《理論》〈電気回路〉[R01:問5]不平衡三相負荷に関する計算問題

1 【問題】
2 【ワンポイント解説】
3 【解答】

【問題】

【難易度】★★★★★（難しい）

次の文章は，三相交流回路に関する記述である。文中の$ \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ $に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。

図のように，実効値が$ \ 100 \ \mathrm {V} \ $である対称三相交流電圧が$ \ \Delta \ $形不平衡負荷と$ \ \mathrm {Y} \ $形平衡負荷からなる回路に印加されている。図の各線間電圧は$ \ {\dot E}_{\mathrm {ab}}=100∠0° \ \mathrm {[V]} \ $を基準に，$ \ {\dot E}_{\mathrm {bc}}=a^{2}{\dot E}_{\mathrm {ab}} \ $，$ \ {\dot E}_{\mathrm {ca}}=a{\dot E}_{\mathrm {ab}} \ $とする。ただし，$ \ a \ $は複素数で$ \ a=\mathrm {e}^{\mathrm {j}\frac {2\pi }{3}} \ $である。

スイッチ$ \ \mathrm {S} \ $を開き，$ \ \mathrm {Y} \ $形平衡負荷が接続されていない状態で$ \ \Delta \ $形不平衡負荷の無効電力の大きさ$ \ Q \ $を求めると，$ \ Q \ = \ \fbox {　（１）　} \ \mathrm {kvar} \ $となる。

次に，スイッチ$ \ \mathrm {S} \ $を閉じ，$ \ \Delta \ $形不平衡負荷に$ \ \mathrm {Y} \ $形平衡負荷が接続された場合の線電流を求める。$ \ \mathrm {Y} \ $形平衡負荷を$ \ \Delta \ $形に変換して解くと，$ \ {\dot I}_{\mathrm {a}}= \ \fbox {　（２）　} \ \mathrm {A} \ $，$ \ {\dot I}_{\mathrm {b}}= \ \fbox {　（３）　} \ \mathrm {A} \ $，$ \ {\dot I}_{\mathrm {c}}= \ \fbox {　（４）　} \ \mathrm {A} \ $となる。また，回路全体で消費される有効電力$ \ P \ $は，$ \ P= \ \fbox {　（５）　} \ \mathrm {kW} \ $となる。

〔問5の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　1.4　　　　　&（ロ）&　4.1-\mathrm {j}19.4　　　　　&（ハ）&　39.4+\mathrm {j}10.6 \\[ 5pt ] &（ニ）&　3.7　　　　　&（ホ）&　-26.9+\mathrm {j}58.9　　　　　&（ヘ）&　3.3 \\[ 5pt ] &（ト）&　68.3+\mathrm {j}60.6　　　　　&（チ）&　-2.3-\mathrm {j}58.3　　　　　&（リ）&　2.5 \\[ 5pt ] &（ヌ）&　-58.9+\mathrm {j}26.9　　　　　&（ル）&　0.7　　　　　&（ヲ）&　19.4-\mathrm {j}37.5 \\[ 5pt ] &（ワ）&　-66.0-\mathrm {j}2.3　　　　　&（カ）&　22.8-\mathrm {j}39.3　　　　　&（ヨ）&　6.6 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

電験1種では$ \ \mathrm {B} \ $問題の定番となっている三相不平衡負荷に関する問題です。今回の問題のうち，(2)～(4)は複雑な複素計算が必要となり，難易度はかなり高いと言えると思います。

