《機械・制御》〈変圧器〉[H20:問2]高圧側にコンデンサを接続した単相変圧器に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

単相変圧器\( \ 1 \ 000 \ \mathrm {[kV\cdot A]} \ \)，変圧比\( \ 33 \ 000 / 6 \ 600 \ \)の変圧器の高圧側にコンデンサを負荷として接続し，低圧側に\( \ 6 \ 600 \ \mathrm {[V]} \ \)を加えたときに高圧側の電流が\( \ 15.5 \ \mathrm {[A]} \ \)であった。

この変圧器の高圧側及び低圧側のインピーダンスは各々次の値である。
　高圧側：\( \ {\dot Z}_{H}=8.5+j30.5 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)
　低圧側：\( \ {\dot Z}_{L}=0.08+j1.36 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)
これらの条件で，次の問に答えよ。ただし，コンデンサ回路の抵抗分や誘導性リアクタンス分はないものとし，変圧器の励磁電流及び鉄損は無視できるものとする。

(1)　低圧側電流\( \ I_{L} \ \)は何\( \ \mathrm {[A]} \ \)となるか。

(2)　低圧側\( \ 6 \ 600 \ \mathrm {[V]} \ \)を基準とした，この変圧器のインピーダンス（短絡インピーダンス）の抵抗\( \ R_{T} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)とリアクタンス\( \ X_{T} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)を求めよ。また，この変圧器の自己容量基準の短絡インピーダンス\( \ Z_{T} \ \mathrm {[％]} \ \)を求めよ。

(3)　コンデンサが接続された状態での変圧器高圧側の端子電圧\( \ V_{H} \ \mathrm {[V]} \ \)を求めよ。また，高圧側に接続したコンデンサは定格電圧が\( \ 33 \ 000 \ \mathrm {[V]} \ \)である。接続したコンデンサの定格電圧での定格容量\( \ Q_{C} \ \mathrm {[kvar]} \ \)を求めよ。

【ワンポイント解説】

高圧側にコンデンサを接続した単相変圧器の演算に関する問題です。
(1)と(2)は絶対に間違えたくない問題，(3)が二次試験らしいやや難易度が高めの問題と言えるかと思います。低圧側換算がどのようになるか丁寧に考えて解くようにして下さい。

1.変圧器の巻数比と変圧比，変流比，インピーダンス比の関係
変圧器の一次側の巻数\( \ N_{1} \ \)，電圧\( \ V_{1} \ \mathrm {[V]} \ \)，電流\( \ I_{1} \ \mathrm {[A]} \ \)，二次側の巻数\( \ N_{2} \ \)，電圧\( \ V_{2} \ \mathrm {[V]} \ \)，電流\( \ I_{2} \ \mathrm {[A]} \ \)とすると，巻数比\( \ \displaystyle a=\frac {N_{1}}{N_{2}} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
a&=&\frac {N_{1}}{N_{2}} =\frac {V_{1}}{V_{2}}=\frac {I_{2}}{I_{1}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。\( \ \displaystyle \frac {V_{1}}{V_{2}} \ \)を変圧比，\( \ \displaystyle \frac {I_{1}}{I_{2}} \ \)を変流比といいます。
また，一次側のインピーダンスを\( \ Z_{1} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，二次側のインピーダンスを\( \ Z_{2} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)とすると，インピーダンス比\( \ \displaystyle \frac {Z_{1}}{Z_{2}} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {Z_{1}}{Z_{2}}&=&\frac {\displaystyle \frac {V_{1}}{I_{1}}}{\displaystyle \frac {V_{2}}{I_{2}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {\displaystyle \frac {V_{1}}{V_{2}}}{\displaystyle \frac {I_{1}}{I_{2}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {a}{\displaystyle \frac {1}{a}} \\[ 5pt ] &=&a^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.オーム法から百分率インピーダンス法への変換
基準容量を\( \ P_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[V\cdot A]} \ \)，基準電圧を\( \ V_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[V]} \ \)，基準電流を\( \ I_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[A]} \ \)とすると，\( \ Z \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の百分率インピーダンス（パーセントインピーダンス）\( \ ％Z \ \mathrm {[％]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
％Z&=&\frac {ZI_{\mathrm {n}}}{V_{\mathrm {n}}}\times 100 　(定義) \\[ 5pt ] &=&\frac {ZI_{\mathrm {n}}}{V_{\mathrm {n}}}\times 100 \\[ 5pt ] &=&\frac {ZV_{\mathrm {n}}I_{\mathrm {n}}}{V_{\mathrm {n}}^{2}}\times 100 \\[ 5pt ] &=&\frac {P_{\mathrm {n}}Z}{V_{\mathrm {n}}^{2}}\times 100　　 (∵P_{\mathrm {n}}=V_{\mathrm {n}}I_{\mathrm {n}} ) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

