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【問題】
【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）
図のように周波数\( \ 50 \ \mathrm {[Hz]} \ \)で送電している中性点直接接地方式の三相\( \ 1 \ \)回線送電線に，一端を接地した通信線が並行して設置されている場合について，次の間に答えよ。
(1) 事故点から見た正相，逆相及び零相インダクタンスがそれぞれ\( \ 50 \ \mathrm {[mH]} \ \)，\( \ 50 \ \mathrm {[mH]} \ \)及び\( \ 150 \ \mathrm {[mH]} \ \)で与えられる地点で，事故前の線間電圧が\( \ 154 \ \mathrm {[kV]} \ \)で与えられるときに，\( \ 1 \ \)線地絡事故が発生した。このとき電磁誘導により発生する誘導電圧\( \ V_{m} \ \mathrm {[V]} \ \)を表す式を示せ。ただし，送電線と通信線との相互インダクタンスを\( \ M \ \mathrm {[H / km]} \ \)，送電線と通信線が並行している距離を\( \ D \ \mathrm {[km]} \ \)とし，送電線の抵抗と静電容量は無視するものとする。
(2) 上記(1)で，相互インダクタンス\( \ M \ \)を\( \ 6 \ \mathrm {[mH / km]} \ \)，並行している距離\( \ D \ \)を\( \ 0.6 \ \mathrm {[km]} \ \)とした場合の誘導電圧\( \ V_{m} \ \mathrm {[V]} \ \)の値を求めよ。
【ワンポイント解説】
１線地絡事故時に通信線に誘起される電圧に関する問題です。
対称座標法の考え方をするので，最初は難しく感じるかもしれませんが，比較的パターンが決まっている問題です。電験でも何度か類題が出題されているので，必ず理解しておくようにしましょう。
1.ベクトルオペレータ\( \ a \ \)
ベクトルオペレータとは，\( \ a=\mathrm {e}^{\mathrm {j}\frac {2\pi}{3}} \ \)で定義される演算子であり，
\[
\begin{eqnarray}
a &=& \cos \frac {2\pi}{3}+\mathrm {j}\sin \frac {2\pi}{3} \\[ 5pt ]
&=& -\frac {1}{2}+\mathrm {j}\frac {\sqrt {3}}{2} \\[ 5pt ]
a^{2} &=& \cos \frac {4\pi}{3}+\mathrm {j}\sin \frac {4\pi}{3} \\[ 5pt ]
&=& -\frac {1}{2}-\mathrm {j}\frac {\sqrt {3}}{2} \\[ 5pt ]
a^{3} &=& \cos \frac {6\pi}{3}+\mathrm {j}\sin \frac {6\pi}{3} \\[ 5pt ]
&=& 1 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
という関係があります。
2.対称座標法
故障計算をする際に，非常に便利な方法で，零相電圧\( \ {\dot V}_{0} \ \)，正相電圧\( \ {\dot V}_{1} \ \)，逆相電圧\( \ {\dot V}_{2} \ \)とすると，各相の電圧\( \ {\dot V}_{\mathrm {a}} \ \)，\( \ {\dot V}_{\mathrm {b}} \ \)，\( \ {\dot V}_{\mathrm {c}} \ \)を用いて以下のように定義されます。ただし，\( \ a \ \)はベクトルオペレータとなります。
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{\mathrm {0}} &=&\frac {1}{3}\left( {\dot V}_{\mathrm {a}}+ {\dot V}_{\mathrm {b}} + {\dot V}_{\mathrm {c}}\right) \\[ 5pt ]
{\dot V}_{\mathrm {1}} &=&\frac {1}{3}\left( {\dot V}_{\mathrm {a}}+ a{\dot V}_{\mathrm {b}} + a^{2}{\dot V}_{\mathrm {c}}\right) \\[ 5pt ]
{\dot V}_{\mathrm {2}} &=&\frac {1}{3}\left( {\dot V}_{\mathrm {a}}+ a^{2}{\dot V}_{\mathrm {b}} + a{\dot V}_{\mathrm {c}}\right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
このとき，各相の電圧\( \ {\dot V}_{\mathrm {a}} \ \)，\( \ {\dot V}_{\mathrm {b}} \ \)，\( \ {\dot V}_{\mathrm {c}} \ \)は以下のように表せます。
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{\mathrm {a}} &=&{\dot V}_{0}+ {\dot V}_{1} + {\dot V}_{2} \\[ 5pt ]
{\dot V}_{\mathrm {b}} &=&{\dot V}_{0}+ a^{2}{\dot V}_{1} + a{\dot V}_{2} \\[ 5pt ]
{\dot V}_{\mathrm {c}} &=&{\dot V}_{0}+ a{\dot V}_{1} + a^{2}{\dot V}_{2} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
なお，図1に示すような三相平衡時においては，\( \ {\dot V}_{\mathrm {a}}+{\dot V}_{\mathrm {b}}+{\dot V}_{\mathrm {c}}=0 \ \)であるため，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{\mathrm {0}} &=&\frac {1}{3}\left( {\dot V}_{\mathrm {a}}+ {\dot V}_{\mathrm {b}} + {\dot V}_{\mathrm {c}}\right) \\[ 5pt ]
