【問題】
【難易度】★★★★☆（やや難しい）
次の文章は，直流回路に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまるものを解答群の中から選びなさい。
図1に示す平衡条件を満たすブリッジ回路において，抵抗\( \ R_{2} \ \)に抵抗\( \ 3R_{2} \ \)を直列又は並列に接続したときに，電流計に流れる電流を補償定理を使って求めてみよう。ただし，\( \ E \ \)は直流電圧源の大きさであり，電圧源と電流計の内部抵抗は無視できるものとする。
図1では電流計には電流は流れていない。したがって，題意の電流を求めるとき，\( \ 3R_{2} \ \)を接続したことによる変化分を考えればよい。
補償定理によれば，\( \ 3R_{2} \ \)を直列に接続したことによる電流の変化分は，図2に示す回路で計算できる。\( \ R_{2} \ \)と\( \ 3R_{2} \ \)に接続される電圧源の大きさ\( \ E^{\prime } \ \)は\( \ \fbox { （１） } \ \)となるから，電流計に流れる電流\( \ I_{1} \ \)は\( \ \fbox { （２） } \ \)となる。
同様に，\( \ R_{2} \ \)と並列に\( \ 3R_{2} \ \)を接続したときに電流計に流れる電流\( \ I_{2} \ \)は，図3に示す回路で計算できる。\( \ R_{2} \ \)に\( \ 3R_{2} \ \)を並列に接続したことによる\( \ R_{2} \ \)に対する抵抗の変化分の絶対値は\( \ \fbox { （３） } \ \)となる。したがって，電圧源の大きさ\( \ E^{\prime \prime} \ \)は\( \ \fbox { （４） } \ \)となり，\( \ I_{2} \ \)は\( \ \fbox { （５） } \ \)となる。
〔問2の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）& \frac {E}{11R_{1}+9R_{2}} &（ロ）& \frac {E}{16R_{1}+12R_{2}} &（ハ）& \frac {E}{R_{1}+2R_{2}} \\[ 5pt ]
&（ニ）& \frac {3R_{2}}{R_{1}+4R_{2}}E &（ホ）& \frac {E}{2R_{1}+4R_{2}} &（ヘ）& \frac {E}{8R_{1}+6R_{2}} \\[ 5pt ]
&（ト）& \frac {R_{2}E}{2R_{1}+4R_{2}} &（チ）& \frac {R_{2}}{4} &（リ）& \frac {3}{4}E \\[ 5pt ]
&（ヌ）& \frac {3R_{2}}{R_{1}+R_{2}}E &（ル）& 2R_{2} &（ヲ）& \frac {3R_{2}}{4} \\[ 5pt ]
&（ワ）& \frac {R_{2}E}{11R_{1}+9R_{2}} &（カ）& \frac {2R_{2}E}{R_{1}+R_{2}} &（ヨ）& \frac {R_{2}E}{4\left( R_{1}+R_{2}\right) }
\end{eqnarray}
\]
【ワンポイント解説】
補償定理を扱う問題です。途中の回路計算は電流値を求める計算がやや複雑になるため，限られた試験時間の中では本問(2),(5)は後回しにし，時間があれば解いた方が良いと思います。
1.補償定理
図4のように，ある回路があり，一つの抵抗\( \ R \ \)に電流\( \ I \ \)が流れているとき，\( \ R \ \)に直列に\( \ R^{\prime } \ \)を接続したときの各箇所の電流変化は，他の電源を取り除き，\( \ R^{\prime } \ \)と直列に\( \ E^{\prime }=R^{\prime }I \ \)の起電力を反対方向に挿入したときに流れる電流の大きさ\( \ \Delta I \ \)に等しいという定理です。
図4のような単純な回路であればイメージがしやすいと思います。
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【解答】
(1)解答：ヌ
図1の\( \ R_{2} \ \)に流れる電流\( \ I_{0} \ \)は，電流計に流れる電流は0であるから，
\[
\begin{eqnarray}
I_{0}&=&\frac {E}{R_{1}+R_{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，補償定理より，図2の補償起電力\( \ E^{\prime } \ \)は抵抗増加分\( \ 3R_{2} \ \)と\( \ I_{0} \ \)の積と等しいから，
\[
\begin{eqnarray}
E^{\prime }&=&3R_{2}I_{0} \\[ 5pt ]
&=&3R_{2}\cdot \frac {E}{R_{1}+R_{2}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {3R_{2}}{R_{1}+R_{2}}E
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(2)解答：ホ
図2は図2-1のように整理し，書き換えることができる。
図2-1の合成抵抗\( \ R \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
R&=&R_{2}+3R_{2}+\frac {1}{\displaystyle \frac {1}{R_{1}}+\frac {1}{2R_{1}}+\frac {1}{2R_{2}}} \\[ 5pt ]
&=&4R_{2}+\frac {1}{\displaystyle \frac {3}{2R_{1}}+\frac {1}{2R_{2}}} \\[ 5pt ]
&=&4R_{2}+\frac {2R_{1}R_{2}}{\displaystyle R_{1}+3R_{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であるから，電源\( \ E^{\prime } \ \)を流れる電流\( \ I_{0}^{\prime } \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{0}^{\prime }&=&\frac {E^{\prime }}{R} \\[ 5pt ]
&=&\frac{\displaystyle \frac {3R_{2}}{R_{1}+R_{2}}E}{\displaystyle 4R_{2}+\frac {2R_{1}R_{2}}{\displaystyle R_{1}+3R_{2}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められ、さらに電流計を流れる電流\( \ I_{1} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{1}&=&\frac {R_{1}}{\displaystyle R_{1}+\frac {1}{\displaystyle \frac {1}{2R_{1}}+\frac {1}{2R_{2}}}}I_{0}^{\prime } \\[ 5pt ]
