《理論》〈電気回路〉[R04:問5]電源を二つ含むRC回路の過渡現象に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★☆(やや難しい)

次の文章は,\( \ \mathrm {RC} \ \)回路の過渡現象に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。

図のように,一次側と二次側に直流電圧源\( \ E \ \)が接続された抵抗\( \ R \ \)と静電容量\( \ C \ \),スイッチからなる回路を考える。時刻\( \ t<0 \ \)ではスイッチは開いており,回路は定常状態にあるものとする。時刻\( \ t=0 \ \)でスイッチを閉じた。

節点\( \ \mathrm {a} \ \)と節点\( \ \mathrm {b} \ \)において,キルヒホッフの電流則を適用すると,\( \ t≧0 \ \)で静電容量\( \ C \ \)を流れる電流\( \ i \left( t\right) \ \)と三つの抵抗\( \ R \ \)をそれぞれ流れる電流\( \ i_{1} \left( t\right) \ \),\( \ i_{2} \left( t\right) \ \),\( \ i_{3} \left( t\right) \ \)との関係は,
\[
\begin{eqnarray}
i \left( t\right) &=&i_{1} \left( t\right) + \ \fbox {  (1)  } \ ·····················  ① \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。①式の左辺に静電容量\( \ C \ \)の電圧\( \ v \left( t\right) \ \)と電流\( \ i \left( t\right) \ \)の関係式\( \ \displaystyle i \left( t\right) =C\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}v \left( t\right) \ \)を代入し,右辺を\( \ v \left( t\right) \ \)と\( \ E \ \)の式に書き直すと,
\[
\begin{eqnarray}
C\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}v \left( t\right) &=& \ \fbox {  (2)  } \ ························  ② \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] を得る。回路の初期条件から\( \ v \left( t\right) \ \)の初期値\( \ v \left( 0\right) \ \)を決定すると,②式の解は,
\[
\begin{eqnarray}
v \left( t\right) &=& \ \fbox {  (3)  } \ ····························  ③ \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。

このとき,節点\( \ \mathrm {a} \ \)と節点\( \ \mathrm {b} \ \)の電位に注意すると,直流電圧源\( \ E \ \)から流れる電流\( \ i_{1} \left( t\right) \ \)と\( \ i_{2} \left( t\right) \ \)は,\( \ t=0 \ \)では\( \ \fbox {  (4)  } \ \)であり,①式より静電容量\( \ C \ \)の電流\( \ i \left( t\right) \ \)は,\( \ t=0 \ \)では\( \ i \left( 0\right) =\fbox {  (5)  } \ \)となることが分かる。

〔問5の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&(イ)& i_{1}\left( 0\right) =i_{2}\left( 0\right) =0     &(ロ)& -\frac {3}{R}v \left( t\right) +\frac {3E}{R}     &(ハ)& E\mathrm {e}^{-\frac {3}{CR}t}+\frac {2E}{3}\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {3}{CR}t}\right) \\[ 5pt ] &(ニ)& i_{1}\left( 0\right) =i_{2}\left( 0\right) =\frac {E}{3R}     &(ホ)& -\frac {E}{R}     &(ヘ)& \frac {E}{3}\mathrm {e}^{-\frac {3}{CR}t}+E\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {3}{CR}t}\right) \\[ 5pt ] &(ト)& i_{3}\left( t\right) -i_{2}\left( t\right)     &(チ)& i_{2}\left( t\right) +i_{3}\left( t\right)     &(リ)& \frac {E}{2}\mathrm {e}^{-\frac {3}{CR}t}+\frac {E}{3}\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {3}{CR}t}\right) \\[ 5pt ] &(ヌ)& \frac {E}{3R}     &(ル)& -\frac {3}{R}v \left( t\right) +\frac {E}{R}     &(ヲ)& -\frac {3}{R}v \left( t\right) +\frac {2E}{R} \\[ 5pt ] &(ワ)& \frac {2E}{3R}     &(カ)& i_{2}\left( t\right) -i_{3}\left( t\right)     &(ヨ)& i_{1}\left( 0\right) =0 \ かつ \ i_{2}\left( 0\right) =\frac {E}{2R} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

\( \ \mathrm {RC} \ \)回路の過渡現象に関する問題です。
(3)の計算量が少し多く語群から正答が見つけにくいのと(4)の内容がスイッチを閉じる前か後かが分かりにくいので,少し受験生を悩ませたかなという問題です。
解法自体はそれほど難しくありませんので,内容はきちんと理解するようにして下さい。