&=&0 \\[ 5pt ]
{\dot V}_{\mathrm {1}} &=&\frac {1}{3}\left( {\dot V}_{\mathrm {a}}+ a{\dot V}_{\mathrm {b}} + a^{2}{\dot V}_{\mathrm {c}}\right) \\[ 5pt ]
&=&\frac {1}{3}\left( {\dot V}_{\mathrm {a}}+ {\dot V}_{\mathrm {a}} + {\dot V}_{\mathrm {a}}\right) \\[ 5pt ]
&=&{\dot V}_{\mathrm {a}} \\[ 5pt ]
{\dot V}_{\mathrm {2}} &=&\frac {1}{3}\left( {\dot V}_{\mathrm {a}}+ a^{2}{\dot V}_{\mathrm {b}} + a{\dot V}_{\mathrm {c}}\right) \\[ 5pt ]
&=&\frac {1}{3}\left( {\dot V}_{\mathrm {a}}+ {\dot V}_{\mathrm {c}} + {\dot V}_{\mathrm {b}}\right) \\[ 5pt ]
&=&0 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
同様に，零相電流\( \ {\dot I}_{0} \ \)，正相電流\( \ {\dot I}_{1} \ \)，逆相電流\( \ {\dot I}_{2} \ \)とすると，各相の電流\( \ {\dot I}_{\mathrm {a}} \ \)，\( \ {\dot I}_{\mathrm {b}} \ \)，\( \ {\dot I}_{\mathrm {c}} \ \)を用いて以下のように定義されます。
\[
\begin{eqnarray}
{\dot I}_{\mathrm {0}} &=&\frac {1}{3}\left( {\dot I}_{\mathrm {a}}+ {\dot I}_{\mathrm {b}} + {\dot I}_{\mathrm {c}}\right) \\[ 5pt ]
{\dot I}_{\mathrm {1}} &=&\frac {1}{3}\left( {\dot I}_{\mathrm {a}}+ a{\dot I}_{\mathrm {b}} + a^{2}{\dot I}_{\mathrm {c}}\right) \\[ 5pt ]
{\dot I}_{\mathrm {2}} &=&\frac {1}{3}\left( {\dot I}_{\mathrm {a}}+ a^{2}{\dot I}_{\mathrm {b}} + a{\dot I}_{\mathrm {c}}\right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
このとき，各相の電流\( \ {\dot I}_{\mathrm {a}} \ \)，\( \ {\dot I}_{\mathrm {b}} \ \)，\( \ {\dot I}_{\mathrm {c}} \ \)は以下のように表せます。
\[
\begin{eqnarray}
{\dot I}_{\mathrm {a}} &=&{\dot I}_{0}+ {\dot I}_{1} + {\dot I}_{2} \\[ 5pt ]
{\dot I}_{\mathrm {b}} &=&{\dot I}_{0}+ a^{2}{\dot I}_{1} + a{\dot I}_{2} \\[ 5pt ]
{\dot I}_{\mathrm {c}} &=&{\dot I}_{0}+ a{\dot I}_{1} + a^{2}{\dot I}_{2} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
また，対称座標法における零相インピーダンス\( \ {\dot Z}_{\mathrm {0}} \ \)，正相インピーダンス\( \ {\dot Z}_{\mathrm {1}} \ \)，逆相インピーダンス\( \ {\dot Z}_{\mathrm {2}} \ \)，\( \ \mathrm {a} \ \)相の無負荷電圧\( \ {\dot E}_{\mathrm {a}} \ \)としたとき，発電機の基本式は以下の通りとなります。
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{0} &=&-{\dot Z}_{0}{\dot I}_{0} \\[ 5pt ]
{\dot V}_{1} &=&{\dot E}_{\mathrm {a}}-{\dot Z}_{1}{\dot I}_{1} \\[ 5pt ]
{\dot V}_{2} &=&-{\dot Z}_{2}{\dot I}_{2} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
これらの式を利用して，事故電流の大きさを求めます。
3.対称座標法による\( \ 1 \ \)線地絡故障時の等価回路
対称座標法を利用した\( \ \mathrm {a} \ \)相\( \ 1 \ \)線地絡故障時の等価回路は図2のようになります。ただし，\( \ R_{\mathrm {g}} \ \)は地絡抵抗となります。\( \ 1 \ \)線地絡故障時の対称座標法の関係式における\( \ \dot V_{\mathrm {a}}=0 \ \)，\( \ \dot I_{\mathrm {b}}=\dot I_{\mathrm {c}}=0 \ \)及び発電機の基本式から導き出すことができますが，試験本番では覚えておく方が良いかと思います。
【解答】
(1)電磁誘導により発生する誘導電圧\( \ V_{m} \ \mathrm {[V]} \ \)を表す式
