《理論》〈電子回路〉[H29:問4] 半導体の電気伝導に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆(普通)

次の文章は,半導体に光を照射した際に生じる電気伝導に関する記述である。文中の\(\fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$}\)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。

長さ\(L\)の真性半導体試料に,上方から光を均一に照射したところ,場所によらず均一に,単位時間,単位体積当たり\(g\)個の電子-正孔対が生成した。ここで試料の厚さは十分薄く,光吸収に伴う厚さ方向の電子-正孔対密度の変化は無視できるものとする。
いま,熱平衡状態における試料の電子密度を\(n_{0}\),正孔密度を\(p_{0}\)とし,光照射により生成した電子密度の増加分を\(\Delta n\),正孔密度の増加分を\(\Delta p\)とするとき,\(\Delta n\)と\(\Delta p\)の大きさの関係を式で表すと,\(\fbox {  (1)  }\)である。光照射により,生成した電子のうち,単位時間,単位体積当たり\(\displaystyle \frac {\Delta n}{\tau }\)個が正孔と再結合して消滅する場合を考える。この\(\tau \)は再結合までの時間の目安であり,\(\fbox {  (2)  }\)と呼ばれる。定常状態では電子-正孔対の生成と消滅の割合は釣り合うことから,\(\Delta n=\fbox {  (3)  }\)となる。
ここで図のように半導体試料の両端に電極を取り付け,電圧\(V\)を印加する。このとき,試料中には長さ方向に一様な電界\(E=\fbox {  (4)  }\)が発生し,電子と正孔は電界\(E\)からの力を受けて定常状態に達すると,\(E\)に比例したそれぞれ一定の平均速度で運動する。この比例定数を電子,正孔についてそれぞれ\(\mu _{e}\),\(\mu _{h}\)とし,正孔の電荷量を\(q\)とすると,この運動による電流密度を計算することができる。光照射時の電流密度から,光を照射していないときの電流密度を差し引いて,光生成キャリアのみによる電流密度の大きさを求めると,\(\fbox {  (5)  }\)となる。これは,太陽電池や光検出器の基本原理として広く応用されている。

〔問4の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&(イ)& \frac {q\tau gV(\mu _{h}-\mu _{e})}{L}   &(ロ)& キャリア寿命   &(ハ)& \frac {g}{\tau } \\[ 5pt ] &(ニ)& \Delta n\Delta p =n_{0}p_{0}    &(ホ)& \frac {V}{2L}   &(ヘ)& \frac {V}{L} \\[ 5pt ] &(ト)& 緩和時間   &(チ)& \Delta n\Delta p = (n_{0}+p_{0})\sqrt {n_{0}p_{0}}   &(リ)& \frac {1}{\tau g} \\[ 5pt ] &(ヌ)& \frac {2V}{L}   &(ル)& \frac {q\tau gV(\mu _{h}+\mu _{e})}{L}   &(ヲ)& 回復時間 \\[ 5pt ] &(ワ)& \Delta n =\Delta p   &(カ)& \tau g   &(ヨ)& \frac {q\tau gV(\mu _{h}-\mu _{e})}{2L}
\end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

問題自体はそれほど難解ではないのですが,あまり一種では出題されて来なかった分野なので,苦戦を強いられた受験生も多かったと思います。ただし,二種では過去に類題が出題されていたことがありますので,二種の過去問もカバーしていれば解ける問題かと思います。

1.電気伝導に関する公式
電界\(E\)が加わっている電界中に正孔と電子があるとすると,正孔は電界と同方向に,電子は電界と反対方向に動きます。その時の正孔と電子の速度を\(v_{h}\),\(v_{e}\),正孔と電子の移動度を\(\mu _{h}\),\(\mu_{e}\)とすると,
\[
v_{h}=\mu _{h}E
\] \[
v_{e}=\mu _{e}E
\] となります。ここで,正孔の電荷量が\(q\),電子の電荷量が\(-q\)で,正孔と電子の密度が\(p\),\(n\)であるとすると,正孔と電子の電流密度\(J_{h}\),\(J_{e}\)は,
\[
J_{h}=qpv_{h}=qp\mu _{h}E
\] \[
J_{e}=-qnv_{e}=-qn\mu _{e}E
\] となります。

【解答】

(1)解答:ワ
熱平衡状態における電子密度と正孔密度の増加分は等しいので,
\[
\Delta n =\Delta p
\] となる。

(2)解答:ロ
\(\tau \)は再結合までの時間の目安で,キャリア寿命を言います。

(3)解答:カ
定常状態において,電子-正孔対の生成量\(g\)と消滅量\(\displaystyle \frac {\Delta n}{\tau}\)は等しいので,
\[
g=\frac {\Delta n}{\tau}
\] となるから,
\[
\Delta n =\tau g
\] と求められる。

(4)解答:ヘ
長さ\(L\)の試料にて電圧\(V\)を印加した時の電界は,
\[
E=\frac {V}{L}
\] となる。

(5)解答:ル
正孔と電子の光生成キャリアのみによる電流密度の大きさを\(\Delta J_{h}\),\(\Delta J_{e}\)とすると,ワンポイント解説「1.電気伝導に関する公式」より,
\[
\begin{eqnarray}
\Delta J_{h} &=& q\Delta p v_{h} \\[ 5pt ] &=& q\Delta n\mu _{h}E \\[ 5pt ] &=& q\tau g\mu _{h}\frac {V}{L}
\end{eqnarray}
\] \[
\begin{eqnarray}
\Delta J_{e} &=& -q\Delta n v_{e} \\[ 5pt ] &=& -q\tau g\mu _{e}\frac {V}{L}
\end{eqnarray}
\] となる。よって,電流密度の大きさ\(\Delta J\)は,
\[
\begin{eqnarray}
\Delta J &=& \Delta J_{h}-\Delta J_{e} \\[ 5pt ] &=& q\tau g\mu _{h}\frac {V}{L}+q\tau g\mu _{e}\frac {V}{L} \\[ 5pt ] &=& \frac {q\tau gV(\mu _{h}+\mu _{e})}{L}
\end{eqnarray} 
\] と求められる。



記事下のシェアタイトル