(1)低圧側電流\( \ I_{L} \ \mathrm {[A]} \ \)
問題文に沿って図を描くと図1のようになる。
高圧側電流\( \ I_{H}=15.5 \ \mathrm {[A]} \ \)なので，低圧側電流\( \ I_{L} \ \mathrm {[A]} \ \)は，ワンポイント解説「1.変圧器の巻数比と変圧比，変流比，インピーダンス比の関係」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
I_{L}&=&\frac {V_{H}}{V_{L}}I_{H} \\[ 5pt ] &=&\frac {33 \ 000}{6 \ 600}\times 15.5 \\[ 5pt ] &=&77.5 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)変圧器のインピーダンス（短絡インピーダンス）の抵抗\( \ R_{T} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)とリアクタンス\( \ X_{T} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，短絡インピーダンス\( \ Z_{T} \ \mathrm {[％]} \ \)
高圧側のインピーダンス\( \ {\dot Z}_{H}=8.5+j30.5 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)を低圧側に換算すると，ワンポイント解説「1.変圧器の巻数比と変圧比，変流比，インピーダンス比の関係」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
{{\dot Z}_{H}}^{\prime }&=&\left( \frac {V_{L}}{V_{H}}\right) ^{2}{\dot Z}_{H} \\[ 5pt ] &=&\left( \frac {6 \ 600}{33 \ 000}\right) ^{2}\times \left( 8.5+j30.5\right) \\[ 5pt ] &=&0.34+j1.22 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，\( \ 6 \ 600 \ \mathrm {[V]} \ \)を基準とした，変圧器の抵抗\( \ R_{T} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)とリアクタンス\( \ X_{T} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
R_{T}&=&0.34+0.08 \\[ 5pt ] &=&0.42 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] X_{T}&=&1.22+1.36 \\[ 5pt ] &=&2.58 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。\( \ 6 \ 600 \ \mathrm {[V]} \ \)を基準とした，変圧器のインピーダンス\( \ Z_{T} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の大きさは，
\[
\begin{eqnarray}
Z_{T}&=&\sqrt {R_{T}^{2}+X_{T}^{2}} \\[ 5pt ] &=&\sqrt {0.42^{2}+2.58^{2}} \\[ 5pt ] &≒&2.614 \ 0 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，その百分率インピーダンス\( \ Z_{T} \ \mathrm {[％]} \ \)は，ワンポイント解説「2.オーム法から百分率インピーダンス法への変換」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
Z_{T} \ \mathrm {[％]}&=&\frac {P_{\mathrm {n}}Z_{T} \ \mathrm {[\Omega ]}}{V_{\mathrm {n}}^{2}}\times 100 \\[ 5pt ] &=&\frac {1 \ 000\times 10^{3}\times 2.614 \ 0}{6 \ 600^{2}}\times 100 \\[ 5pt ] &≒&6.000 \ 9　→　6.00 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)コンデンサが接続された状態での変圧器高圧側の端子電圧\( \ V_{H} \ \mathrm {[V]} \ \)，コンデンサの定格容量\( \ Q_{C} \ \mathrm {[kvar]} \ \)
変圧器高圧側の端子電圧\( \ V_{H} \ \mathrm {[V]} \ \)の低圧側換算を\( \ {V_{H}}^{\prime } \ \mathrm {[V]} \ \)，コンデンサのリアクタンスの低圧換算を\( \ {X_{C}}^{\prime } \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)とすると，一次二次合算した回路は図2のようになる。図2における全体のインピーダンスの大きさ\( \ Z \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)を求める関係より，
\[
\begin{eqnarray}
Z=\frac {V_{L}}{I_{L}}&=&\sqrt {R_{T}^{2}+\left( X_{T}-{X_{C}}^{\prime }\right) ^{2}} \\[ 5pt ] \frac {6 \ 600}{77.5}&=&\sqrt {0.42^{2}+\left( 2.58-{X_{C}}^{\prime }\right) ^{2}} \\[ 5pt ] 85.161&≒&\sqrt {0.176 \ 4+\left( 2.58-{X_{C}}^{\prime }\right) ^{2}} \\[ 5pt ] 7 \ 252.4&≒&0.176 \ 4+\left( 2.58-{X_{C}}^{\prime }\right) ^{2} \\[ 5pt ] \left( 2.58-{X_{C}}^{\prime }\right) ^{2}&≒&7 \ 252.2 \\[ 5pt ] 2.58-{X_{C}}^{\prime }&≒&±85.160 \\[ 5pt ] {X_{C}}^{\prime }&≒&87.740 \ \mathrm {[\Omega ]},\color {red}{-82.58 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \left( 不適\right) } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，\( \ {V_{H}}^{\prime } \ \mathrm {[V]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
{V_{H}}^{\prime }&=&{X_{C}}^{\prime }I_{L} \\[ 5pt ] &=&87.740\times 77.5 \\[ 5pt ] &≒&6 \ 799.9 \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，高圧側の端子電圧\( \ V_{H} \ \mathrm {[V]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
V_{H}&=&\frac {33 \ 000}{6 \ 600}{V_{H}}^{\prime } \\[ 5pt ] &=&\frac {33 \ 000}{6 \ 600}\times 6 \ 799.9 \\[ 5pt ] &≒&34 \ 000 \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。また，高圧側換算したコンデンサのリアクタンス\( \ X_{C} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
X_{C}&=&\left( \frac {33 \ 000}{6 \ 600}\right)^{2}{X_{C}}^{\prime } \\[ 5pt ] &=&\left( \frac {33 \ 000}{6 \ 600}\right)^{2}\times 87.740 \\[ 5pt ] &=&2 \ 193.5 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，定格電圧でのコンデンサの定格容量\( \ Q_{C} \ \mathrm {[kvar]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
Q_{C}&=&\frac {33 \ 000^{2}}{X_{C}} \\[ 5pt ] &=&\frac {33 \ 000^{2}}{2 \ 193.5} \\[ 5pt ] &≒&496 \ 470 \ \mathrm {[var]}　→　496 \ \mathrm {[kvar]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。