事故点から系統を見た正相，逆相及び零相インピーダンス\( \ \dot Z _{1} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，\( \ \dot Z _{2} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)及び\( \ \dot Z _{0} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の大きさは，正相，逆相及び零相インダクタンスがそれぞれ\( \ L_{1}=50 \ \mathrm {[mH]} \ \)，\( \ L_{2}=50 \ \mathrm {[mH]} \ \)及び\( \ L_{0}=150 \ \mathrm {[mH]} \ \)なので，
\[
\begin{eqnarray}
\dot Z _{1} &=&j2\pi f L_{1} \\[ 5pt ]
&=&j2\pi \times 50\times 50 \times 10^{-3} \\[ 5pt ]
&≒&j15.708 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ]
\dot Z _{2} &=&j2\pi f L_{2} \\[ 5pt ]
&=&j2\pi \times 50\times 50 \times 10^{-3} \\[ 5pt ]
&≒&j15.708 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ]
\dot Z _{0} &=&j2\pi f L_{0} \\[ 5pt ]
&=&j2\pi \times 50\times 150 \times 10^{-3} \\[ 5pt ]
&≒&j47.124 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，\( \ 1 \ \)線地絡時の等価回路は図3の通りとなる。図3より地絡電流\( \ \dot I _{a} \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\dot I_{a}}{3} &=&\frac {\dot E _{a}}{\dot Z _{0}+\dot Z _{1}+\dot Z _{2}} \\[ 5pt ]
\dot I_{a}&=&\frac {3\dot E _{a}}{\dot Z _{0}+\dot Z _{1}+\dot Z _{2}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {3\times \displaystyle \frac {154\times 10^{3}}{\sqrt {3}}}{j 15.708+j 15.708+j 47.124} \\[ 5pt ]
&=&-j3 \ 396.2 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，その大きさは\( \ I _{a}=3 \ 396.2 \ \mathrm {[A]} \ \)となる。
送電線と通信線との相互インダクタンスは\( \ MD \ \mathrm {[H]} \ \)であり，一般に電流\( \ \dot I \ \mathrm {[A]} \ \)により誘導される誘導電圧\( \ \dot V \ \mathrm {[V]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\dot V &=&j\omega MD \dot I \\[ 5pt ]
&=&j2\pi f MD \dot I \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であるから，三相電流により通信線に発生する誘導電圧\( \ {\dot V}_{m} \ \mathrm {[V]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{m} &=&j2\pi f MD {\dot I}_{a}+j2\pi f MD {\dot I}_{b}+j2\pi f MD {\dot I}_{c} \\[ 5pt ]
&=&j2\pi f MD \left( {\dot I}_{a}+ {\dot I}_{b}+{\dot I}_{c}\right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。無負荷送電線においては，\( \ {\dot I}_{b}={\dot I}_{c}=0 \ \mathrm {[A]} \ \)であるから，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{m} &=&j2\pi f MD {\dot I}_{a}\\[ 5pt ]
&=&j2\pi \times 50 MD \times \left( -j3 \ 396.2\right) \\[ 5pt ]
&≒&1 \ 066 \ 900 MD \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，その大きさ\( \ V_{m} \ \mathrm {[kV]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
V_{m} &=&1 \ 066 \ 900 MD → 1 \ 070 \ 000 MD \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(2)\( \ M= 6 \ \mathrm {[mH / km]} \ \)，\( \ D= 0.6 \ \mathrm {[km]} \ \)とした場合の\( \ V_{m} \ \mathrm {[V]} \ \)の値
(1)解答式より，
\[
\begin{eqnarray}
V_{m} &=&1 \ 066 \ 900 MD \\[ 5pt ]
&=&1 \ 066 \ 900 \times 6\times 10^{-3}\times 0.6 \\[ 5pt ]
&≒&3 \ 840 \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
【令和８年度版２種一次試験】
愛知県出身 愛称たけちゃん
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