【問題】
【難易度】★★★★☆（やや難しい）
次の文章は，不平衡三相負荷回路に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる式，数値又は図を解答群の中から選び，その記号をマークシートに記入しなさい。
図の電圧源側，端子\( \ 1-2 \ \)間，端子\( \ 2-3 \ \)間，端子\( \ 3-1 \ \)間の線間電圧はそれぞれ\( \ {\dot E}_{12}=125∠0 \ \mathrm {[V]} \ \)，\( \ \displaystyle {\dot E}_{23}=125∠\frac {4}{3}\pi \ \mathrm {[V]} \ \)，\( \ \displaystyle {\dot E}_{31}=125∠\frac {2}{3}\pi \ \mathrm {[V]} \ \)とする。この電圧が図に示す不平衡負荷に加えられたときの各相の線電流は\( \ {\dot I}_{a}= \ \fbox { （１） } \ \mathrm {[A]} \ \)，\( \ {\dot I}_{b}= \ \fbox { （２） } \ \mathrm {[A]} \ \)，\( \ {\dot I}_{c}= \ \fbox { （３） } \ \mathrm {[A]} \ \)となる。したがって，負荷で消費される電力は\( \ \fbox { （４） } \ \mathrm {[W]} \ \)となる。また，負荷における相電圧と線電流の関係を示すベクトル（フェーザ）図は\( \ \fbox { （５） } \ \)となる。
ただし，電源の角周波数は\( \ \omega \ \mathrm {[rad/s]} \ \)とする。
〔問1の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）& 3 -j80 &（ロ）& 9.7 + j19.8 &（ハ）& 0.5 -j13.2 \\[ 5pt ]
&（ニ）& -10.2 -j6.6 &（ホ）& 1 \ 045 &（ヘ）& -10.2 +j6.6 \\[ 5pt ]
&（ト）& 1.5-j40 &（チ）& -9.7 +j19.8 &（リ）& 2 \ 818 \\[ 5pt ]
&（ヌ）& 1 \ 248 &（ル）& 10.2 +j6.6 &（ヲ）& -60.0 + j29.0 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
【ワンポイント解説】
不平衡三相回路の各相の電流と消費電力を考える問題です。
解法自体は単純な問題ですが，(1)を導出するのが大変なので，非常に点数差が拡がりやすい問題です。
試験本番ではこの問1をいきなり解くのではなく，他の問題が完了してからじっくりと解いていくことをおすすめします。
1.複素平面における複素数の表記方法
図1のような複素空間上の値\( \ \dot Z =R+\mathrm {j}X \ \)において，以下のような表記方法が定義されます。
ただし，\( \ \dot Z \ \)の絶対値\( \ \left| \dot Z\right| = \sqrt {R^{2}+X^{2}} \ \)，\( \ \dot Z \ \)と実軸となす角を\( \ \theta \ \)とします。
①直交座標表記
\[
\begin{eqnarray}
\dot Z &=&\left| \dot Z\right| \left( \cos \theta +\mathrm {j}\sin \theta \right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
②指数表記
\[
\begin{eqnarray}
\dot Z &=&\left| \dot Z\right| \mathrm {e}^{\mathrm {j}\theta } \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
ただし，
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm {e}^{\mathrm {j}\theta }&=&\cos \theta +\mathrm {j}\sin \theta \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であり，これをオイラーの公式といいます。
③極座標表記
\[
\begin{eqnarray}
\dot Z &=&\left| \dot Z\right| ∠\theta \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
【解答】
(1)解答：ハ
図2に示す二つの閉回路について，\( \ {\dot I}_{a}+{\dot I}_{b}+{\dot I}_{c}=0 \ \)に注意して回路方程式を立てると，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot E}_{12} &=& R_{1}{\dot I}_{a}-R_{2}{\dot I}_{b} && \\[ 5pt ]
125∠0 &=& 6{\dot I}_{a}-12{\dot I}_{b} && \\[ 5pt ]
6{\dot I}_{a}-12{\dot I}_{b}&=&125 &・・・・・・・・ ①& \\[ 5pt ]
{\dot E}_{31} &=& j\omega L{\dot I}_{c}-R_{1}{\dot I}_{a} && \\[ 5pt ]
125∠\frac {2}{3}\pi &=& j3{\dot I}_{c}-6{\dot I}_{a} && \\[ 5pt ]
-6{\dot I}_{a}+j3{\dot I}_{c} &=&125\left( \cos \frac {2}{3}\pi +j\sin \frac {2}{3}\pi \right) && \\[ 5pt ]
