《理論》〈電気回路〉[H27:問6] 分布定数回路に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★☆(やや難しい)

次の文章は,分布定数回路に関する記述である。文中の\(\fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$}\)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選びなさい。

図のように,特性インピーダンスがそれぞれ\(Z_{1}\),\(Z_{2}\)の2本の無損失線路と抵抗が接続されている。線路間に電気的・磁気的結合はなく,また,\(\mathrm {A}\),\(\mathrm {B}\)それぞれの端子では反射がないものとする。

\(\mathrm {A}\)端子から接続点\(\mathrm {C}\)に向かって波頭が階段状で波高値\(E\)の電圧波が進入したときについて考える。\(\mathrm {A}\)端子からの入射波による電流\(i\),接続点\(\mathrm {C}\)での反射により生じる電圧\(E_{1}\),電流\(i_{1}\),それぞれの抵抗に流れる電流\(i_{3}\),\(i_{4}\),\(Z_{2}\)側への透過波による電圧\(E_{2}\),電流\(i_{2}\)を図のようにとる。電流は入射波が接続点\(\mathrm {C}\)に向かって進行する方向及び透過波が接続点\(\mathrm {D}\)から離れる方向を正とする。

接続点\(\mathrm {C}\)の電圧,電流の関係はそれぞれ次式で表される。
\[
\begin{eqnarray}
&&E+E_{1}=\fbox {  (1)  } &・・・・・・・ ①& \\[ 5pt ] &&i+i_{1}=i_{3}=i_{2}+i_{4} &・・・・・・・ ②& \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] ①式及び②式と,\(E_{1}=-Z_{1}i_{1}\)であることを考慮すれば,\(i_{2}=\fbox {  (2)  }\times i_{3}\)となる。

ここで,接続点\(\mathrm {C}\)より\(\mathrm {B}\)側を見たインピーダンスを\(Z\)とすると,
\[
\begin{eqnarray}
E+E_{1}=Zi_{3} &・・・・・・・ ③& \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。\(i_{1}\)を\(i\),\(Z_{1}\),\(Z\)を用いて表すと,
\[
\begin{eqnarray}
i_{1}=\fbox {  (3)  } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。\(E_{2}\)は\(E\),\(Z_{1}\),\(R_{1}\),\(Z\)を用いて,
\[
\begin{eqnarray}
E_{2}=\fbox {  (4)  } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。ここで,\(\displaystyle E_{1}=\frac {1}{2}E\)となるときの抵抗\(R_{1}\)を\(Z_{1}\),\(Z_{2}\),\(R_{2}\)を用いて表すと,\(R_{1}=\fbox {  (5)  }\)となる。

\(i_{1}\),\(E_{1}\)は反射波のみとする。
電流は\(\mathrm {A→C}\),\(\mathrm {C→B}\),\(\mathrm {D→}\)接地の向きを正とする。

〔問6の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&(イ)& \frac {2\left( Z_{1}-R_{1}\right) }{Z_{1}-Z}E   &(ロ)& \frac {Z_{1}+Z}{Z-Z_{1}}E   &(ハ)& R_{1}i_{3}+E_{2} \\[ 5pt ] &(ニ)& \frac {Z_{2}}{R_{2}+Z_{2}}   &(ホ)& \frac {Z_{1}+Z}{Z_{1}-Z}E   &(ヘ)& \frac {Z_{1}-Z}{Z_{1}+Z}i \\[ 5pt ] &(ト)& \frac {R_{2}}{R_{2}+Z_{2}}    &(チ)& \frac {1}{3}Z_{1}-\frac {R_{2}Z_{2}}{R_{2}+Z_{2}}    &(リ)& \frac {2\left( Z_{1}-R_{1}\right) }{Z-Z_{1}}E \\[ 5pt ] &(ヌ)& E_{2}   &(ル)& R_{1}i_{3}   &(ヲ)& \frac {2\left( Z_{1}-R_{1}\right) }{Z_{1}+Z}E \\[ 5pt ] &(ワ)& Z_{1}-\frac {R_{2}Z_{2}}{3\left( R_{2}+Z_{2}\right) }   &(カ)& \frac {Z_{2}}{R_{1}+Z_{2}}   &(ヨ)& 3Z_{1}-\frac {R_{2}Z_{2}}{R_{2}+Z_{2}}
\end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