1.過渡現象における\( \ RLC \ \)それぞれの電圧
線路に流れる電流を\( \ i \ \)とし,抵抗\( \ R \ \)の電圧\( \ V_{\mathrm{R}} \ \),リアクトル\( \ L \ \)の電圧\( \ V_{\mathrm{L}} \ \),コンデンサ\( \ C \ \)の電圧\( \ V_{\mathrm{C}} \ \)とすると,
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm{R}} &=& Ri \\[ 5pt ] V_{\mathrm{L}} &=& L\frac {\mathrm {d}i}{\mathrm {d}t} \\[ 5pt ] V_{\mathrm{C}} &=& \frac {1}{C}\int i \mathrm {d}t =\frac {q}{C}\\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.過渡現象における定常解と過渡解
ⅰ.定常解を\( \ i_{\mathrm {s}} \ \),過渡解を\( \ i_{\mathrm {t}} \ \)とすると,電流値\( \ i \ \)は\( \ i=i_{\mathrm {s}}+i_{\mathrm {t}} \ \)となります。
ⅱ.定常解は電流の時間変化のない状態すなわち\( \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}i_{\mathrm {s}}}{\mathrm {d}t}=0 \ \)とした時の解です。
ⅲ.過渡解はスイッチを入れた直後の解です。

3.自然対数の微分積分
①自然対数の微分
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}x} \left ( \ln {x} \right) &=&\frac {1}{x} \\[ 5pt ] 
\end{eqnarray}
\] ②自然対数の積分
\[
\begin{eqnarray}
\int \frac {1}{x} \mathrm {d}x&=&\ln {x} + C \left( Cは積分定数\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] \[
\begin{eqnarray}
\ln {x} &=&-\alpha t +C \left( Cは積分定数\right)の時, x=A\mathrm {e}^{-\alpha t} \left( A=\mathrm {e}^{C}\right)となります。 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【解答】

