《理論》〈電磁気〉[H29:問1] コイルに関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆(普通)

次の文章は,コイルに関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。

空気中の広い空間にインダクタンス\( \ L_{0} \ \)のコイルがあり,理想的な電流源に接続され,常に一定の電流\( \ I \ \)が流れている。コイルの巻線抵抗は無視できるものとする。このとき,コイルに蓄えられているエネルギーは\( \ \fbox {  (1)  } \ \)である。
次に,十分遠方にある鉄片を,図のように時刻\( \ t=0 \ \)からコイルにゆっくりと近付けることでコイルのインダクタンス\( \ L(t) \ \)を時間変化させ,\( \ t=T \ \)で鉄片の動きを止めた。ただし,鉄片の磁束の飽和やヒステリシス特性は無視できるものとする。\( \ t=0~T \ \)の間,図に示された向きでコイルの電圧\( \ v(t) \ \)と測定すれば,電磁誘導の法則から\( \ v(t)=\fbox {  (2)  } \ \)が成り立つので,インダクタンス\( \ L(t) \ \)は\( \ v(t) \ \)を用いて\( \ L(t)=\fbox {  (3)  } \ \)の式で計算できることが分かる。
\( \ L(T)=L_{1} \ \)とすると,\( \ t=0~T \ \)の間に電流源から供給されるエネルギーは\( \ \fbox {  (4)  } \ \)であり,鉄片の動きによりコイルが外部にした仕事量は\( \ \fbox {  (5)  } \ \)である。

〔問1の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&(イ)& \frac {1}{2}(L_{1}-L_{0})I^{2}   &(ロ)& \frac {v(t)T}{I}   &(ハ)& \frac {2}{3}(L_{1}-L_{0})I^{2} \\[ 5pt ] &(ニ)& L_{0}+\frac {1}{I}\int ^{t}_{0}v(\tau )d\tau   &(ホ)& \frac {L(t)I}{T}   &(ヘ)& \frac {3}{2}(L_{1}-L_{0})I^{2} \\[ 5pt ] &(ト)& \frac {1}{2}L_{0}I^{2}   &(チ)& \frac {1}{I}\int ^{t}_{0}v(\tau )d\tau   &(リ)& 0 \\[ 5pt ] &(ヌ)& 2(L_{1}-L_{0})I^{2}   &(ル)& 2L_{0}I^{2}   &(ヲ)& L_{0}I^{2} \\[ 5pt ] &(ワ)& \frac {d}{dt}[L(t)I]   &(カ)& (L_{1}-L_{0})I^{2}   &(ヨ)& \frac {d^{2}}{dt^{2}}[L(t)TI] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

コイルに蓄えられるエネルギーに関する問題で,近年あまり見たことがない問題です。ただし,内容自体はそれほど難易度が高いものではないので,落ち着いて解いていきましょう。

1.コイルに蓄えられるエネルギー\( \ W \ \)
インダクタンス\(L\)に電流\(I\)を流すことにより蓄えられるエネルギー\( \ W \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
W&=&\frac {1}{2}LI^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.コイルに発生する電圧\( \ v(t) \ \)
インダクタンス\( \ L(t) \ \)に一定電流\( \ I \ \)を流すことにより発生する電圧\( \ v(t) \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
v(t)&=&\frac {dL(t)}{dt}I \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

(1)解答:ト
最初にコイルに蓄えられているエネルギー\( \ W_{0} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
W_{0}&=&\frac {1}{2}L_{0}I^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。

(2)解答:ワ
\(t=0~T\)の間,コイルに発生する電圧は,
\[
\begin{eqnarray}
v(t)&=&\frac {dL(t)}{dt}I=\frac {d}{dt}[L(t)I] \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。

(3)解答:ニ
(2)より,\( \ \displaystyle v(t)=\frac {dL(t)}{dt}I \ \)であるから,式を変形すると,
\[
\begin{eqnarray}
dL(t)&=&\frac {1}{I}v(t)dt \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり,両辺を積分すると,
\[
\begin{eqnarray}
L(t)&=&\frac {1}{I}\int ^{t}_{0}v(\tau )d\tau +C (Cは積分定数) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。ここで,題意より\( \ L(0)=L_{0} \ \)であるから,\( \ C=L_{0} \ \)となるため,
\[
\begin{eqnarray}
L(t)&=&L_{0}+\frac {1}{I}\int ^{t}_{0}v(\tau )d\tau \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答:カ
\(t=0~T\)の間に電流源から供給されるエネルギー\( \ W \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
W&=&\int ^{T}_{0} v(t)Idt \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり,(1)より\( \ \displaystyle v(t)=\frac {dL(t)}{dt}I \ \)であり,インダクタンスは\( \ t=0 \ \)の時\( \ L_{0} \ \),\( \ t=T \ \)の時\( \ L_{1} \ \)であるから,
\[
\begin{eqnarray}
W &=& \int ^{T}_{0} v(t)Idt \\[ 5pt ] &=& \int ^{L_{1}}_{L_{0}} \frac {dL(t)}{dt}I\cdot Idt \\[ 5pt ] &=& \int ^{L_{1}}_{L_{0}} I^{2}dL(t) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり,これを計算すると,
\[
\begin{eqnarray}
W &=& \left[ L(t)\right] ^{L_{1}}_{L_{0}} I^{2} \\[ 5pt ] &=& (L_{1}-L_{0}) I^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。

(5)解答:イ
インダクタンスが\( \ t=0 \ \)の時\( \ L_{0} \ \),\( \ t=T \ \)の時\( \ L_{1} \ \)であるから,鉄片の動きによりコイルが外部にした仕事量\( \ W_{\mathrm {o}} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
W_{\mathrm {o}} &=& \frac {1}{2}L_{1}I^{2}-\frac {1}{2}L_{0}I^{2} \\[ 5pt ] &=& \frac {1}{2}(L_{1}-L_{0})I^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。



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