《理論》〈電子回路〉[H23:問7] バイポーラトランジスタに関する計算問題

【問題】

【難易度】★☆☆☆☆(易しい)

次の文章は,同一特性を有する4個のバイポーラトランジスタを用いた直流で動作する図1の回路について,入力電流\(I_{\mathrm {in}}\)と出力電流\(I_{\mathrm {out}}\)の関係を求める過程に関する記述である。文中の\(\fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$}\)に当てはまるものを解答群の中から選びなさい。ただし,直流電圧源\(V_{\mathrm {CC}}\)の値は十分大きいものとする。また,バイポーラトランジスタのコレクタ電流\(I_{\mathrm {C}}\),ベース電流\(I_{\mathrm {B}}\),エミッタ電流\(I_{\mathrm {E}}\),ベース-エミッタ間電圧\(V_{\mathrm {BE}}\)は図2のとおりに定義され,\(I_{\mathrm {B}}\)は零,\(I_{\mathrm {E}}\)は\(I_{\mathrm {C}}\)に等しく,\(I_{\mathrm {C}}\)は熱電圧\(V_{\mathrm {T}}\),逆方向飽和電流\(I_{\mathrm {S}}\)によって,
\[
I_{\mathrm {C}}=I_{\mathrm {S}}e^{\frac {V_{\mathrm {BE}}}{V_{\mathrm {T}}}}   ・・・・・・・・・・・①
\] と表されるものとする。
図1の回路において,\(i\)番目(\(i=1~4\))のバイポーラトランジスタ\(Q_{\mathrm {i}}\)のベース-エミッタ間電圧を\(V_{\mathrm {BEi}}\),コレクタ電流を\(I_{\mathrm {Ci}}\)とすると,四つのベース-エミッタ間電圧\(V_{\mathrm {BE1}}~V_{\mathrm {BE4}}\)の間には
\[
\fbox {  (1)  }      ・・・・・・・・・・②
\] という関係が成り立つ。①式から\(V_{\mathrm {BEi}}\)を\(I_{\mathrm {Ci}}\)と\(V_{\mathrm {T}}\),\(I_{\mathrm {S}}\)で表すと
\[
\fbox {  (2)  }      ・・・・・・・・・・③
\] となる。この式を②式に代入すると,四つのコレクタ電流\(I_{\mathrm {C1}}~I_{\mathrm {C4}}\)の間の関係として
\[
\fbox {  (3)  }      ・・・・・・・・・・④
\] が得られる。\(Q_{1}\)と\(Q_{2}\)のコレクタ電流が\(I_{\mathrm {in}}\),\(Q_{3}\)のコレクタ電流が\(\fbox {  (4)  }\),\(Q_{4}\)のコレクタ電流が\(I_{\mathrm {out}}\)であることから,\(I_{\mathrm {out}}\)は
\[
\fbox {  (5)  }      ・・・・・・・・・・⑤
\] となる。

〔問7の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&(イ)& I_{\mathrm {in}}   &(ロ)& I_{\mathrm {C1}}I_{\mathrm {C2}}=I_{\mathrm {C3}}I_{\mathrm {C4}} \\[ 5pt ] &(ハ)& V_{\mathrm {BEi}}=V_{\mathrm {T}}\ln \left( \frac {I_{\mathrm {S}}}{I_{\mathrm {Ci}}}\right)   &(ニ)& I_{\mathrm {out}}=\sqrt {I_{\mathrm {in}}I_{0}} \\[ 5pt ] &(ホ)& V_{\mathrm {BEi}}=V_{\mathrm {T}}   &(ヘ)& I_{0} \\[ 5pt ] &(ト)& I_{\mathrm {out}}=I_{\mathrm {in}}   &(チ)& V_{\mathrm {BE1}}+V_{\mathrm {BE2}}=V_{\mathrm {BE3}}+V_{\mathrm {BE4}} \\[ 5pt ] &(リ)& \frac {I_{\mathrm {C1}}}{I_{\mathrm {C2}}}=\frac {I_{\mathrm {C3}}}{I_{\mathrm {C4}}}   &(ヌ)& I_{\mathrm {out}}=\frac {I^{2}_{\mathrm {in}}}{I_{0}} \\[ 5pt ] &(ル)& I_{\mathrm {out}}   &(ヲ)& I_{\mathrm {C1}}I_{\mathrm {C3}}=I_{\mathrm {C2}}I_{\mathrm {C4}} \\[ 5pt ] &(ワ)& V_{\mathrm {BE1}}-V_{\mathrm {BE2}}=V_{\mathrm {BE3}}-V_{\mathrm {BE4}}   &(カ)& V_{\mathrm {BEi}}=V_{\mathrm {T}}\ln \left( \frac {I_{\mathrm {Ci}}}{I_{\mathrm {S}}}\right) \\[ 5pt ] &(ヨ)& V_{\mathrm {BE1}}+V_{\mathrm {BE3}}=V_{\mathrm {BE2}}+V_{\mathrm {BE4}}
\end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