(1)解答:カ
キルヒホッフの電流則より,
\[
\begin{eqnarray}
i_{1}\left( t \right) &=&i\left( t \right) +i_{\mathrm {ab}}\left( t \right)  &⇔& i_{\mathrm {ab}}\left( t \right) &=&i_{1}\left( t \right)-i\left( t \right) \\[ 5pt ] i_{3}\left( t \right) &=&i_{2}\left( t \right) +i_{\mathrm {ab}}\left( t \right)  &⇔& i_{\mathrm {ab}}\left( t \right) &=&i_{3}\left( t \right)-i_{2}\left( t \right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから\( \ i_{\mathrm {ab}}\left( t \right) \ \)を消去すると,
\[
\begin{eqnarray}
i_{1}\left( t \right)-i\left( t \right) &=&i_{3}\left( t \right)-i_{2}\left( t \right) \\[ 5pt ] i\left( t \right) &=&i_{1}\left( t \right)+i_{2}\left( t \right)-i_{3}\left( t \right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)解答:ヲ
図1の閉回路1についてキルヒホッフの法則を適用すると,
\[
\begin{eqnarray}
E &=&Ri_{1}\left( t \right) +v\left( t \right) \\[ 5pt ] i_{1}\left( t \right) &=&\frac {E-v\left( t \right)}{R} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり,同様に閉回路2及び閉回路3についてもキルヒホッフの法則を適用すると,
\[
\begin{eqnarray}
v\left( t \right) &=&Ri_{3}\left( t \right) \\[ 5pt ] i_{3}\left( t \right) &=&\frac {v\left( t \right)}{R} \\[ 5pt ] E &=&Ri_{2}\left( t \right) +Ri_{3}\left( t \right) \\[ 5pt ] &=&Ri_{2}\left( t \right) +v\left( t \right) \\[ 5pt ] i_{2}\left( t \right) &=&\frac {E-v\left( t \right) }{R} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので,\( \ \displaystyle i \left( t\right) =C\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}v \left( t\right) \ \)とともに①式に代入すると,
\[
\begin{eqnarray}
i\left( t \right) &=&i_{1}\left( t \right)+i_{2}\left( t \right)-i_{3}\left( t \right) \\[ 5pt ] C\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}v \left( t\right) &=&\frac {E-v\left( t \right)}{R}+\frac {E-v\left( t \right)}{R}-\frac {v\left( t \right)}{R} \\[ 5pt ] &=&-\frac {3}{R}v \left( t\right) +\frac {2E}{R} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答:ハ
(2)解答式\( \ \displaystyle C\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}v \left( t\right) =-\frac {3}{R}v \left( t\right) +\frac {2E}{R} \ \)について,定常解を\( \ v_{\mathrm {s}}\left( t\right) \ \)とすると,ワンポイント解説「2.過渡現象における定常解と過渡解」の通り\( \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}v \left( t\right) = 0 \ \)とすればよいので,
\[
\begin{eqnarray}
0 &=&-\frac {3}{R}v_{\mathrm {s}}\left( t\right) +\frac {2E}{R} \\[ 5pt ] \frac {3}{R}v_{\mathrm {s}}\left( t\right) &=&\frac {2E}{R} \\[ 5pt ] v_{\mathrm {s}}\left( t\right) &=&\frac {2E}{3} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり,過渡解を\( \ v_{\mathrm {t}}\left( t\right) \ \)とすると,ワンポイント解説「2.過渡現象における定常解と過渡解」の通り\( \ E= 0 \ \)とすればよいので,
\[
\begin{eqnarray}
C\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}v_{\mathrm {t}} \left( t\right) &=&-\frac {3}{R}v_{\mathrm {t}} \left( t\right) \\[ 5pt ] \frac {\mathrm {d}v_{\mathrm {t}} \left( t\right) }{v_{\mathrm {t}} \left( t\right) }&=&-\frac {3}{CR}\mathrm {d}t \\[ 5pt ] \int \frac {\mathrm {d}v_{\mathrm {t}} \left( t\right) }{v_{\mathrm {t}} \left( t\right) }&=&\int -\frac {3}{CR}\mathrm {d}t \\[ 5pt ] \ln v_{\mathrm {t}} \left( t\right) &=&-\frac {3}{CR}t+C \left( Cは積分定数\right) \\[ 5pt ] v_{\mathrm {t}} \left( t\right) &=&A\mathrm {e}^{-\frac {3}{CR}t} \left( A=\mathrm {e}^{C}\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。よって,一般解\( \ v\left( t\right) \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
v\left( t\right) &=&v_{\mathrm {s}}\left( t\right) +v_{\mathrm {t}} \left( t\right) \\[ 5pt ] &=&\frac {2E}{3}+A\mathrm {e}^{-\frac {3}{CR}t} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められ,初期条件は\( \ t=0 \ \)におけるコンデンサ電圧であるから\( \ v\left( 0 \right) =E \ \)となり,
\[
\begin{eqnarray}
v\left( 0\right) &=&\frac {2E}{3}+A\mathrm {e}^{-\frac {3}{CR}\times 0} \\[ 5pt ] E &=&\frac {2E}{3}+A \\[ 5pt ] A &=&\frac {E}{3} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので,
\[
\begin{eqnarray}
v\left( t\right)&=&\frac {2E}{3}+\frac {E}{3}\mathrm {e}^{-\frac {3}{CR}t} \\[ 5pt ] &=&\frac {2E}{3}+E\mathrm {e}^{-\frac {3}{CR}t}-\frac {2E}{3}\mathrm {e}^{-\frac {3}{CR}t} \\[ 5pt ] &=&E\mathrm {e}^{-\frac {3}{CR}t}+\frac {2E}{3}\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {3}{CR}t}\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答:イ
スイッチを閉じた直後の電流\( \ i_{1} \left( 0\right) \ \)と\( \ i_{2} \left( 0\right) \ \)は,節点\( \ \mathrm {a} \ \)と節点\( \ \mathrm {b} \ \)の電位が共に\( \ E \ \)となるので,
\[
\begin{eqnarray}
i_{1} \left( 0\right) =i_{2} \left( 0\right) =0 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答:ホ
スイッチを閉じた直後の節点\( \ \mathrm {b} \ \)の電位が\( \ E \ \)であることから,
\[
\begin{eqnarray}
i_{3}\left( 0 \right) &=&\frac {E}{R} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり,これと(4)解答式を①式に代入すると,
\[
\begin{eqnarray}
i\left( 0 \right) &=&i_{1}\left( 0 \right)+i_{2}\left( 0 \right)-i_{3}\left( 0 \right) \\[ 5pt ] &=&0+0-\frac {E}{R} \\[ 5pt ] &=&-\frac {E}{R} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。



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