1.不平衡負荷の$ \ \mathrm {\Delta – Y} \ $変換と$ \ \mathrm {Y – \Delta} \ $変換
毎年のように試験で出題されます。一種レベルの受験者であれば，スラスラと思い出せるぐらいにしておきたいところです。
a.$ \ \mathrm {\Delta – Y} \ $変換
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {a}} &=& \frac {{\dot Z}_{\mathrm {ab}}{\dot Z}_{\mathrm {ca}}}{{\dot Z}_{\mathrm {ab}}+{\dot Z}_{\mathrm {bc}}+{\dot Z}_{\mathrm {ca}}} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {b}} &=& \frac {{\dot Z}_{\mathrm {bc}}{\dot Z}_{\mathrm {ab}}}{{\dot Z}_{\mathrm {ab}}+{\dot Z}_{\mathrm {bc}}+{\dot Z}_{\mathrm {ca}}} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {c}} &=& \frac {{\dot Z}_{\mathrm {ca}}{\dot Z}_{\mathrm {bc}}}{{\dot Z}_{\mathrm {ab}}+{\dot Z}_{\mathrm {bc}}+{\dot Z}_{\mathrm {ca}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] b.$ \ \mathrm {Y – \Delta} \ $変換
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {ab}} &=& \frac {{\dot Z}_{\mathrm {a}}{\dot Z}_{\mathrm {b}}+{\dot Z}_{\mathrm {b}}{\dot Z}_{\mathrm {c}}+{\dot Z}_{\mathrm {c}}{\dot Z}_{\mathrm {a}}}{{\dot Z}_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {bc}} &=& \frac {{\dot Z}_{\mathrm {a}}{\dot Z}_{\mathrm {b}}+{\dot Z}_{\mathrm {b}}{\dot Z}_{\mathrm {c}}+{\dot Z}_{\mathrm {c}}{\dot Z}_{\mathrm {a}}}{{\dot Z}_{\mathrm {a}}} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {ca}} &=& \frac {{\dot Z}_{\mathrm {a}}{\dot Z}_{\mathrm {b}}+{\dot Z}_{\mathrm {b}}{\dot Z}_{\mathrm {c}}+{\dot Z}_{\mathrm {c}}{\dot Z}_{\mathrm {a}}}{{\dot Z}_{\mathrm {b}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

2.ベクトルオペレータ$ \ a \ $
題意で与えられているベクトルオペレータ$ \ a=\mathrm {e}^{\mathrm {j}\frac {2\pi}{3}} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
a &=& \cos \frac {2\pi}{3}+\mathrm {j}\sin \frac {2\pi}{3} \\[ 5pt ] &=& -\frac {1}{2}+\mathrm {j}\frac {\sqrt {3}}{2} \\[ 5pt ] a^{2} &=& \cos \frac {4\pi}{3}+\mathrm {j}\sin \frac {4\pi}{3} \\[ 5pt ] &=& -\frac {1}{2}-\mathrm {j}\frac {\sqrt {3}}{2} \\[ 5pt ] a^{3} &=& \cos \frac {6\pi}{3}+\mathrm {j}\sin \frac {6\pi}{3} \\[ 5pt ] &=& 1 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

