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【問題】
【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）
定格一次電圧\( \ 66 \ \mathrm {[kV]} \ \)，定格二次電圧\( \ 6.6 \ \mathrm {[kV]} \ \)の\( \ \mathrm {A} \ \)，\( \ \mathrm {B} \ \)\( \ \mathrm {2} \ \)台の変圧器がある。変圧器\( \ \mathrm {A} \ \)の定格容量は\( \ 20 \ \mathrm {[MV\cdot A]} \ \)，百分率リアクタンス降下は\( \ 12 \ \mathrm {[％]} \ \)である。一方，変圧器\( \ \mathrm {B} \ \)の定格容量は\( \ 10 \ \mathrm {[MV\cdot A]} \ \) で，百分率リアクタンス降下は不明である。これら\( \ \mathrm {2} \ \)台の変圧器を定格二次電圧で並行運転したところ，負荷電力が\( \ 22.5 \ \mathrm {[MV\cdot A]} \ \)となったところで変圧器\( \ \mathrm {B} \ \)が定格容量に達した。励磁電流及び抵抗分は無視するものとして，次の値を求めよ。
(1) 変圧器\( \ \mathrm {B} \ \)の百分率リアクタンス降下（自己容量基準）\( \ \mathrm {[％]} \ \)
(2) この負荷条件における電圧変動率\( \ \mathrm {[％]} \ \)。ただし，負荷力率は\( \ 0.8 \ \)（遅れ）とする。
【ワンポイント解説】
変圧器の並行運転に関する問題です。
電圧変動率の近似式を知っていたら大チャンスの問題です。
近似式は電圧変動率の定義式から導出は可能ですが，試験時間を考えると基本的に覚えるしかありませんので，覚えるようにして下さい。
1.オーム法からパーセントインピーダンス法への変換
基準容量を\( \ P_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[V\cdot A]} \ \)，基準電圧を\( \ V_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[V]} \ \)，基準電流を\( \ I_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[A]} \ \)とすると，\( \ Z \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の百分率インピーダンス（パーセントインピーダンス）\( \ ％Z \ \mathrm {[％]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
％Z&=&\frac {ZI_{\mathrm {n}}}{\displaystyle \frac {V_{\mathrm {n}}}{\sqrt {3}}}\times 100 (定義) \\[ 5pt ]
&=&\frac {\sqrt {3}ZI_{\mathrm {n}}}{V_{\mathrm {n}}}\times 100 \\[ 5pt ]
&=&\frac {\sqrt {3}ZV_{\mathrm {n}}I_{\mathrm {n}}}{V_{\mathrm {n}}^{2}}\times 100 \\[ 5pt ]
&=&\frac {P_{\mathrm {n}}Z}{V_{\mathrm {n}}^{2}}\times 100 (∵P_{\mathrm {n}}=\sqrt {3}V_{\mathrm {n}}I_{\mathrm {n}} ) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
2.百分率インピーダンスの容量換算
「1.オーム法からパーセントインピーダンス法への変換」の通り，百分率インピーダンスは基準容量に比例します。したがって，基準容量\( \ P_{\mathrm {A}} \ \mathrm {[V\cdot A]} \ \)の時\( \ ％Z_{\mathrm {A}} \ \mathrm {[％]} \ \)のインピーダンスを\( \ P_{\mathrm {B}} \ \mathrm {[V\cdot A]} \ \)へ換算した百分率インピーダンス\( \ ％Z_{\mathrm {B}} \ \mathrm {[％]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
％Z_{\mathrm {B}}&=&\frac {P_{\mathrm {B}}}{P_{\mathrm {A}}}％Z_{\mathrm {A}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
3.変圧器の負荷分担
並行運転の条件を満たす同じ基準容量の元での百分率インピーダンス\( \ ％Z_{\mathrm {A}} \ \mathrm {[％]} \ \)の変圧器\( \ \mathrm {A} \ \)と百分率インピーダンス\( \ ％Z_{\mathrm {B}} \ \mathrm {[％]} \ \)の変圧器\( \ \mathrm {B} \ \)があり，負荷\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)を接続するとき，それぞれの負荷分担\( \ P_{\mathrm {A}} \ \mathrm {[W]} \ \)及び\( \ P_{\mathrm {B}} \ \mathrm {[W]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {A}}&=&\frac {％Z_{\mathrm {B}}}{％Z_{\mathrm {A}}+％Z_{\mathrm {B}}}P \\[ 5pt ]
P_{\mathrm {B}}&=&\frac {％Z_{\mathrm {A}}}{％Z_{\mathrm {A}}+％Z_{\mathrm {B}}}P \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められます。両変圧器とも一次二次電圧が等しいことから，分流の法則が適用できるという解釈で考えると良いかと思います。
4.百分率抵抗降下\( \ p \ \)と百分率リアクタンス降下\( \ q \ \)
