《機械・制御》〈パワーエレクトロニクス〉[H18:問3]ブーストコンバータの等価回路に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

図は電源電圧を\( \ E \ \)，負荷電圧を\( \ V \ \)とし，インダクタ\( \ L \ \)の抵抗分\( \ R \ \)を考慮したブーストコンバータの等価回路を示す。負荷抵抗を\( \ R_{L} \ \)とし，スイッチが端子\( \ 1 \ \)に接続されている時間を\( \ t_{\mathrm {on}} \ \)，端子\( \ 2 \ \)に接続されている時間を\( \ t_{\mathrm {off}} \ \)，周期を\( \ T_{s}\left( =t_{\mathrm {on}}+t_{\mathrm {off}} \right) \ \)，\( \ \displaystyle \alpha =\frac {t_{\mathrm {on}}}{T_{s}} \ \)，\( \ \displaystyle \beta =\frac {t_{\mathrm {off}}}{T_{s}} \ \)とする。定常状態では，インダクタ電流\( \ I \ \)及び出力電圧\( \ V \ \)の値は一定で，そのリプルは非常に小さく無視できるものとして，次の問に答えよ。

(1)　スイッチが端子\( \ 1 \ \)に接続されているとき，インダクタ\( \ L \ \)の両端電圧\( \ v_{L} \ \)の式を求めよ。

(2)　スイッチが端子\( \ 2 \ \)に接続されているとき，インダクタ\( \ L \ \)の両端電圧\( \ v_{L} \ \)の式を求めよ。

(3)　定常状態における出力電圧\( \ V \ \)を\( \ E \ \)，\( \ I \ \)，\( \ R \ \)及び\( \ \alpha \ \)を用いて表せ。

(4)　スイッチが端子\( \ 1 \ \)に接続されているとき，コンデンサ電流\( \ i_{C} \ \)の式を求めよ。

(5)　スイッチが端子\( \ 2 \ \)に接続されているとき，コンデンサ電流\( \ i_{C} \ \)の式を求めよ。

(6)　定常状態における出力電圧\( \ V \ \)を\( \ L \ \)，\( \ R_{L} \ \)及び\( \ \alpha \ \)を用いて表せ。

(7)　定常状態における出力電圧\( \ V \ \)と電源電圧\( \ E \ \)との比\( \ \displaystyle \frac {V}{E} \ \)を\( \ R \ \)，\( \ R_{L} \ \)及び\( \ \alpha \ \)を用いて表せ。

【ワンポイント解説】

ブーストコンバータの等価回路の動作原理を考える問題です。
あまり出題されることがない回路なので驚いてしまうかもしれませんが，昇圧チョッパとほぼ同じような考え方で解くことが可能となります。
もし昇圧チョッパが分からないという方は令和6年機械科目問4等を学習するようにして下さい。

1.ブーストコンパータの動作
図1及び図2にブーストコンパータの等価回路と動作時の電流の流れを示します。
スイッチがオンになると，図1のように電源\( \ E \ \)からの電流はリアクトル\( \ L \ \)，抵抗\( \ R \ \)，スイッチを通り，電源\( \ E \ \)に戻ります。したがって，リアクトル\( \ L \ \)にエネルギーが蓄えられます。このときの回路方程式は，
\[
\begin{eqnarray}
E&=&v_{L}+RI \\[ 5pt ] v_{L}&=&E-RI \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。
スイッチがオフになると，図2のように電流がリアクトル\( \ L \ \)から抵抗\( \ R \ \)，スイッチを通り，負荷抵抗\( \ R_{L} \ \)，電源\( \ E \ \)を流れ，リアクトル\( \ L \ \)に戻ります。したがって，リアクトル\( \ L \ \)からエネルギーが放出されます。このときの回路方程式は，
\[
\begin{eqnarray}
-v_{L}+E&=&RI+V \\[ 5pt ] v_{L}&=&E-RI-V \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。
定常状態においては，リアクトルに蓄えられるエネルギーと放出されるエネルギーが等しいことから，オンの時間を\( \ t_{\mathrm {on}} \ \)，オフの時間を\( \ t_{\mathrm {off}} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
\left( E-RI\right) I t_{\mathrm {on}}&=&-\left( E-RI-V\right) I t_{\mathrm {off}} \\[ 5pt ] \left( E-RI\right) t_{\mathrm {on}}&=&-\left( E-RI-V\right) t_{\mathrm {off}} \\[ 5pt ] Et_{\mathrm {on}}-RIt_{\mathrm {on}}&=& -Et_{\mathrm {off}}+RIt_{\mathrm {off}}+Vt_{\mathrm {off}} \\[ 5pt ] Vt_{\mathrm {off}} &=& Et_{\mathrm {on}}+Et_{\mathrm {off}}-RIt_{\mathrm {on}}-RIt_{\mathrm {off}} \\[ 5pt ] &=& E\left( t_{\mathrm {on}}+t_{\mathrm {off}}\right) -RI\left( t_{\mathrm {on}}+t_{\mathrm {off}}\right) \\[ 5pt ] V&=& E\frac {t_{\mathrm {on}}+t_{\mathrm {off}}}{t_{\mathrm {off}}} -RI\frac {t_{\mathrm {on}}+t_{\mathrm {off}}}{t_{\mathrm {off}}} \\[ 5pt ] &=& \left( E-RI\right) \frac {t_{\mathrm {on}}+t_{\mathrm {off}}}{t_{\mathrm {off}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

