系に関して成り立つ等式を考えると，
\[
\begin{eqnarray}
\left[ [ R(s)-Y(s) ] \frac {1}{s}-Y(s)-X_{2}(s)\right] \frac {1}{s+2} &=&X_{2}(s) & ・・・・・・ ⑦ & \\[ 5pt ]
X_{2}(s)\cdot \frac {1}{s+3} &=&Y(s) & ・・・・・・ ⑧ & \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，⑧を⑦に代入して整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
\left[ [ R(s)-Y(s) ] \frac {1}{s}-Y(s)-\left( s+3\right) Y(s)\right] \frac {1}{s+2} &=&\left( s+3\right) Y(s) \\[ 5pt ]
\left[ R(s)-Y(s) \right] \frac {1}{s}-Y(s)-\left( s+3\right) Y(s) &=&\left( s+2\right) \left( s+3\right) Y(s) \\[ 5pt ]
R(s)-Y(s)-sY(s)-s\left( s+3\right) Y(s) &=&s\left( s+2\right) \left( s+3\right) Y(s) \\[ 5pt ]
R(s)&=&\left[ s\left( s+2\right) \left( s+3\right) +s\left( s+3\right) +s +1 \right] Y(s) \\[ 5pt ]
\frac {Y(s)}{R(s)}&=&\frac {1}{s^{3}+6s^{2}+10s+1} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
愛知県出身 愛称たけちゃん