《理論》〈電気回路〉[H28:問3] 直流回路の合成抵抗に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆(普通)

次の文章は,直流回路の合成抵抗に関する記述である。文中の\(\fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$}\)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。

図1に示す回路の合成抵抗を求めたい。まず,節点\(\mathrm {a-b-c}\)からなる\(\mathrm {\Delta }\)接続部分に「\(\mathrm {\Delta – Y}\)変換」を施すと,図1の\(\mathrm {a-d}\)間の抵抗は図2のように表すことができる。
図2の\(R_{\mathrm {a}}\),\(R_{\mathrm {b}}\),\(R_{\mathrm {c}}\)は,\(R_{\mathrm {x}}\)を用いて\(R_{\mathrm {a}}=\fbox {  (1)  } \ [\Omega ]\),\(R_{\mathrm {b}}=\fbox {  (2)  } \ [\Omega ]\),\(R_{\mathrm {c}}=\fbox {  (3)  } \ [\Omega ]\)となる。
したがって,回路全体の合成抵抗\(R_{\mathrm {ad}}\)は,\(R_{\mathrm {ad}}=\fbox {  (4)  } \ [\Omega ]\)と表され,\(R_{\mathrm {x}}=\fbox {  (5)  } \ [\Omega ]\)において最大となる。

〔問3の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&(イ)& \frac {R_{\mathrm {x}}+6}{2}   &(ロ)& \frac {R_{\mathrm {x}}+2}{2}     &(ハ)& \frac {-R_{\mathrm {x}}^{2}+2R_{\mathrm {x}}}{4}  \\[ 5pt ] &(ニ)& \frac {-R_{\mathrm {x}}+2}{2}   &(ホ)& 0.5   &(ヘ)& 1.2 \\[ 5pt ] &(ト)& \frac {-R_{\mathrm {x}}+3}{4}   &(チ)& \frac {R_{\mathrm {x}}^{2}}{2}   &(リ)& 2 \\[ 5pt ] &(ヌ)& \frac {-5R_{\mathrm {x}}^{2}+12R_{\mathrm {x}}+12}{16}   &(ル)& \frac {R_{\mathrm {x}}+2}{4}   &(ヲ)& \frac {R_{\mathrm {x}}^{2}}{R_{\mathrm {x}}+1} \\[ 5pt ] &(ワ)& \frac {-R_{\mathrm {x}}+6}{2}   &(カ)& \frac {11R_{\mathrm {x}}^{2}+44R_{\mathrm {x}}+12}{4}   &(ヨ)& \frac {11R_{\mathrm {x}}^{2}+12R_{\mathrm {x}}+12}{4}
\end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

不平衡回路の\(\mathrm {\Delta – Y}\)変換は電験一種では毎年のように出題されます。なかなか覚えにくい公式ですが,電験一種試験前には確実にマスターしておいて下さい。本問の場合は\(\mathrm {\Delta – Y}\)変換を知っているかどうかで10点の差がついてしまいます。

1.不平衡負荷の\(\mathrm {\Delta – Y}\)変換と\(\mathrm {Y – \Delta}\)変換
a.\(\mathrm {\Delta – Y}\)変換
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {a}} &=& \frac {{\dot Z}_{\mathrm {ab}}{\dot Z}_{\mathrm {ca}}}{{\dot Z}_{\mathrm {ab}}+{\dot Z}_{\mathrm {bc}}+{\dot Z}_{\mathrm {ca}}} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {b}} &=& \frac {{\dot Z}_{\mathrm {bc}}{\dot Z}_{\mathrm {ab}}}{{\dot Z}_{\mathrm {ab}}+{\dot Z}_{\mathrm {bc}}+{\dot Z}_{\mathrm {ca}}} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {c}} &=& \frac {{\dot Z}_{\mathrm {ca}}{\dot Z}_{\mathrm {bc}}}{{\dot Z}_{\mathrm {ab}}+{\dot Z}_{\mathrm {bc}}+{\dot Z}_{\mathrm {ca}}}
\end{eqnarray}
\] b.\(\mathrm {Y – \Delta}\)変換
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {ab}} &=& \frac {{\dot Z}_{\mathrm {a}}{\dot Z}_{\mathrm {b}}+{\dot Z}_{\mathrm {b}}{\dot Z}_{\mathrm {c}}+{\dot Z}_{\mathrm {c}}{\dot Z}_{\mathrm {a}}}{{\dot Z}_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {bc}} &=& \frac {{\dot Z}_{\mathrm {a}}{\dot Z}_{\mathrm {b}}+{\dot Z}_{\mathrm {b}}{\dot Z}_{\mathrm {c}}+{\dot Z}_{\mathrm {c}}{\dot Z}_{\mathrm {a}}}{{\dot Z}_{\mathrm {a}}} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {ca}} &=& \frac {{\dot Z}_{\mathrm {a}}{\dot Z}_{\mathrm {b}}+{\dot Z}_{\mathrm {b}}{\dot Z}_{\mathrm {c}}+{\dot Z}_{\mathrm {c}}{\dot Z}_{\mathrm {a}}}{{\dot Z}_{\mathrm {b}}}
\end{eqnarray}
\]