変圧器の一次二次を合算した二次側換算の抵抗成分を\( \ R=\displaystyle \frac {r_{1}}{a^{2}}+r_{2} \ \)，一次二次を合算した二次側換算のリアクタンス成分を\( \ X=\displaystyle \frac {x_{1}}{a^{2}}+x_{2} \ \)とし，定格二次電圧を\( \ V_{\mathrm {2n}} \ \mathrm {[V]} \ \)，定格二次電流を\( \ I_{\mathrm {2n}} \ \mathrm {[A]} \ \)とすると，百分率抵抗降下\( \ p \ \mathrm {[％]} \ \)及び百分率リアクタンス降下\( \ q \ \mathrm {[％]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
p &=&\frac {RI_{\mathrm {2n}}}{V_{\mathrm {2n}}}\times 100 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ]
q &=&\frac {XI_{\mathrm {2n}}}{V_{\mathrm {2n}}}\times 100 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
定格負荷（遅れ力率\( \ \cos \theta \ \)）を接続したときの変圧器のベクトル図は図1のように描くことができ，電圧変動率\( \ \varepsilon \ \)は上記\( \ p \ \)，\( \ q \ \)を用いると，
\[
\begin{eqnarray}
\varepsilon &=&\frac {V_{20}-V_{\mathrm {2n}}}{V_{\mathrm {2n}}}\times 100 \\[ 5pt ]
&≃&p\cos \theta + q\sin \theta +\frac {1}{200}\left( q\cos \theta -p\sin \theta \right) ^{2} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と近似することができ，\( \ {\dot V}_{\mathrm {20}} \ \)と\( \ {\dot V}_{\mathrm {2n}} \ \)の位相差が十分に小さく，\( \ \varepsilon \ \)が\( \ 4 ％ \ \)以下の場合には，
\[
\begin{eqnarray}
\varepsilon &≃&p\cos \theta + q\sin \theta \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と近似することができます。
【解答】
(1)変圧器\( \ \mathrm {B} \ \)の百分率リアクタンス降下（自己容量基準）\( \ \mathrm {[％]} \ \)
変圧器の並行運転の単線結線図を描くと図2のようになる。
図2において，変圧器\( \ \mathrm {A} \ \)の百分率リアクタンス\( \ ％X_{\mathrm {A}}=12 \ \mathrm {[％]} \ \)を\( \ 10 \ \mathrm {[MV\cdot A]} \ \)換算した値\( \ ％X_{\mathrm {A}}^{\prime } \ \mathrm {[％]} \ \)は，ワンポイント解説「2.百分率インピーダンスの容量換算」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
％X_{\mathrm {A}}^{\prime }&=&\frac {10}{20}\times ％X_{\mathrm {A}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {10}{20}\times 12 \\[ 5pt ]
&=&6 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，このとき変圧器\( \ \mathrm {B} \ \)が定格容量\( \ \left( 10 \ \mathrm {MV\cdot A}\right) \ \)に達したので，ワンポイント解説「3.変圧器の負荷分担」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
S_{\mathrm {B}}&=&\frac {％X_{\mathrm {A}}^{\prime }}{％X_{\mathrm {A}}^{\prime }+％X_{\mathrm {B}}}\cdot P_{\mathrm {L}} \\[ 5pt ]
10&=&\frac {6}{6+％X_{\mathrm {B}}}\times 22.5 \\[ 5pt ]
6+％X_{\mathrm {B}}&=&\frac {6}{10}\times 22.5 \\[ 5pt ]
％X_{\mathrm {B}}&=&\frac {6}{10}\times 22.5-6 \\[ 5pt ]
&=&7.5 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(2)この負荷条件における電圧変動率\( \ \mathrm {[％]} \ \)
負荷力率\( \ \cos \theta =0.8 \ \)なので\( \ \sin \theta \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\sin \theta &=&\sqrt {1-\cos ^{2}\theta } \\[ 5pt ]
&=&\sqrt {1-0.8^{2} } \\[ 5pt ]
&=&6 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。よって，電圧変動率\( \ \varepsilon \ \mathrm {[％]} \ \)は，抵抗分は無視できるので，ワンポイント解説「4.百分率抵抗降下\( \ p \ \)と百分率リアクタンス降下\( \ q \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
\varepsilon &≃&％X_{\mathrm {B}}\sin \theta +\frac {1}{200}\left( ％X_{\mathrm {B}}\cos \theta \right) ^{2} \\[ 5pt ]
&=&7.5\times 0.6 +\frac {1}{200}\left( 7.5\times 0.8 \right) ^{2} \\[ 5pt ]
&=&4.68 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
※本問は電圧変動率\( \ 4 \ \mathrm {[％]} \ \)以上なので，上式を用いる必要があります。
愛知県出身 愛称たけちゃん
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