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【問題】
【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）
定格出力\( \ 100 \ \mathrm {[kW]} \ \)，極数\( \ 4 \ \)，二次巻線抵抗値\( \ r_{2}=0.12 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の三相巻線形誘導電動機がある。端子電圧\( \ 400 \ \mathrm {[V]} \ \)，周波数\( \ 50 \ \mathrm {[Hz]} \ \)で全負荷運転したとき，回転速度は\( \ 1 \ 470 \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)であった。この誘導電動機の二次側に抵抗\( \ R \ \)を挿入して運転したところ，回転速度は\( \ 1 \ 380 \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)となり，入力電流が全負荷電流と等しくなった。このとき，次の値を求めよ。ただし，\( \ r_{2} \ \)及び\( \ R \ \)の値は\( \ \mathrm {L} \ \)形等価回路における星形一相一次側に換算した値である。
(1) 抵抗挿入後の滑り \( \ \mathrm {[％]} \ \)
(2) 挿入した抵抗 \( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)
(3) 機械的出力 \( \ \mathrm {[kW]} \ \)
(4) 発生トルク \( \ \mathrm {[N\cdot m]} \ \)
【ワンポイント解説】
三相巻線形誘導電動機に外部抵抗を挿入した場合の各量の変化を考える問題です。
全体的に基本的な内容を問う問題となっていますが，トルクが一定となっていないので，(2)でトルクの比例推移を使用すると例え解答が合っていても大幅な減点となる可能性が高いです。
ぜひ問題文をしっかりと確認して解くようにして下さい。
1.三相誘導電動機の同期速度\( \ N_{\mathrm {s}} \ \)
三相誘導電動機の極数が\( \ p \ \)，電源の周波数が\( \ f \ \mathrm {[Hz]} \ \)の時，同期速度\( \ N_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
N_{\mathrm {s}} &=&\frac {120f}{p} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
2.誘導機の滑り\( \ s \ \)
誘導機の同期速度が\( \ N_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)，回転子の回転速度が\( \ N \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)である時，誘導機の滑り\( \ s \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
s &=&\frac {N_{\mathrm {s}}-N}{N_{\mathrm {s}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と定義されます。これを整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
sN_{\mathrm {s}} &=&N_{\mathrm {s}}-N \\[ 5pt ]
N &=&N_{\mathrm {s}}-sN_{\mathrm {s}} \\[ 5pt ]
&=&\left( 1-s \right) N_{\mathrm {s}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と同期速度から回転速度が導出できます。
3.二次入力\( \ P_{2} \ \)と出力\( \ P_{\mathrm {o}} \ \)と二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \)の関係
誘導電動機の\( \ \mathrm {L} \ \)形等価回路は図1のようになります。図1において，\( \ {\dot V}_{1} \ \mathrm {[V]} \ \)は一次側端子電圧，\( \ {\dot I}_{1} \ \mathrm {[A]} \ \)は一次電流，\( \ {\dot I}_{2}^{\prime } \ \mathrm {[A]} \ \)は二次電流の一次換算，\( \ {\dot I}_{0} \ \mathrm {[A]} \ \)は励磁電流，\( \ r_{1} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は一次巻線抵抗，\( \ r_{2}^{\prime } \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は二次巻線抵抗の一次換算，\( \ x_{1} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は一次漏れリアクタンス，\( \ x_{2}^{\prime } \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は二次漏れリアクタンスの一次換算，\( \ s \ \)は滑りとなります。
図1より，出力\( \ P_{\mathrm {o}} \ \mathrm {[W]} \ \)，二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \mathrm {[W]} \ \)，二次入力\( \ P_{2} \ \mathrm {[W]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {o}} &=& 3\frac {1-s}{s}r_{2}^{\prime }{I_{2}^{\prime }}^{2} \\[ 5pt ]
P_{\mathrm {c2}} &=& 3r_{2}^{\prime }{I_{2}^{\prime }}^{2} \\[ 5pt ]
P_{2} &=& P_{\mathrm {o}}+P_{\mathrm {c2}} =3\frac {r_{2}^{\prime }}{s}{I_{2}^{\prime }}^{2} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，誘導電動機の二次入力\( \ P_{2} \ \mathrm {[W]} \ \)，出力\( \ P_{\mathrm {o}} \ \mathrm {[W]} \ \)，二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \mathrm {[W]} \ \)には，
\[
\begin{eqnarray}
P_{2}：P_{\mathrm {o}}：P_{\mathrm {c2}} &=& 1：(1-s)：s \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
の関係があることが分かります。
4.巻線形誘導電動機のトルクの比例推移
図1より，二次電流の一次換算値の大きさ\( \ I_{2}^{\prime } \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{2}^{\prime } &=& \frac {V_{1}}{\sqrt {\left( r_{1}+\displaystyle \frac {r_{2}^{\prime }}{s}\right) ^{2}+\left( x_{1}+x_{2}^{\prime }\right) ^{2}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であるため，三相誘導電動機のトルク\( \ T \ \mathrm {[N\cdot m]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
T&=&\frac {P_{\mathrm {o}}}{\omega } \\[ 5pt ]
&=&\frac {P_{2}\left( 1-s\right) }{\omega _{\mathrm {s}}\left( 1-s\right) } \\[ 5pt ]
&=&\frac {P_{2}}{\omega _{\mathrm {s}} } \\[ 5pt ]
&=&\frac {\displaystyle 3\frac {r_{2}^{\prime }}{s}{I_{2}^{\prime }}^{2}}{\omega _{\mathrm {s}} } \\[ 5pt ]
&=& \frac {1}{\omega _{\mathrm {s}}}\frac {3V_{1}^{2}\displaystyle \frac {r_{2}^{\prime }}{s}}{\left( r_{1}+\displaystyle \frac {r_{2}^{\prime }}{s}\right) ^{2}+\left( x_{1}+x_{2}^{\prime }\right) ^{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。\( \ 1≫s \ \)の時，\( \ r_{2}^{\prime } \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)以外の抵抗やリアクタンスは無視できるので，
