【問題】
【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）
次の文章は，直流回路の電流計算(等価変換)に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまるものを解答群の中から選びなさい。
図1において，抵抗\( \ R_{2} \ \)に流れる電流\( \ I \ \)が最小になる条件を求めたい。ただし，図の可変抵抗\( \ \mathrm {A}－\mathrm {C} \ \)間の抵抗を\( \ R \ \)，\( \ \mathrm {A}－\mathrm {B} \ \)間の抵抗を\( \ R_{\mathrm {x}} \ \)，\( \ \mathrm {B}－\mathrm {C} \ \)間の抵抗を\( \ \left( R-R_{\mathrm {x}}\right) \ \)とする。
まず，図1の端子\( \ \mathrm {a}－\mathrm {b} \ \)より左側部分を図2に示す抵抗\( \ r \ \)と電圧源\( \ E \ \)に等価変換すると，それぞれ\( \ r=\fbox { （１） } \ \mathrm {[\Omega ]} \)，\( \ E=\fbox { （２） } \ \mathrm {[V]} \ \)となる。
ところで，図2について考えると，\( \ R_{2} \ \)に流れる電流\( \ I \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I &=& \frac {R_{1}E}{\fbox { （３） }+R_{1}\left( R_{2}+R\right) +r\left( R_{1}+R_{2}+R\right) } ・・・・・・・・ ① \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。ここで，電流\( \ I \ \)が最小になる条件は①式の分母が最大の場合であるから，\( \ R_{\mathrm {x}}=\fbox { （４） } \ \)となるように可変抵抗を調整した場合に電流が最小となる。このとき，\( \ \left( r+R_{\mathrm {x}}\right) \ \)と\( \ \left( R-R_{\mathrm {x}}+R_{2}\right) \ \)の関係は，\( \ \left( r+R_{\mathrm {x}}\right) \ \fbox { （５） } \ \left( R-R_{\mathrm {x}}+R_{2}\right) \ \)となる。ただし，\( \ \left( R_{2}+R\right) ＞ r \ \)であるとする。
〔問2の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）& R_{2}+R-r &（ロ）& ＞ &（ハ）& = \\[ 5pt ]
&（ニ）& 4.5 &（ホ）& 21 &（ヘ）& R_{\mathrm {x}}\left( R_{2}+R-r-R_{\mathrm {x}}\right) \\[ 5pt ]
&（ト）& 2 &（チ）& 9 &（リ）& R_{\mathrm {x}}\left( R_{1}+R_{2}+R-r-R_{\mathrm {x}}\right) \\[ 5pt ]
&（ヌ）& ＜ &（ル）& \frac {R_{2}+R-r}{2} &（ヲ）& \frac {R_{1}+R_{2}+R-r}{2} \\[ 5pt ]
&（ワ）& 1 &（カ）& 24 &（ヨ）& R_{\mathrm {x}}\left( R_{2}+R-r\right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
【ワンポイント解説】
3種から定番である等価変換を用いた問題です。(3)の計算がやや面倒ですが，主だって難しい内容はありません。
1.電圧源と電流源の等価変換
図3に示すように，電圧源と電流源は直列と並列で等価変換することができます。
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【解答】
(1)解答：チ
(2)解答：ホ
ワンポイント解説「1.電圧源と電流源の等価変換」の通り，図1の電流源を電圧源に等価変換した時の電圧の大きさを\( \ E_{0} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
E_{0} &=&3\times 7.5 \\[ 5pt ]
&=&22.5 \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であり，\( \ \mathrm {a}－\mathrm {b} \ \)の左側の回路はすべて直列となるから，
\[
\begin{eqnarray}
r &=&3+6 \\[ 5pt ]
&=&9 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
\[
\begin{eqnarray}
E &=&E_{0}-1.5 \\[ 5pt ]
&=&22.5-1.5 \\[ 5pt ]
&=&21 \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(3)解答：ヘ
直並列の合成抵抗及び分流の法則より，\( \ R_{2} \ \)を流れる電流\( \ I \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I &=&\frac {E}{\displaystyle \left( r+R_{\mathrm {x}}\right) +\frac {R_{1}\left[ \left( R-R_{\mathrm {x}}\right) +R_{2}\right] }{R_{1}+\left[ \left( R-R_{\mathrm {x}}\right) +R_{2}\right] }}\times \frac {R_{1}}{R_{1}+\left[ \left( R-R_{\mathrm {x}}\right) +R_{2}\right] } \\[ 5pt ]
&=&\frac {R_{1}E}{\displaystyle \left( r+R_{\mathrm {x}}\right) \left( R_{1}+R-R_{\mathrm {x}} +R_{2}\right) +R_{1}\left( R-R_{\mathrm {x}}+R_{2}\right) } \\[ 5pt ]
&=&\frac {R_{1}E}{r\left( R_{1}+R-R_{\mathrm {x}}+R_{2}\right) +R_{\mathrm {x}}\left( R_{1}+R-R_{\mathrm {x}} +R_{2}\right) +R_{1}\left( R-R_{\mathrm {x}}+R_{2}\right) } \\[ 5pt ]
&=&\frac {R_{1}E}{r\left( R_{1}+R-R_{\mathrm {x}}+R_{2}\right) +R_{\mathrm {x}}\left( R-R_{\mathrm {x}} +R_{2}\right) +R_{1}\left( R+R_{2}\right) } \\[ 5pt ]
&=&\frac {R_{1}E}{R_{\mathrm {x}}\left( R_{2}+R-r-R_{\mathrm {x}} \right) +R_{1}\left( R+R_{2}\right) +r\left( R_{1}+R_{2}+R\right)} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(4)解答：ル
(3)の解答式の分母を\( \ A=R_{\mathrm {x}}\left( R_{2}+R-r-R_{\mathrm {x}} \right) +R_{1}\left( R+R_{2}\right) +r\left( R_{1}+R_{2}+R\right) \ \)と置く。両辺微分すると，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\mathrm {d}A}{\mathrm {d}R_{\mathrm {x}}} &=&R_{2}+R-r-2R_{\mathrm {x}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。分母が最大となる条件は\( \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}A}{\mathrm {d}R_{\mathrm {x}}}=0 \ \)の時であるから，
\[
\begin{eqnarray}
R_{2}+R-r-2R_{\mathrm {x}} &=&0 \\[ 5pt ]
R_{\mathrm {x}} &=&\frac {R_{2}+R-r}{2} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(5)解答：ハ
(4)の解答式を変形すると，
\[
\begin{eqnarray}
2R_{\mathrm {x}} &=&R_{2}+R-r \\[ 5pt ]
R_{\mathrm {x}}+r &=&R_{2}-R_{\mathrm {x}}+R \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，両者は等しい関係となる。
愛知県出身 愛称たけちゃん