-6{\dot I}_{a}+j3\left( -{\dot I}_{a}-{\dot I}_{b}\right) &=&125\left( -\frac {1}{2} +j \frac {\sqrt {3}}{2} \right) && \\[ 5pt ]
-\left( 6+j3\right) {\dot I}_{a}-j3{\dot I}_{b} &≒&-62.5 +j 108.25 && \\[ 5pt ]
-j\left( 6+j3\right) {\dot I}_{a}+3{\dot I}_{b} &=&-108.25 -j62.5 && \\[ 5pt ]
\left( 3-j6\right) {\dot I}_{a}+3{\dot I}_{b} &=&-108.25 -j62.5 &・・・・・・・・ ②& \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，\( \ ① \ \)より，
\[
\begin{eqnarray}
12{\dot I}_{b} &=& 6{\dot I}_{a}-125 \\[ 5pt ]
{\dot I}_{b} &≒& 0.5{\dot I}_{a}-10.417 &・・・・・・・・ ①^{\prime }& \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，これを\( \ ② \ \)に代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
\left( 3-j6\right) {\dot I}_{a}+3\left( 0.5{\dot I}_{a}-10.417\right) &=&-108.25 -j62.5 \\[ 5pt ]
\left( 3-j6\right) {\dot I}_{a}+1.5{\dot I}_{a}-31.251 &=&-108.25 -j62.5 \\[ 5pt ]
\left( 4.5-j6\right) {\dot I}_{a} &≒&-76.999 -j62.5 \\[ 5pt ]
{\dot I}_{a} &=&\frac {-76.999 -j62.5}{4.5-j6} \\[ 5pt ]
&=&\frac {-76.999 -j62.5}{4.5-j6}\times \frac {4.5+j6}{4.5+j6} \\[ 5pt ]
&≒&\frac {-346.50 -j461.99-j281.25+375}{56.25} \\[ 5pt ]
&=&\frac {28.5 -j743.24}{56.25} \\[ 5pt ]
&≒&0.506 \ 67-j13.213 → 0.5 -j13.2 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(2)解答：ニ
(1)解答式を\( \ ①^{\prime } \ \)に代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot I}_{b} &=& 0.5{\dot I}_{a}-10.417 \\[ 5pt ]
&=& 0.5 \left( 0.506 \ 67-j13.213\right)-10.417 \\[ 5pt ]
&≒&-10.164-j6.606 \ 5 → -10.2 -j6.6 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(3)解答：ロ
(1)で導出した回路方程式，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot E}_{31} &=& j\omega L{\dot I}_{c}-R_{1}{\dot I}_{a} \\[ 5pt ]
125∠\frac {2}{3}\pi &=& j3{\dot I}_{c}-6{\dot I}_{a} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
に(1)解答式を代入し整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
125\left( -\frac {1}{2} +j \frac {\sqrt {3}}{2} \right) &=& j3{\dot I}_{c}-6\left( 0.506 \ 67-j13.213\right) \\[ 5pt ]
-62.5 +j 108.25 &≒& j3{\dot I}_{c}-3.0400+j79.278 \\[ 5pt ]
j3{\dot I}_{c} &≒& -59.46+j28.972 \\[ 5pt ]
{\dot I}_{c} &=& 9.657 \ 3+j19.82 → 9.7 + j19.8 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(4)解答：リ
(1)及び(2)解答より，負荷で消費される電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P &=&R_{1}\left| {\dot I}_{a}\right| ^{2}+R_{2}\left| {\dot I}_{b}\right| ^{2} \\[ 5pt ]
&=&6\times \left( 0.506 \ 67^{2}+13.213^{2}\right) +12\times \left( 10.164^{2}+6.606 \ 5^{2}\right) \\[ 5pt ]
&=&1 \ 049.0+1 \ 763.4 \\[ 5pt ]
&≒&2 \ 812 \ \mathrm {[W]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(5)解答：カ
(1)～(3)の解答より，正しいフェーザ図は（カ）と求められる。（電流ベクトルのみで判断可能）
愛知県出身 愛称たけちゃん