【関連する「電気の神髄」記事】

  Y⇔Δ回路のインピーダンス変換式

【解答】

(1)解答:ハ
ワンポイント解説「1.不平衡負荷の\(\Delta \)-Y変換とY-\(\Delta \)変換」より,回路\(\mathrm {a-b-c}\)に「\(\mathrm {\Delta – Y}\)変換」をすると,
\[
\begin{eqnarray}
{R}_{a} &=& \frac {{R}_{\mathrm {x}}\left( 2-R_{\mathrm {x}}\right) }{{R}_{\mathrm {x}}+2+\left( 2-R_{\mathrm {x}}\right) } \\[ 5pt ] &=& \frac {-R_{\mathrm {x}}^{2}+2R_{\mathrm {x}}}{4}
\end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)解答:ワ
\(R_{\mathrm {b}}\)は,(1)と同様に「\(\mathrm {\Delta – Y}\)変換」をして,抵抗\(3-R_{\mathrm {x}}\)を合成したものであるから,
\[
\begin{eqnarray}
{R}_{b} &=& \frac {{R}_{\mathrm {x}}\cdot 2 }{{R}_{\mathrm {x}}+2+\left( 2-R_{\mathrm {x}}\right) }+3-R_{\mathrm {x}} \\[ 5pt ] &=& \frac {R_{\mathrm {x}}}{2}+3-R_{\mathrm {x}} \\[ 5pt ] &=& \frac {-R_{\mathrm {x}}+6}{2}
\end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答:ロ
\(R_{\mathrm {c}}\)は,(1),(2)と同様に「\(\mathrm {\Delta – Y}\)変換」をして,抵抗\(R_{\mathrm {x}}\)を合成したものであるから,
\[
\begin{eqnarray}
{R}_{c} &=& \frac {2\left( 2-R_{\mathrm {x}}\right) }{{R}_{\mathrm {x}}+2+\left( 2-R_{\mathrm {x}}\right) }+R_{\mathrm {x}} \\[ 5pt ] &=& \frac {-R_{\mathrm {x}}+2}{2}+R_{\mathrm {x}} \\[ 5pt ] &=& \frac {R_{\mathrm {x}}+2}{2}
\end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答:ヌ
図2より,回路全体の合成抵抗\(R_{\mathrm {ad}}\)は,
\[
R_{\mathrm {ad}}=R_{\mathrm {a}}+\frac {R_{\mathrm {b}}R_{\mathrm {c}}}{R_{\mathrm {b}}+R_{\mathrm {c}}}
\] であるから,(1)~(3)より\(R_{\mathrm {a}}\),\(R_{\mathrm {b}}\),\(R_{\mathrm {c}}\)にそれぞれ解答式を代入すると,
\[
\begin{eqnarray}
R_{\mathrm {ad}} &=& R_{\mathrm {a}}+\frac {R_{\mathrm {b}}R_{\mathrm {c}}}{R_{\mathrm {b}}+R_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ] &=& \frac {-R_{\mathrm {x}}^{2}+2R_{\mathrm {x}}}{4}+\frac {\frac {-R_{\mathrm {x}}+6}{2}\cdot \frac {R_{\mathrm {x}}+2}{2}}{\frac {-R_{\mathrm {x}}+6}{2}+\frac {R_{\mathrm {x}}+2}{2}} \\[ 5pt ] &=& \frac {-R_{\mathrm {x}}^{2}+2R_{\mathrm {x}}}{4}+\frac {-R_{\mathrm {x}}^{2}+4R_{\mathrm {x}}+12}{16} \\[ 5pt ] &=& \frac {-5R_{\mathrm {x}}^{2}+12R_{\mathrm {x}}+12}{16}
\end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答:ヘ
\(R_{\mathrm {ad}}\)が最大値となるためには,\(\displaystyle \frac {d R_{\mathrm {ad}}}{d R_{\mathrm {x}}}=0\)とならなければならない。よって,(4)の解答式の両辺を微分して,\(\displaystyle \frac {d R_{\mathrm {ad}}}{d R_{\mathrm {x}}}=0\)となる\(R_{\mathrm {x}}\)を求めると,
\[
\begin{eqnarray}
\frac {d R_{\mathrm {ad}}}{d R_{\mathrm {x}}} = \frac {1}{16}\left( -10R_{\mathrm {x}}+12\right) &=& 0\\[ 5pt ] ∴  R_{\mathrm {x}}&=& 1.2
\end{eqnarray}
\] と求められる。

※ブリッジの平衡条件と一致しています。



記事下のシェアタイトル