(1)解答：リ
スイッチ$ \ \mathrm {S} \ $を繋いでいない状態では，無効電力の大きさはコンデンサの電力になるので，コンデンサにかかる電圧は，$ \ {\dot E}_{\mathrm {bc}} \ $であるから，
\[
\begin{eqnarray}
Q &=& \frac {\left| {\dot E}_{\mathrm {bc}}\right| ^{2}}{4} \\[ 5pt ] &=& \frac {100^{2}}{4} \\[ 5pt ] &=& 2500 \ \mathrm {[var]}　→　2.5 \ \mathrm {[kvar]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)解答：ハ
ワンポイント解説「1.不平衡負荷の$ \ \mathrm {\Delta – Y} \ $変換と$ \ \mathrm {Y – \Delta} \ $変換」の通り，コンデンサを$ \ \mathrm {Y – \Delta} \ $変換すると，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {\Delta }} &=& \frac {{\dot Z}_{\mathrm {Y}}\cdot {\dot Z}_{\mathrm {Y}}+{\dot Z}_{\mathrm {Y}}\cdot {\dot Z}_{\mathrm {Y}}+{\dot Z}_{\mathrm {Y}}\cdot {\dot Z}_{\mathrm {Y}}}{{\dot Z}_{\mathrm {Y}}} \\[ 5pt ] &=& 3{\dot Z}_{\mathrm {Y}} \\[ 5pt ] &=& 3\times \left( -\mathrm {j}2\right) \\[ 5pt ] &=& -\mathrm {j}6 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，三相のそれぞれの合成アドミタンス$ \ {\dot Y}_{\mathrm {ab}} \ $，$ \ {\dot Y}_{\mathrm {bc}} \ $，$ \ {\dot Y}_{\mathrm {ca}} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Y}_{\mathrm {ab}} &=& \frac {1}{6}-\frac {1}{\mathrm {j}6} \\[ 5pt ] &=& \frac {1}{6}+\mathrm {j}\frac {1}{6} \\[ 5pt ] {\dot Y}_{\mathrm {bc}} &=& -\frac {1}{\mathrm {j}4}-\frac {1}{\mathrm {j}6} \\[ 5pt ] &=& \mathrm {j}\frac {5}{12} \\[ 5pt ] {\dot Y}_{\mathrm {ca}} &=& \frac {1}{6}-\frac {1}{\mathrm {j}6} \\[ 5pt ] &=& \frac {1}{6}+\mathrm {j}\frac {1}{6} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。よって，線電流$ \ {\dot I}_{\mathrm {a}} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot I}_{\mathrm {a}} &=& {\dot Y}_{\mathrm {ab}}{\dot E}_{\mathrm {ab}}-{\dot Y}_{\mathrm {ca}}{\dot E}_{\mathrm {ca}} \\[ 5pt ] &=& \left( \frac {1}{6}+\mathrm {j}\frac {1}{6}\right) \times 100 -\left( \frac {1}{6}+\mathrm {j}\frac {1}{6}\right) \times 100 \times \left( -\frac {1}{2}+\mathrm {j}\frac {\sqrt {3}}{2}\right) \\[ 5pt ] &=& \left( \frac {1}{6}+\mathrm {j}\frac {1}{6}\right) \times 100 \times \left( \frac {3}{2}-\mathrm {j}\frac {\sqrt {3}}{2}\right) \\[ 5pt ] &=& 100 \times \left\{ \left( \frac {1}{4}+\frac {\sqrt {3}}{12}\right) + \mathrm {j} \left( \frac {1}{4}-\frac {\sqrt {3}}{12}\right) \right\} \\[ 5pt ] &≒& 39.4+\mathrm {j}10.6 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答：ヲ
同様に線電流$ \ {\dot I}_{\mathrm {b}} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot I}_{\mathrm {b}} &=& {\dot Y}_{\mathrm {bc}}{\dot E}_{\mathrm {bc}}-{\dot Y}_{\mathrm {ab}}{\dot E}_{\mathrm {ab}} \\[ 5pt ] &=& \mathrm {j}\frac {5}{12} \times 100\times \left( -\frac {1}{2}-\mathrm {j}\frac {\sqrt {3}}{2}\right) -\left( \frac {1}{6}+\mathrm {j}\frac {1}{6}\right) \times 100 \\[ 5pt ] &=& 100\times \left\{ \left( \frac {5\sqrt {3}}{24}-\mathrm {j}\frac {5}{24}\right) -\left( \frac {1}{6}+\mathrm {j}\frac {1}{6}\right) \right\} \\[ 5pt ] &=& 100 \times \left\{ \left( \frac {5\sqrt {3}-4}{24}\right) – \mathrm {j} \frac {3}{8} \right\} \\[ 5pt ] &≒& 19.4-\mathrm {j}37.5 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答：ヌ
同様に線電流$ \ {\dot I}_{\mathrm {c}} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot I}_{\mathrm {c}} &=& {\dot Y}_{\mathrm {ca}}{\dot E}_{\mathrm {ca}}-{\dot Y}_{\mathrm {bc}}{\dot E}_{\mathrm {bc}} \\[ 5pt ] &=& \left( \frac {1}{6}+\mathrm {j}\frac {1}{6}\right) \times 100 \times \left( -\frac {1}{2}+\mathrm {j}\frac {\sqrt {3}}{2}\right) -\mathrm {j}\frac {5}{12} \times 100\times \left( -\frac {1}{2}-\mathrm {j}\frac {\sqrt {3}}{2}\right) \\[ 5pt ] &=& 100\times \left\{ \left( -\frac {1}{12}-\frac {\sqrt {3}}{12}\right) +\mathrm {j}\left( \frac {\sqrt {3}}{12}-\frac {1}{12}\right) +\left( -\frac {5\sqrt {3}}{24}+\mathrm {j}\frac {5}{24}\right) \right\} \\[ 5pt ] &=& 100\times \left\{ \left( -\frac {1}{12}-\frac {7\sqrt {3}}{24}\right) +\mathrm {j}\left( \frac {\sqrt {3}}{12}+\frac {1}{8}\right) \right\} \\[ 5pt ] &≒& -58.9+\mathrm {j}26.9 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答：ヘ
回路全体で消費される電力は抵抗で消費される電力であるから，
\[
\begin{eqnarray}
P &=& \frac {\left| {\dot E}_{\mathrm {ab}}\right| ^{2}}{6}+ \frac {\left| {\dot E}_{\mathrm {ca}}\right| ^{2}}{6} \\[ 5pt ] &=& \frac {100^{2}}{6}+ \frac {100^{2}}{6} \\[ 5pt ] &≒& 3333 \ \mathrm {[W]}　→　3.3 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。