&=&\frac {R_{1}}{\displaystyle R_{1}+\frac {2R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}\cdot \frac{\displaystyle \frac {3R_{2}}{R_{1}+R_{2}}E}{\displaystyle 4R_{2}+\frac {2R_{1}R_{2}}{\displaystyle R_{1}+3R_{2}}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\displaystyle \frac {3R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}E}{\displaystyle \left( R_{1}+\frac {2R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\right) \left( 4R_{2}+\frac {2R_{1}R_{2}}{R_{1}+3R_{2}}\right)} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，分母分子を\( \ R_{1}R_{2} \ \)で割って整理すると
\[
\begin{eqnarray}
I_{1}&=&\frac {3E}{ \displaystyle \left(R_{1}+R_{2}\right)\left( 1+\frac {2R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\right) \left( 4+\frac {2R_{1}}{R_{1}+3R_{2}}\right)} \\[ 5pt ]
&=&\frac {3E}{ \displaystyle \left(R_{1}+R_{2}+2R_{2}\right) \left( 4+\frac {2R_{1}}{R_{1}+3R_{2}}\right)} \\[ 5pt ]
&=&\frac {3E}{ \displaystyle \left(R_{1}+3R_{2}\right) \left( 4+\frac {2R_{1}}{R_{1}+3R_{2}}\right)} \\[ 5pt ]
&=&\frac {3E}{ \displaystyle 4\left( R_{1}+3R_{2}\right) +2R_{1}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {3E}{6R_{1}+12R_{2}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {E}{2R_{1}+4R_{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(3)解答：チ
\( \ R_{2} \ \)と\( \ 3R_{2} \ \)の並列合成抵抗は，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {R_{2}\cdot 3R_{2}}{R_{2}+3R_{2}}&=&\frac {3}{4}R_{2} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であるから，変化分の絶対値は，
\[
\begin{eqnarray}
R_{2}-\frac {3}{4}R_{2}&=&\frac {R_{2}}{4} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(4)解答：ヨ
補償定理より，図3の補償起電力\( \ E^{\prime \prime } \ \)は抵抗変化分\( \ \displaystyle \frac {R_{2}}{4} \ \)と\( \ I_{0} \ \)の積と等しいから，
\[
\begin{eqnarray}
E^{\prime \prime }&=&\frac {R_{2}}{4}I_{0} \\[ 5pt ]
&=&\frac {R_{2}}{4}\cdot \frac {E}{R_{1}+R_{2}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {R_{2}E}{4\left(R_{1}+R_{2}\right)} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(5)解答：イ
(2)と同様に電流計を流れる電流\( \ I_{2} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{2}&=&\frac {\displaystyle \frac {R_{1}R_{2}E}{4\left(R_{1}+R_{2}\right)}}{\displaystyle \left( R_{1}+\frac {2R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\right) \left(\frac{3}{4}R_{2}+\frac {2R_{1}R_{2}}{R_{1}+3R_{2}}\right)} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，分母分子を\( \ R_{1}R_{2} \ \)で割って整理すると
\[
\begin{eqnarray}
I_{2}&=&\frac {E}{\displaystyle 4\left(R_{1}+R_{2}\right)\left( 1+\frac {2R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\right) \left(\frac{3}{4}+\frac {2R_{1}}{R_{1}+3R_{2}}\right)} \\[ 5pt ]
&=&\frac {E}{\displaystyle \left\{ \left(R_{1}+R_{2}\right)+2R_{2}\right\} \left(3+\frac {8R_{1}}{R_{1}+3R_{2}}\right)} \\[ 5pt ]
&=&\frac {E}{\displaystyle \left(R_{1}+3R_{2}\right) \left(3+\frac {8R_{1}}{R_{1}+3R_{2}}\right)} \\[ 5pt ]
&=&\frac {E}{\displaystyle 3\left(R_{1}+3R_{2}\right) +8R_{1}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {E}{11R_{1}+9R_{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
愛知県出身 愛称たけちゃん