《理論》〈電気及び電子計測〉[H30:問8]抵抗の測定に関する計算問題

Contents

1 【問題】
2 【ワンポイント解説】
3 【解答】

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

次の文章は，抵抗の測定に関する記述である。文中の$\fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$}$に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。

図1及び図2は，直流電圧源$ \ E \ $，内部抵抗$ \ r_{\mathrm {v}} \ $の直流電圧計及び内部抵抗$ \ r_{\mathrm {c}} \ $の直流電流計を用い，未知の抵抗$ \ R \ $を測定する回路である。

図1において電圧計の指示が$ \ V_{1} \ $，電流計の指示が$ \ I_{1} \ $であるとき，計器の指示から求められる抵抗を$ \ R_{1} \ $とすると，$\displaystyle R_{1}=\frac {V_{1}}{I_{1}}=\fbox {　（１）　}$となる。次に，図2において電圧計の指示が$ \ V_{2} \ $，電流計の指示が$ \ I_{2} \ $であるとき，計器の指示から求められる抵抗を$ \ R_{2} \ $とすると，$\displaystyle R_{2}=\frac {V_{2}}{I_{2}}=\fbox {　（２）　}$となる。

測定の誤差率$ \ \varepsilon \ $を$\displaystyle \frac {測定値-真値}{真値}$と定義すると，図1の測定における誤差率$ \ \varepsilon _{1} \ $は，$ \ \varepsilon _{1}=\fbox {　（３）　}$，図2の測定における誤差率$ \ \varepsilon _{2} \ $は，$ \ \varepsilon _{2}=\fbox {　（４）　}$となる。

一般に，高抵抗を測定する場合には図1の回路が用いられ，$ \ R \ $と$ \ r_{\mathrm {c}} \ $の関係が$\fbox {　（５）　}$を満足する電流計を使用することにより，誤差が小さい測定が可能となる。

〔問8の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　r_{\mathrm {c}}-R　　　&（ロ）&　r_{\mathrm {v}}　　　&（ハ）&　R≫r_{\mathrm {c}} \\[ 5pt ] &（ニ）&　\frac {r_{\mathrm {v}}+r_{\mathrm {c}}}{r_{\mathrm {v}}+R}　　　&（ホ）&　-\frac {R}{r_{\mathrm {v}}+R}　　　&（ヘ）&　\frac {r_{\mathrm {v}}R}{r_{\mathrm {v}}+R} \\[ 5pt ] &（ト）&　r_{\mathrm {c}}　　　&（チ）&　R≪r_{\mathrm {c}}　　　　&（リ）&　r_{\mathrm {c}}+\frac {r_{\mathrm {v}}R}{r_{\mathrm {v}}+R} \\[ 5pt ] &（ヌ）&　\frac {r_{\mathrm {v}}\left( r_{\mathrm {c}}+R\right) }{r_{\mathrm {c}}+r_{\mathrm {v}}+R}　　　　&（ル）&　 r_{\mathrm {c}}+R　　　&（ヲ）&　 \frac {r_{\mathrm {c}}}{R} \\[ 5pt ] &（ワ）&　R=r_{\mathrm {c}}　　　&（カ）&　-\frac {r_{\mathrm {v}}}{R}　　　&（ヨ）&　R-r_{\mathrm {v}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

抵抗の測定に関する問題となっていますが，ほぼ電気回路の問題と言えると思います。(1)，(2)の等式を立てる箇所が本問の肝となると思います。等価回路を描きよく整理して解くようにしましょう。

【解答】

(1)解答：ル
題意に沿って等価回路を描くと図1-1のようになる。
図1-1より，$ \ r_{\mathrm {c}} \ $及び$ \ R \ $の電圧降下の和が$ \ V_{1} \ $と等しいから，
\[
\begin{eqnarray}
V_{1}&=&\left( r_{\mathrm {c}}+R\right) I_{1} \\[ 5pt ] \frac {V_{1}}{I_{1}}&=&r_{\mathrm {c}}+R \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)解答：ヘ
題意に沿って等価回路を描くと図2-1のようになる。
$ \ r_{\mathrm {v}} \ $を流れる電流について，オームの法則及び分流の法則より等式を立てると，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {V_{2}}{r_{\mathrm {v}}}&=&\frac {R}{r_{\mathrm {v}}+R} I_{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係が成り立つから上式を整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {V_{2}}{I_{2}}&=&\frac {r_{\mathrm {v}}R}{r_{\mathrm {v}}+R} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答：ヲ
本測定における真値は$ \ R \ $であるから，誤差率$ \ \varepsilon _{1} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
\varepsilon _{1}&=&\frac {R_{1} -R}{R} \\[ 5pt ] &=&\frac {\left( r_{\mathrm {c}}+R\right) -R}{R} \\[ 5pt ] &=&\frac {r_{\mathrm {c}}}{R} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答：ホ
(3)と同様に，誤差率$ \ \varepsilon _{2} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
\varepsilon _{2}&=&\frac {R_{2} -R}{R} \\[ 5pt ] &=&\frac {\displaystyle \left( \frac {r_{\mathrm {v}}R}{r_{\mathrm {v}}+R} \right) -R}{R} \\[ 5pt ] &=&\frac {r_{\mathrm {v}}R-R\left( r_{\mathrm {v}}+R\right) }{R\left( r_{\mathrm {v}}+R\right) } \\[ 5pt ] &=&\frac {-R^{2}}{R\left( r_{\mathrm {v}}+R\right) } \\[ 5pt ] &=&-\frac {R}{r_{\mathrm {v}}+R} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答：ハ
(3)より，誤差率$ \ \displaystyle \varepsilon _{1}=\frac {r_{\mathrm {c}}}{R}\ $を小さくなるためには$R≫r_{\mathrm {c}}$とすれば良い。