\[
\begin{eqnarray}
T &≃& \frac {3V_{1}^{2}s}{\omega _{\mathrm {s}}r_{2}^{\prime }} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，トルクに対する変数は可変抵抗（外部抵抗が挿入可能）である二次抵抗\( \ r_{2}^{\prime } \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)と滑り\( \ s \ \)のみであり，トルク\( \ T \ \mathrm {[N\cdot m]} \ \)を一定とすると，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {r_{2}^{\prime }}{s} &=& 一定 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
の関係があります。
【解答】
(1)抵抗挿入後の滑り\( \ \mathrm {[％]} \ \)
極数\( \ p=4 \ \)，周波数\( \ f=50 \ \mathrm {[Hz]} \ \)なので，同期速度\( \ N_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)は，ワンポイント解説「1.三相誘導電動機の同期速度\( \ N_{\mathrm {s}} \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
N_{\mathrm {s}} &=&\frac {120f}{p} \\[ 5pt ]
&=&\frac {120\times 50}{4} \\[ 5pt ]
&=&1 \ 500 \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であるから，抵抗挿入後，すなわち\( \ N^{\prime }=1 \ 380 \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)の時の滑り\( \ s^{\prime } \ \mathrm {[％]} \ \)は，ワンポイント解説「2.誘導機の滑り\( \ s \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
s^{\prime } &=&\frac {N_{\mathrm {s}}-N^{\prime }}{N_{\mathrm {s}}}\times 100 \\[ 5pt ]
&=&\frac {1 \ 500-1 \ 380}{1 \ 500}\times 100 \\[ 5pt ]
&=&8 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(2)挿入した抵抗\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)
外部抵抗挿入前，回転速度は\( \ N=1 \ 470 \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)なので，そのときの滑り\( \ s \ \mathrm {[％]} \ \)は，ワンポイント解説「2.誘導機の滑り\( \ s \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
s&=&\frac {N_{\mathrm {s}}-N}{N_{\mathrm {s}}}\times 100 \\[ 5pt ]
&=&\frac {1 \ 500-1 \ 470}{1 \ 500}\times 100 \\[ 5pt ]
&=&2 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
である。図1に示すような\( \ \mathrm {L} \ \)形等価回路において，一次巻線抵抗\( \ r_{1} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，二次巻線抵抗の一次換算\( \ r_{2}^{\prime } \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，一次漏れリアクタンス\( \ x_{1} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，二次漏れリアクタンスの一次換算\( \ x_{2}^{\prime } \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)とし，\( \ V=400 \ \mathrm {[V]} \ \)で運転したときの図1の抵抗挿入前の二次電流\( \ {I_{2}} \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{2}^{\prime } &=& \frac {\displaystyle \frac {V}{\sqrt {3}}}{\sqrt {\left( r_{1}+\displaystyle \frac {r_{2}^{\prime }}{s}\right) ^{2}+\left( x_{1}+x_{2}^{\prime }\right) ^{2}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であり，外部抵抗\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)を挿入したことにより電流値が変化しないので，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {r_{2}}{s} &=&\frac {r_{2}+R}{s^{\prime }} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
が成立しなければならない。したがって，各値を代入して整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {0.12}{0.02} &=&\frac {0.12+R}{0.08} \\[ 5pt ]
0.12+R&=&0.48 \\[ 5pt ]
R&=&0.36 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(3)機械的出力\( \ \mathrm {[kW]} \ \)
定格出力\( \ P_{o}=100 \ \mathrm {[kW]} \ \)より，二次入力\( \ P_{2} \ \mathrm {[kW]} \ \)は，ワンポイント解説「3.二次入力\( \ P_{2} \ \)と出力\( \ P_{\mathrm {o}} \ \)と二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \)の関係」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
P_{2} &=&\frac {P_{o}}{1-s} \\[ 5pt ]
&=&\frac {100}{1-0.02} \\[ 5pt ]
&≒&102.04 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であるから，外部抵抗挿入後の出力\( \ {P_{o}}^{\prime } \ \mathrm {[kW]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
{P_{o}}^{\prime } &=&P_{2}\left( 1-s^{\prime }\right) \\[ 5pt ]
&=&102.04\times \left( 1-0.08\right) \\[ 5pt ]
&≒&93.877 → 93.9 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(4)発生トルク\( \ \mathrm {[N\cdot m]} \ \)
外部抵抗挿入後の角速度\( \ \omega ^{\prime } \ \mathrm {[rad / s]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\omega ^{\prime } &=&\frac {2\pi N^{\prime }}{60} \\[ 5pt ]
&=&\frac {2\pi \times 1 \ 380}{60} \\[ 5pt ]
&≒&144.51 \ \mathrm {[rad / s]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であるから，発生トルク\( \ T^{\prime } \ \mathrm {[N\cdot m]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
T^{\prime } &=&\frac {{P_{o}}^{\prime }}{\omega ^{\prime }} \\[ 5pt ]
&=&\frac {93.877\times 10^{3}}{144.51} \\[ 5pt ]
&≒&650 \ \mathrm {[N\cdot m]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
愛知県出身 愛称たけちゃん
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