一種受験者であれば,連立方程式を立てることはそれほど難しくはないと思いますが,連立方程式を立ててからの計算が苦労すると思います。連立方程式が解ければ問題ないですが,なかなか解答が導けない場合は問7を選択する決断も考えた方が良いと思います。

【解答】

(1)解答:ハ
接続点\(\mathrm {D}\)の電圧が\(E_{2}\),抵抗\(R_{1}\)を流れる電流が\(i_{3}\)であるから,
\[
\begin{eqnarray}
E+E_{1}&=&R_{1}i_{3}+E_{2} ・・・・・・・ ① \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。

(2)解答:ト
\[
\begin{eqnarray}
E_{2}&=&Z_{2}i_{2}=R_{2}i_{4} \\[ 5pt ] i_{4}&=&\frac {Z_{2}}{R_{2}}i_{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから,これを②に代入すると,
\[
\begin{eqnarray}
i_{3}&=&i_{2}+i_{4} \\[ 5pt ] i_{3}&=&i_{2}+\frac {Z_{2}}{R_{2}}i_{2} \\[ 5pt ] i_{3}&=&\frac {R_{2}+Z_{2}}{R_{2}}i_{2} \\[ 5pt ] i_{2}&=&\frac {R_{2}}{R_{2}+Z_{2}}i_{3} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答:ヘ
\(E=Z_{1}i\)\(E_{1}=-Z_{1}i_{1}\)と②を③に代入すると,
\[
\begin{eqnarray}
E+E_{1}&=&Zi_{3} \\[ 5pt ] Z_{1}i-Z_{1}i_{1}&=&Z\left( i+i_{1}\right) \\[ 5pt ] Z_{1}i-Z_{1}i_{1}&=&Zi+Zi_{1} \\[ 5pt ] i_{1}&=&\frac {Z_{1}-Z}{Z_{1}+Z}i \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答:ヲ
②と(3)解答より,
\[
\begin{eqnarray}
i_{3}&=&i+i_{1} \\[ 5pt ] &=&i+\frac {Z_{1}-Z}{Z_{1}+Z}i \\[ 5pt ] &=&\frac {2Z_{1}}{Z_{1}+Z}i \\[ 5pt ] &=&\frac {2E}{Z_{1}+Z} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。これと\(E+E_{1}=Zi_{3}\)より,
\[
\begin{eqnarray}
E_{2}&=&E+E_{1}-R_{1}i_{3} \\[ 5pt ] &=&Zi_{3}-R_{1}i_{3} \\[ 5pt ] &=&\left( Z-R_{1}\right) i_{3} \\[ 5pt ] &=&\left( Z-R_{1}\right) \frac {2E}{Z_{1}+Z} \\[ 5pt ] &=&\frac {2\left( Z_{1}-R_{1}\right) }{Z_{1}+Z}E \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答:ヨ
\(\displaystyle E_{1}=\frac {1}{2}E\),(4)の解答を①に代入すると,
\[
\begin{eqnarray}
E+E_{1}&=&R_{1}i_{3}+E_{2} \\[ 5pt ] E+\frac {1}{2}E&=&R_{1}\frac {2E}{Z_{1}+Z}+\frac {2\left( Z_{1}-R_{1}\right) }{Z_{1}+Z}E \\[ 5pt ] \frac {3}{2}E&=&\frac {2Z_{1}E}{Z_{1}+Z} \\[ 5pt ] Z&=&3Z_{1} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。ここで,題意より,接続点\(\mathrm {C}\)より\(\mathrm {B}\)側を見たインピーダンスが\(Z\)であるから,
\[
\begin{eqnarray}
Z&=&R_{1}+\frac {R_{2}Z_{2}}{R_{2}+Z_{2}} \\[ 5pt ] R_{1}&=&Z-\frac {R_{2}Z_{2}}{R_{2}+Z_{2}} \\[ 5pt ] &=&3Z_{1}-\frac {R_{2}Z_{2}}{R_{2}+Z_{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。



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