《電力・管理》〈水力〉[H20:問5]揚水発電所の揚水量，発電出力及び総合効率に関する計算問題

Contents

1 【問題】
2 【ワンポイント解説】
3 【解答】

【問題】

【難易度】★☆☆☆☆（易しい）

純揚水発電所において，深夜時間帯に下部調整池の水を上部調整池に揚水し，その水を昼間時間帯に発電して下部調整池に放流している。このとき，次の値を求めよ。

なお，上部調整池と下部調整池との落差及び揚程は\( \ 150 \ \mathrm {[m]} \ \)，圧力鉄管における発電時の損失水頭は\( \ 5 \ \mathrm {[m]} \ \)，揚水時の損失水頭は\( \ 10 \ \mathrm {[m]} \ \)で，各々一定である。水車・発電機の合成効率は\( \ 90 \ \mathrm {[％]} \ \)，ポンプ・電動機の合成効率は\( \ 85 \ \mathrm {[％]} \ \)で，各々一定であり，以上に示した以外の損失や，調整池における減水は無視できるものとする。この計算において，水\( \ 1 \ \mathrm {[m]} \ \)の質量は\( \ 1 \ 000 \ \mathrm {[kg]} \ \)，重力加速度は\( \ 9.8 \ \mathrm {[m / s^{2}]} \ \)とする。

(1)　深夜時間帯に電動機入力\( \ 100 \ \mathrm {[MW]} \ \)で\( \ 8 \ \)時間揚水運転した場合の，揚水量\( \ \mathrm {[m^{3}]} \ \)

(2)　上記(1)で揚水した量の水を，一定流量で\( \ 6 \ \)時間発電した場合の発電出力\( \ \mathrm {[MW]} \ \)

(3)　この場合の揚水発電所の総合効率\( \ \mathrm {[％]} \ \)

【ワンポイント解説】

揚水発電所の総合効率を求める計算問題です。
内容的にはすべて３種で学習する内容ですので，多くの受験生が選択し，正答した問題であるかと思います。
ただし，その分採点は厳しくなることが予想されますので，\( \ \mathrm {[MW]} \ \)となっている単位の扱いや揚水時と発電時の条件の違い等は十分に注意して解くようにして下さい。

1.揚水発電所の諸公式
揚水発電で使用される諸公式は以下の通りです。いずれも重要な公式なので，本問で使用しない公式も覚えておくようにしましょう。

①発電電力
有効落差　：\( \ H=H_{0}-h_{\mathrm {G}} \ \mathrm {[ m ] } \ \)
発電機出力：\( \ P_{\mathrm {G}}=9.8Q_{\mathrm {G}}H\eta _{\mathrm {T}}\eta _{\mathrm {G}} \ \mathrm {[ kW ] } \ \)
総発電量　：\( \ W_{\mathrm {G}}=P_{\mathrm {G}}T_{\mathrm {G}} \ \mathrm {[ kW\cdot h ] } \ \)

ただし，\( \ H_{0} \ \)は総落差\( \ \mathrm {[m]} \ \)，\( \ h_{\mathrm {G}} \ \)は発電時の損失水頭\( \ \mathrm {[m]} \ \)，\( \ Q_{\mathrm {G}} \ \)は発電時の流量\( \ \mathrm {[m^{3} / s]} \ \)，\( \ \eta _{\mathrm {T}} \ \)は水車効率，\( \ \eta _{\mathrm {G}} \ \)は発電機効率，\( \ T_{\mathrm {G}} \ \)は発電時間\( \ \mathrm {[h]} \ \)

②揚水動力
必要揚程　：\( \ \displaystyle H_{\mathrm {P}}=H_{0}+h_{\mathrm {P}} \ \mathrm {[ m ] } \ \)
所要動力　：\( \ \displaystyle P_{\mathrm {M}}=\frac { 9.8Q_{\mathrm {P}}H_{\mathrm {P}}}{\eta _{\mathrm {P}}\eta _{\mathrm {M}} } \ \mathrm {[ kW ] } \ \)
所要電力量：\( \ W_{\mathrm {M}}=P_{\mathrm {M}}T_{\mathrm {M}} \ \mathrm {[ kW\cdot h ] } \ \)

ただし，\( \ H_{0} \ \)は総落差\( \ \mathrm {[m]} \ \)，\( \ h_{\mathrm {P}} \ \)は揚水時の損失水頭\( \ \mathrm {[m]} \ \)，\( \ Q_{\mathrm {P}} \ \)は揚水時の流量\( \ \mathrm {[m^{3} / s]} \ \)，\( \ \eta _{\mathrm {P}} \ \)はポンプ効率，\( \ \eta _{\mathrm {M}} \ \)は電動機効率，\( \ T_{\mathrm {M}} \ \)は揚水時間\( \ \mathrm {[h]} \ \)