バイポーラトランジスタの理解度を確認する問題です。バイポーラトランジスタの性質を理解し、問題に慣れてしまえば,確実に得点できる問題となります。

【解答】

(1)解答:チ
\(Q_{1}\)のエミッタ電圧\(V_{\mathrm {1E}}\)とすると,
\[
V_{\mathrm {1E}}=V_{\mathrm {BE1}}+V_{\mathrm {BE2}}=V_{\mathrm {BE3}}+V_{\mathrm {BE4}}
\] となる。

(2)解答:カ
①式を変形すると,
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {Ci}}&=&I_{\mathrm {S}}e^{\frac {V_{\mathrm {BEi}}}{V_{\mathrm {T}}}} \\[ 5pt ] \frac {I_{\mathrm {Ci}}}{I_{\mathrm {S}}}&=&e^{\frac {V_{\mathrm {BEi}}}{V_{\mathrm {T}}}}
\end{eqnarray}
\] 両辺対数をとると,
\[
\ln \left (\frac {I_{\mathrm {Ci}}}{I_{\mathrm {S}}}\right) =\frac {V_{\mathrm {BEi}}}{V_{\mathrm {T}}}
\] ゆえに,
\[
V_{\mathrm {BEi}}=V_{\mathrm {T}}\ln \left( \frac {I_{\mathrm {Ci}}}{I_{\mathrm {S}}}\right)
\] と求められる。

(3)解答:ロ
(2)解答を(1)解答の両辺に代入し変形する。
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {BE1}}+V_{\mathrm {BE2}}&=&V_{\mathrm {BE3}}+V_{\mathrm {BE4}} \\[ 5pt ] V_{\mathrm {T}}\ln \left( \frac {I_{\mathrm {C1}}}{I_{\mathrm {S}}}\right)+V_{\mathrm {T}}\ln \left( \frac {I_{\mathrm {C2}}}{I_{\mathrm {S}}}\right)&=&V_{\mathrm {T}}\ln \left( \frac {I_{\mathrm {C3}}}{I_{\mathrm {S}}}\right)+V_{\mathrm {T}}\ln \left( \frac {I_{\mathrm {C4}}}{I_{\mathrm {S}}}\right)
\end{eqnarray}
\] 両辺を\(V_{\mathrm {T}}\)で割ると,
\[
\ln \left( \frac {I_{\mathrm {C1}}}{I_{\mathrm {S}}}\right)+\ln \left( \frac {I_{\mathrm {C2}}}{I_{\mathrm {S}}}\right)=\ln \left( \frac {I_{\mathrm {C3}}}{I_{\mathrm {S}}}\right)+\ln \left( \frac {I_{\mathrm {C4}}}{I_{\mathrm {S}}}\right)
\] ここで,\(\displaystyle \ln \left( \frac {A}{B} \right) =\ln A-\ln B\)となるから,
\[
\ln I_{\mathrm {C1}}-\ln I_{\mathrm {S}}+\ln I_{\mathrm {C2}}-\ln I_{\mathrm {S}}=\ln I_{\mathrm {C3}}-\ln I_{\mathrm {S}}+\ln I_{\mathrm {C4}}-\ln I_{\mathrm {S}}
\] 両辺の\(\ln I_{\mathrm {S}}\)を整理すると,
\[
\ln I_{\mathrm {C1}}+\ln I_{\mathrm {C2}}=\ln I_{\mathrm {C3}}+\ln I_{\mathrm {C4}}
\] となる。また,\(\ln A +\ln B=\ln \left( AB\right)\)となるから,
\[
\ln \left( I_{\mathrm {C1}} I_{\mathrm {C2}}\right)=\ln \left( I_{\mathrm {C3}} I_{\mathrm {C4}}\right)
\] となり,両辺の対数を外すと,
\[
I_{\mathrm {C1}} I_{\mathrm {C2}}=I_{\mathrm {C3}} I_{\mathrm {C4}}
\] となる。

(4)解答:ヘ
\(Q_{3}\)のコレクタ電流\(I_{\mathrm {C3}}\)は各トランジスタのベース電流が零であるから,
\[
I_{\mathrm {C3}}=I_{\mathrm {E3}}=I_{0}
\] となる。

(5)解答:ヌ
\(I_{\mathrm {C1}}=I_{\mathrm {C2}}=I_{\mathrm {in}}\),\(I_{\mathrm {C3}}=I_{0}\),\(I_{\mathrm {C4}}=I_{\mathrm {out}}\)を(3)解答に代入すると,
\[
I_{\mathrm {in}}^{2}=I_{0}I_{\mathrm {out}}
\] ゆえに,
\[
I_{\mathrm {out}}=\frac {I_{\mathrm {in}}^{2}}{I_{0}}
\] となる。



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