(1)スイッチが端子\( \ 1 \ \)に接続されているときのインダクタ\( \ L \ \)の両端電圧\( \ v_{L} \ \)
ワンポイント解説「1.ブーストコンパータの動作」の通り，スイッチ端子\( \ 1 \ \)に接続されているときのインダクタ\( \ L \ \)の両端電圧\( \ v_{L} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
v_{L}&=&E-RI \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)スイッチが端子\( \ 2 \ \)に接続されているときのインダクタ\( \ L \ \)の両端電圧\( \ v_{L} \ \)
ワンポイント解説「1.ブーストコンパータの動作」の通り，スイッチ端子\( \ 2 \ \)に接続されているときのインダクタ\( \ L \ \)の両端電圧\( \ v_{L} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
v_{L}&=&E-RI-V \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)定常状態における出力電圧\( \ V \ \)
ワンポイント解説「1.ブーストコンパータの動作」の通り，定常状態における出力電圧\( \ V \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
V&=& \left( E-RI\right) \frac {t_{\mathrm {on}}+t_{\mathrm {off}}}{t_{\mathrm {off}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，題意より，
\[
\begin{eqnarray}
t_{\mathrm {on}}&=& \alpha T_{s} \\[ 5pt ] t_{\mathrm {off}}&=& T_{s}-t_{\mathrm {on}} \\[ 5pt ] &=& T_{s}-\alpha T_{s} \\[ 5pt ] &=& \left( 1-\alpha \right) T_{s} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから，
\[
\begin{eqnarray}
V&=& \left( E-RI\right) \frac {t_{\mathrm {on}}+t_{\mathrm {off}}}{t_{\mathrm {off}}} \\[ 5pt ] &=& \left( E-RI\right) \frac {\alpha T_{s}+\left( 1-\alpha \right) T_{s}}{\left( 1-\alpha \right) T_{s}} \\[ 5pt ] &=& \left( E-RI\right) \frac {T_{s}}{\left( 1-\alpha \right) T_{s}} \\[ 5pt ] &=& \frac {1}{1-\alpha }\left( E-RI\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)スイッチが端子\( \ 1 \ \)に接続されているときのコンデンサ電流\( \ i_{C} \ \)
図1に示すように，スイッチ端子\( \ 1 \ \)に接続されているとき，コンデンサからは電荷が放出され，その電流の大きさ\( \ i_{C} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
i_{C}&=& -\frac {V}{R_{L}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)スイッチが端子\( \ 2 \ \)に接続されているときのコンデンサ電流\( \ i_{C} \ \)
図2に示すように，スイッチ端子\( \ 2 \ \)に接続されているとき，コンデンサには電荷が蓄えられ，その電流の大きさ\( \ i_{C} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
i_{C}&=& I-\frac {V}{R_{L}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(6)定常状態における出力電圧\( \ V \ \)を\( \ L \ \)，\( \ R_{L} \ \)及び\( \ \alpha \ \)を用いて表す
(4)及び(5)より，定常状態においてコンデンサに蓄えられる電荷量と放出される電荷量は等しいから，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {V}{R_{L}}t_{\mathrm {on}}&=& \left( I-\frac {V}{R_{L}}\right) t_{\mathrm {off}} \\[ 5pt ] \frac {V}{R_{L}}\alpha T_{s}&=& \left( I-\frac {V}{R_{L}}\right) \left( 1-\alpha \right) T_{s} \\[ 5pt ] \frac {V}{R_{L}}\alpha &=& \left( I-\frac {V}{R_{L}}\right) \left( 1-\alpha \right) \\[ 5pt ] &=& I\left( 1-\alpha \right) -\frac {V}{R_{L}}\left( 1-\alpha \right) \\[ 5pt ] \frac {V}{R_{L}}\alpha +\frac {V}{R_{L}}\left( 1-\alpha \right) &=& I\left( 1-\alpha \right) \\[ 5pt ] \frac {V}{R_{L}}&=& \left( 1-\alpha \right) I \\[ 5pt ] V&=& \left( 1-\alpha \right) R_{L}I \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(7)定常状態における出力電圧\( \ V \ \)と電源電圧\( \ E \ \)との比\( \ \displaystyle \frac {V}{E} \ \)
(6)解答式より，
\[
\begin{eqnarray}
I&=& \frac {1}{1-\alpha }\cdot \frac {V}{R_{L}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，これを(3)解答式に代入して整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
V&=& \frac {1}{1-\alpha }\left( E-RI\right) \\[ 5pt ] &=& \frac {1}{1-\alpha }\left( E-R\cdot \frac {1}{1-\alpha }\cdot \frac {V}{R_{L}}\right) \\[ 5pt ] \left( 1-\alpha \right) V &=& E-R\cdot \frac {1}{1-\alpha }\cdot \frac {V}{R_{L}} \\[ 5pt ] \left( 1-\alpha \right) V+R\cdot \frac {1}{1-\alpha }\cdot \frac {V}{R_{L}}&=& E \\[ 5pt ] \left( 1-\alpha +\frac {1}{1-\alpha }\cdot \frac {R}{R_{L}}\right) V&=& E \\[ 5pt ] \frac {V}{E}&=&\frac {1}{\displaystyle 1-\alpha +\frac {1}{1-\alpha }\cdot \frac {R}{R_{L}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{1-\alpha }\cdot \frac {1}{\displaystyle 1 +\frac {1}{\left( 1-\alpha \right) ^{2}}\cdot \frac {R}{R_{L}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。