③揚水総合効率
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {W_{\mathrm {G}}}{W_{\mathrm {M}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {9.8Q_{\mathrm {G}}H\eta _{\mathrm {T}}\eta _{\mathrm {G}}T_{\mathrm {G}}}{\displaystyle \frac { 9.8Q_{\mathrm {P}}H_{\mathrm {P}}}{\eta _{\mathrm {P}}\eta _{\mathrm {M}} }T_{\mathrm {M}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {Q_{\mathrm {G}}HT_{\mathrm {G}}}{Q_{\mathrm {P}}H_{\mathrm {P}}T_{\mathrm {M}}}\eta _{\mathrm {T}}\eta _{\mathrm {G}}\eta _{\mathrm {P}}\eta _{\mathrm {M}} \\[ 5pt ] &=&\frac {H}{H_{\mathrm {P}}}\eta _{\mathrm {T}}\eta _{\mathrm {G}}\eta _{\mathrm {P}}\eta _{\mathrm {M}}　\left( ∵ Q_{\mathrm {G}}T_{\mathrm {G}}\times 3 \ 600=Q_{\mathrm {P}}T_{\mathrm {M}}\times 3 \ 600\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【解答】

(1)電動機入力\( \ 100 \ \mathrm {[MW]} \ \)で\( \ 8 \ \)時間揚水運転した場合の，揚水量\( \ \mathrm {[m^{3}]} \ \)
上部調整池と下部調整池との揚程が\( \ H_{0}=150 \ \mathrm {[m]} \ \)，揚水時の損失水頭が\( \ h_{P}=10 \ \mathrm {[m]} \ \)，ポンプ・電動機の合成効率が\( \ \eta _{P}\eta _{M} = 85 \ \mathrm {[％]} \ \)なので，揚水時の流量\( \ Q_{P} \ \mathrm {[m^{3} / s]} \ \)は，ワンポイント解説「1.揚水発電所の諸公式」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
P_{M}&=&\frac { 9.8Q_{P}\left( H_{0}+h_{P}\right) }{\eta _{P}\eta _{M} } \\[ 5pt ] Q_{P}&=&\frac {P_{M}\eta _{P}\eta _{M} }{ 9.8\left( H_{0}+h_{P}\right) } \\[ 5pt ] &=&\frac {100\times 10^{3} \times 0.85}{ 9.8\times \left( 150+10\right) } \\[ 5pt ] &≒&54.209 \ \mathrm {[m^{3} / s]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，\( \ T_{P}=8 \ \mathrm {[h]} \ \)で揚水運転した場合の揚水量\( \ V \ \mathrm {[m^{3}]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
V&=&Q_{P}T_{P} \\[ 5pt ] &=&54.209 \times 8\times 3 \ 600 \\[ 5pt ] &≒&1 \ 561 \ 200　→　1.56\times 10^{6} \ \mathrm {[m^{3}]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)一定流量で\( \ 6 \ \)時間発電した場合の発電出力\( \ \mathrm {[MW]} \ \)
揚水した量の水\( \ V=1 \ 561 \ 200 \ \mathrm {[m^{3}]} \ \)を\( \ T_{G}=6 \ \mathrm {[h]} \ \)で使用しているので，発電時の流量\( \ Q_{G} \ \mathrm {[m^{3} / s]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
Q_{G}&=&\frac {V}{T_{G}} \\[ 5pt ] &=&\frac {1 \ 561 \ 200}{6\times 3 \ 600} \\[ 5pt ] &≒&72.278 \ \mathrm {[m^{3} / s]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。よって，上部調整池と下部調整池との落差が\( \ H_{0}=150 \ \mathrm {[m]} \ \)，発電時の損失水頭が\( \ h_{G}=5 \ \mathrm {[m]} \ \)，水車・発電機の合成効率が\( \ \eta _{T}\eta _{G} = 90 \ \mathrm {[％]} \ \)なので，発電出力\( \ P_{G} \ \mathrm {[MW]} \ \)は，ワンポイント解説「1.揚水発電所の諸公式」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
P_{G}&=&9.8Q_{G}\left( H_{0}-h_{G}\right) \eta _{T}\eta _{G} \\[ 5pt ] &=&9.8\times 72.278 \times \left( 150-5\right) \times 0.90 \\[ 5pt ] &≒&92 \ 436 \ \mathrm {[kW]}　→　92.4 \ \mathrm {[MW]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)揚水発電所の総合効率\( \ \mathrm {[％]} \ \)
揚水発電所の総合効率\( \ \eta \ \mathrm {[％]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {P_{G}T_{G}}{P_{M}T_{P}}\times 100 \\[ 5pt ] &=&\frac {92 \ 436\times 6}{100\times 10^{3}\times 8}\times 100 \\[ 5pt ] &≒&69.3 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

［別解］
揚水発電所の総合効率\( \ \eta \ \mathrm {[％]} \ \)は，ワンポイント解説「1.揚水発電所の諸公式」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {H_{0}-h_{G}}{H_{0}+h_{P}}\eta _{T}\eta _{G}\eta _{P}\eta _{M} \\[ 5pt ] &=&\frac {150-5}{150+10}\times 0.90\times 0.85 \\[ 5pt ] &≒&0.693　→　69.3 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。